高等代数选讲笔记（1）——复数与复线性空间

wzf2000
2020年3月22日

高等代数选讲笔记（1）——复数与复线性空间

第一讲：复数与复线性空间

复数一个优点：每个多项式在复数里都有根。

如 $x^2 + 1 = 0$ 在实数里没有根，因为所有实数的平方都是非负的，所以 $x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1 \not = 0$。

引入 $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$。

复数的定义与基本运算

定义

复数是形如 $a + b \mathrm{i}$ 的数，其中 $a, b$ 是实数。

$a$ 为 $(a + b \mathrm{i})$ 的实部，记作 $a = \Re (a + b \mathrm{i})$。（Real part）

$b$ 为 $(a + b \mathrm{i})$ 的虚部，记作 $b = \Im (a + b \mathrm{i})$。（Imaginary part）

一个实数 $a$，可以看做 $a + 0 \mathrm{i}$，故 $a$ 也是复数，也就是说 $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$。

复数的加减法

实虚部分别相加（减）。

$(3 + 2 \mathrm{i}) + (2 + 3 \mathrm{i}) = 5 + 5 \mathrm{i}$。

复数的乘法

$(3 + 2 \mathrm{i}) \times (1 – \mathrm{i}) = 3 – 3 \mathrm{i} + 2 \mathrm{i} – 2 \mathrm{i}^2 = 5 – \mathrm{i}$。

复数的几何意义

$\mathbb{R}$ 与数轴上的点一一对应，而 $\mathbb{C}$ 中 $(a + b \mathrm{i})$ 则与平面上的点 $(a, b)$ 一一对应。

加法的几何意义

横坐标相加，纵坐标相加，也就是向量的加法。

极坐标（对应于直角坐标 $z = a + b \mathrm{i}$）

$z = r e^{\mathrm{i} \theta}$，其中 $r =$ 复数的模长 $:=$ 向量的模长 $= \sqrt{a^2 + b^2}$，$\theta =$ 复数的辐角（复平面上与 $x$ 轴夹角）。

欧拉公式

$e^{\mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta$。

由此 $a + b \mathrm{i} = r \left (\frac{a}{r} + \mathrm{i} \frac{b}{r} \right ) = r \left (\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \mathrm{i} \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right ) = r (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta) = r e^{\mathrm{i} \theta}$。

取 $\theta = \pi$ 即得 $e^{\mathrm{i} \pi} = -1$。

例：$z = 1 + \mathrm{i} = \sqrt{2} e^{\mathrm{i} \frac{\pi}{4}}$。

极坐标的应用

和差角公式：$\cos (\theta + \theta’) + \mathrm{i} (\theta + \theta’) = e^{\mathrm{i} (\theta + \theta’)} = e^{\mathrm{i} \theta} e^{\mathrm{i} \theta’} \\ = (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta) (\cos \theta’ + \mathrm{i} \sin \theta’) \\ = (\cos \theta \cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’) + \mathrm{i} (\cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’)$

故 $\cos (\theta + \theta’) = \cos \theta \cos \theta’ – \sin \theta \sin \theta’, \sin(\theta + \theta’) = \cos \theta \sin \theta’ + \sin \theta \cos \theta’$。

取 $\theta = \theta’$ 即得二倍角公式。

单位根：单位圆上 $n$ 等分点（几何上），$z^n = 1$ 的解（代数上）。

复数的乘法的几何意义：模长相乘，辐角相加。

单位圆上模长等于 $1$，在单位圆上做乘法就是辐角相加，由此可验证 $n$ 等分点确实为 $n$ 次单位根。

复向量空间

$v_1, v_2 \in V$，可以相加得到 $v_1 + v_2 \in V$。

$v \in V$，$c \in \mathbb{C}$，可以相乘得到 $cv \in V$。

实例

1. $\mathbb{R}$ 是实线性空间，维数为 $1$。
2. $\mathbb{C}$ 是复线性空间，维数为 $1$（作为复线性空间），一组基为 $\{1\}$，任意 $z \in \mathbb{C}$，可以表示为 $z \cdot 1$。
3. $\mathbb{C}$ 是实线性空间（可以做加法，也可乘实数），维数为 $2$（作为实线性空间），一组基为 $\{1, \mathrm{i}\}$，任意复数 $z$ 可表示为 $z = a \cdot 1 + b \cdot \mathrm{i}$，且 $1, \mathrm{i}$ 线性无关（在实线性空间 $\mathbb{C}$ 中）。

注：之后，如无特别声明，复线性空间的子空间指的是复子空间。

所有实线性空间的定义都有相应的复空间的定义。

代数基本定理

绕圈数

在 $\mathbb{R}^2 \backslash \{0\}$ 有一闭合曲线 $\alpha$，定义绕圈数 $n(\alpha) =$ 曲线绕 $0$ 的圈数。

定理：令 $\alpha, \beta$ 为 $\mathbb{R}^2 \backslash \{0\}$ 中的闭合曲线，如果 $n(\alpha) \not = n(\beta)$，那么任意将 $\alpha$ 变为 $\beta$ 的连续变换，必经过原点。

代数基本定理

定理：任意多项式都有一个复根。

“证明”：多项式可看作复平面到复平面的映射。

取一个半径为 $r$ 的圆作为闭合曲线做映射，如果映射到的闭合曲线经过零点，则已存在复根。

$r << 1$（$r$ 足够小）时，映射的点必然距离 $f(0)$ （常数项系数）很近，此时 $n(\alpha) = 0$。$r >> 1$（$r$ 足够大）时，映射得曲线跟 $f(z) = a_n z^n$ （最高次数项）十分接近，此时 $n(\beta) = n$。

由绕圈数定理 $\Rightarrow$ 必有一时刻经过原点 $\Rightarrow$ 给出了 $f(z) = 0$ 的解。

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