微积分笔记(38)——多变量函数的微分学(1)

微积分笔记(38)——多变量函数的微分学(1)

Contents

多变量函数的微分学

多元函数的方向导数与偏导数

方向导数(函数沿某方向的普遍化率)

设 $f : D \to \mathbb{R}, a \in D^\circ$:

  1. 对于单位向量 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n(\| \mathbf{u} \| = 1)$ 定义:
    $$
    \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} (\mathbf{a}) := \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + t \mathbf{u}) - f(\mathbf{a})}{t}
    $$
    若极限存在,称为 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点沿方向 $\mathbf{u}$ 的导数。

  2. 对于非零向量 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n(\| \mathbf{u} \| \not = 0)$ 定义:
    $$
    \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} (\mathbf{a}) := \frac{\partial f}{\partial \widetilde{\mathbf{u}}} (\mathbf{a}), \widetilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\| \mathbf{u} \|}
    $$
    即单位化向量。

:记 $\varphi(t) = f(\mathbf{a} + t \widetilde{\mathbf{u}})$,则显然 $\varphi^\prime(0) = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} (\mathbf{a})$。

偏导数(多元函数关于单个变元的变化率)

设 $f : D \to \mathbb{R}, a \in D^\circ$,考虑单位向量 $\mathbf{u}_i = (0, \cdots, 1, \cdots, 0) \in \mathbb{R}^n$(第 $i$ 个位置是 $1$):
$$
\frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{a}) := \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}_i} (\mathbf{a})
$$
也记作:
$$
D_if(\mathbf{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{a})
$$
称为 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点第 $i$ 个偏导数,$i = 1, 2, \cdots, n$


1. 根据上面定义,第 $i$ 个偏导数即沿第 $i$ 个坐标轴正向的方向导数。
2. 第 $i$ 个偏导数计算方法:将 $n$ 元函数看作一元函数求导(仅依赖第 $i$ 个变元)。

多元函数的微分

空间曲面的切平面

已知空间曲面 $S$ 的函数表示:$z = f(x, y)$。

给定 $S$ 上一点 $P = (x_0, y_0, z_0)$,考察曲面该点的切平面方程:

  1. 过 $P$ 点的平面方程:$z = z_0 + a(x - x_0) + b(y - y_0)$。
  2. 作为曲面 $S$ 上 $P$ 点切平面应该有 $z_0 = f(x_0, y_0)$。

$$
f(x, y) - z_0 - a(x - x_0) - b(y - y_0) = o \left (\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \right )
$$

:上式也可看作 $2$ 元函数在一点附近的线性近似。

函数的线性近似

已知函数:$u = f(x, y, z)$。

给定一点 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$,考察函数在该点附近的线性近似:

  1. 线性函数 $u = u_0 + a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0)$。
  2. 作为已知函数在该点附近的近似:$u_0 = f(x_0, y_0, z_0)$。

$$
f(x, y, z) - u_0 - a(x - x_0) - b(y - y_0) - c(z - z_0) = o \left [\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} \right ]
$$

函数的微分

设 $f : D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R}^m, \mathbf{a} \in D^\circ$。

称 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,如果存在 $n$ 维向量 $\mathbf{A} = (\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$:
$$
f(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) = \left < \mathbf{A}, \Delta \mathbf{x} \right > + o(\| \Delta \mathbf{x} \|)
$$
也即:
$$
\lim_{\| \Delta \mathbf{x} \| \to 0} \frac{| f(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) - \left < \mathbf{A}, \Delta \mathbf{x} \right > |}{\| \Delta \mathbf{x} \|} = 0
$$
这时记 $\mathrm{d} f(\mathrm{a}) := \left <\mathbf{A}, \Delta \mathbf{x} \right >$——$f$ 在 $\mathbf{a}$ 点附近增量的线性近似。

称为 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点的微分,$\mathbf{A}$ 称为微分系数(向量)

微分系数的计算

设 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,$\mathrm{d} f(\mathbf{a}) = \left <\mathbf{A}, \Delta \mathbf{x} \right >, \mathbf{A} = (\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$,因而有:
$$
\lim_{\| \Delta \mathbf{x} \| \to 0} \frac{| f(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) - \left < \mathbf{A}, \Delta \mathbf{x} \right > |}{\| \Delta \mathbf{x} \|} = 0
$$
回忆 $\mathbf{u}_i = (0, \cdots, 1, \cdots, 0) \in \mathbb{R}^n$(第 $i$ 个位置是 $1$)。

为确定微分系数,取 $\Delta \mathbf{x} = t \mathbf{u}_i, \| \mathbf{x} \| = |t|, \left <\mathbf{A}, \Delta \mathbf{x} \right > = \left <\mathbf{A}, t \mathbf{u}_i \right > = t \lambda_i$。

代入极限:
$$
\lim_{t \to 0} \left| \frac{f(\mathbf{a} + t \mathbf{u}_i) - f(\mathbf{a})}{t} - \lambda_i \right| = 0
$$
可见:
$$
\lambda_i = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + t \mathbf{u}_i) - f(\mathbf{a})}{t} = \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{a}) = D_i f(\mathbf{a}), i = 1, 2, \cdots, n
$$

推论
1. 设 $f : D \to \mathbb{R}, \mathbf{a} \in D^\circ$,如果 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,则在 $\mathbf{a}$ 点的偏导数存在,且:
$$
\mathrm{d} f(\mathbf{a}) = D_1 f(\mathbf{a}) \Delta x_1 + \cdots + D_n f(\mathbf{a}) \Delta x_n
$$
2. 设 $f : D \to \mathbb{R}, a \in D^\circ$,如果 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,则在 $\mathbf{a}$ 点连续:
$$
f(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) = \left < \mathbf{A}, \Delta \mathbf{x} \right > + o(\| \Delta \mathbf{x} \|) \le \| \mathbf{A} \| \cdot \| \Delta \mathbf{x} \| + |o(\| \Delta \mathbf{x} \|)| \to 0
$$

梯度向量

$f : D \to \mathbb{R}, \mathbf{a} \in a^\circ$,令 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,引入梯度向量记号:
$$
\mathrm{grad} \, f(\mathbf{a}) := (D_1 f(\mathbf{a}), \cdots, D_n f(\mathbf{a}))
$$
则 $f(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) = \left < \mathrm{grad} \, f(\mathbf{a}) , \Delta \mathbf{x} \right > + o(\| \Delta \mathbf{x} \|)$。

为考虑方向导数,取 $\Delta \mathbf{x} = t \mathbf{u}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n, \| \mathbf{u} \| = 1$:
$$
\frac{f(\mathbf{a} + t \mathbf{u}) - f(\mathbf{a})}{t} = \left < \mathrm{grad} \, f(\mathbf{a}), \mathbf{u} \right > + \frac{o(t)}{t} \to \left < \mathrm{grad} \, f(\mathbf{a}), \mathbf{u} \right >
$$
由此导出:

如果 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,则对于任意方向 $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n, \| \mathbf{u} \| = 1$:
$$
D_\mathbf{u} f(\mathbf{a}) = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} (\mathbf{a}) = \mathrm{grad} \, f(\mathbf{a}) \mathbf{u}
$$
可用于计算方向导数。

推论(梯度向量的几何意义):
1. 对于任意方向 $\mathbf{u}$,$|D_\mathbf{u} f(\mathbf{a})| \le \| \mathrm{grad} \, f(\mathbf{a}) \|$。
2. 若 $\mathrm{grad} f(\mathbf{a}) \not = 0, \mathbf{u} = \dfrac{\mathrm{grad} f(\mathbf{a})}{\| \mathrm{grad} f(\mathbf{a}) \|}$,则 $D_\mathbf{u} f(\mathbf{a}) = \| \mathrm{grad} f(\mathbf{a}) \|$。

:上述结论说明,关于 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点的梯度向量。

梯度向量的方向是 $f$ 值增加最快的方向(反向是下降最快的方向)。

其大小是 $f$ 该点所有方向导数的最大值。

函数可微的条件

必要条件:令 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,则存在:
$$
\mathrm{grad} \, f(\mathbf{a}) = (D_1 f(\mathbf{a}), \cdots, D_n f(\mathbf{a}))
$$
从而在该点的所有方向导数存在。

:在一点即便所有方向导数都存在,函数也可能不可微。

充分条件:设 $f$ 的每个偏导数 $D_i f(\mathbf{x}), i = 1, 2, \cdots, n$。

在 $\mathbf{x} = \mathbf{a}$ 点都存在且连续,则 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微。

证明:以 $n = 2$ 为例,在 $P = (a, b)$ 点附近考虑函数 $f(x, y)$:
$$
f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a + \Delta x, y) + f(a + \Delta x, y) - f(a, b)
$$
应用一元函数中值定理 $\exists \eta, \theta \in (0, 1)$:
$$
f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a + \Delta x, y) = D_y f(a + \Delta x, b + \eta \Delta y) \Delta y \\
f(a + \Delta x, y) - f(a, b) = D_x f(a + \theta \Delta x, b) \Delta x
$$
进一步将上式右端记为:
$$
D_y f(a + \Delta x, b + \eta \Delta y) \Delta y = D_y f(a, b) \Delta y + [\beta] \Delta y \\
D_x f(a + \theta \Delta x, b) \Delta x = D_x f(a, b) \Delta x + [\alpha] \Delta x
$$
综上:
$$
f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = D_x f(a, b) \Delta x + [\alpha] \Delta x + D_y f(a, b) \Delta y + [\beta] \Delta y
$$
其中:
$$
[\alpha] = [D_x f(a + \theta \Delta x, b) - D_x f(a, b)] \\
[\beta] = [D_y f(a + \Delta x, b + \eta \Delta y) - D_y f(a, b)]
$$
已知 $D_x f(x, y), D_y f(x, y)$ 在 $P = (a, b)$ 点连续,则:
$$
| [\alpha] \Delta x + [\beta] \Delta y | \Big / \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \le |[\alpha] + [\beta]| \to 0
$$
所以:
$$
f(a + \Delta x, b + \Delta y) - f(a, b) = D_x f(a, b) \Delta x + D_y f(a, b) \Delta y + o \left [ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \right ] \ \ \square
$$

函数连续-可导-可微之间的关系

偏导数在 $\mathbf{a}$ 点都连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 则连续且所有方向导数都存在。

向量值函数的微分

函数的微分(向量值函数)

设 $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m, D \subseteq \mathbb{R}^n, \mathbf{a} \in D^\circ$,称 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微:如果存在 $m \times n$ 矩阵 $A$ 满足:
$$
\pmb{f}(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - \pmb{f}(\mathbf{a}) = A \Delta \mathbf{x} + o(\| \pmb{h} \|)
$$
也即:
$$
\lim_{\| \Delta \mathbf{x} \| \to 0} \frac{\pmb{f}(\mathbf{a} + \Delta \mathbf{x}) - \pmb{f}(\mathbf{a})}{\| \Delta \mathbf{x} \|} = 0
$$
这时 $f$ 在 $\mathbf{a}$ 点的微分记为 $\mathrm{d} \pmb{f}(\mathbf{a}) := A \Delta \mathbf{x}$。

:为表述方便,上面采用了矩阵记号和运算规定,$\pmb{f}(x)$ 为列向量见前,$\Delta \mathbf{x}$ 同理。
可以发现 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微等价于 $\pmb{f}$ 的所有分量函数在 $\mathbf{a}$ 点可微。

Jacobian 雅克比矩阵

若 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,则定义 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点的雅克比矩阵为:
$$
J\pmb{f}(\mathbf{a}) :=
\begin{pmatrix}
D_1 f_1(\mathbf{a}) & \cdots & D_n f_1(\mathbf{a}) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
D_1 f_m(\mathbf{a}) & \cdots & D_n f_m(\mathbf{a})
\end{pmatrix}
$$

推论:设 $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m, D \subseteq \mathbb{R}^n, \mathbf{a} \in D^\circ$。
1. 若 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微,则在 $\mathbf{a}$ 点雅克比矩阵存在,并有:
$$
\mathrm{d} \pmb{f}(\mathbf{a}) = J \pmb{f}(\mathbf{a}) \Delta \mathbf{x}
$$
2. 若 $\pmb{f}$ 的雅克比矩阵在 $\mathbf{a}$ 点存在且连续,则 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微。
3. 若 $m = 1$,则 $J(\mathbf{a}) = \mathrm{grad} f(\mathbf{a})$。

 

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