高等代数选讲笔记（2）——酉空间

wzf2000
2020年3月22日

高等代数选讲笔记（2）——酉空间

第二讲：酉空间

一般线性空间

定义

一个线性空间（也称向量空间）是一个集合 $V$ 及其上的两种运算：

• $+ : V \times V \to V$（输入两个 $V$ 里的元素，输出一个）
  • $(u,v) \mapsto u + v$
• $\cdot : \mathbb{C} \times V \to V$
  • $(c,u) \mapsto cu$

（广义）向量 $:=$ 线性空间里的元素。

满足：

1. 加法结合律 $(u + v) + w = u + (v + w)$
2. 加法结合律 $u + v = v + u$
3. 零元素：存在 $0 \in V$，使得 $0 + v = v, \forall v \in V$
4. 逆元素：$\forall v \in V$，存在 $(-v) \in V$，使得 $v + (-v) = 0$
5. $(ab) v = a (bv), \forall a, b \in \mathbb{C}, v \in V$
6. $1 \cdot v = v, 1 \in \mathbb{C}, \forall v \in V$
7. $a(u + v) = au + av, \forall a \in \mathbb{C}, u, v \in V$
8. $(a + b) u = au + bu, \forall a, b \in \mathbb{C}, u \in V$

一般线性空间实例

$\mathbb{C}^n$ 以及：

• $+ : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ 向量加法；
• $\cdot : \mathbb{C} \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ 数乘向量。

定义了一个线性空间。

所有 $m \times n$ 矩阵的集合也可以被定义为一个线性空间（矩阵加法，矩阵数乘），其维数为 $mn$。

一般线性空间性质

1. 零元素是唯一的。（证明略）

2. 逆元素也是唯一的。（证明留做作业）

   由此可定义 $V$ 上的减法：

   $- : V \times V \to V$

   $(v, w) \mapsto v – w := v + (-w)$

3. $0 \cdot v = 0 \in V$。

矩阵与线性变换

线性变换

令 $V$ 是一线性空间，$B = \{v_1, \cdots, v_n\}$ 是 $V$ 的一组基。

$v \in V$，记 $[v]_B$ 为 $v$ 在 $B$ 中的坐标。
$$
[v]_B =
\begin{bmatrix}
c_1 \\
\vdots \\
c_n
\end{bmatrix}
$$
其中 $c_1, \cdots, c_n$ 由下式定义：
$$
v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n
$$
令 $W$ 为一线性空间，$C = \{w_1, \cdots, w_m\}$ 为 $W$ 的一组基。

对于 $T : V \to W$ 线性变换，$T$ 的矩阵为：
$$
[T]_{B,C} = [[T(v_1)]_C, [T(v_2)]_C, \cdots, [T(v_n)]_C]
$$

酉空间

Hermitian 内积

定义 $\mathbb{C}^n$ 上的 Hermitian 内积：
$$
\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n \\
u, v \mapsto \overline{u_1} \cdot v_1 + \overline{u_2} \cdot v_2 + \cdots + \overline{u_n} \cdot v_n : = \left \langle u, v \right \rangle
$$
定义 $\| u \|^2 = \overline{u_1} \cdot u_1 + \overline{u_2} \cdot u_2 + \cdots + \overline{u_n} \cdot u_n = \left \langle u, u \right \rangle = |u_1|^2 + \cdots |u_n|^2$。

记 $u^H = \overline{u}^T$，则 $\left \langle u, v \right \rangle = u^H \cdot v$。

Hermitian 内积性质

1. 对第二个变量线性：$\left \langle u, c_1 v_1 + c_2 v_2 \right \rangle = c_1 \left \langle u_1, v_1 \right \rangle + c_2 \left \langle u_2, v_2 \right \rangle$
2. 共轭对称：$\left \langle u, v \right \rangle = \overline{\left \langle v, u \right \rangle}$
3. 对于任意 $u \not = 0$，$\| u \|^2 = \left \langle u, u \right \rangle > 0$

酉空间

一个酉空间是一个线性空间 $V$ 及其上的 $\left \langle u, v \right \rangle : V \times V \to \mathbb{C}$ 满足上述性质。

如阶数小于等于 $n$ 的多项式的集合 $P_n$：
$$
\left \langle f, g \right \rangle = \int_0^1 \overline{f(x)} g(x) \, \mathrm{d} x
$$
其即为一个酉空间（留做练习）。

酉变换

酉变换要求保持酉结构，保持内积。

定义

设 $T : V \to W$ 为酉空间中的线性变换。

则 $T$ 是酉变换如果 $\left \langle T v_1, T v_2 \right \rangle = \left \langle v_1,v_2 \right \rangle$ 即 $T$ 保持内积。

实例

$V = W = \mathbb{C}^n$，$q$ 为 $\mathbb{C}^n$ 上的标准基。

$[T]_{q, q} = Q, Q = [v_1, \cdots, v_n]$
$$
\left \langle v_i, v_j \right \rangle = \left \langle T e_i, T e_j \right \rangle = \left \langle e_i, e_j \right \rangle = \left\{
\begin{array}{}
0 & i \not = j \\
1 & i = j
\end{array}
\right.
$$
故 $Q$ 的列向量是正交的 ，由此可得：
$$
Q^H Q =I_n
$$

酉矩阵

一个方阵 $Q$ 为酉矩阵如果 $Q^H Q = I_n$。

反之如果 $Q^H Q = I$，那么 $\left \langle Q v_1, Q v_2 \right \rangle = (Q v_1)^H Q v_2 = v_1^H Q^H Q v_2 = v_1^H v_2 = \left \langle v_1, v_2 \right \rangle$。

即 $Q$ 为酉矩阵 $\Leftrightarrow Q$ 保持内积 $\Leftrightarrow Q$ 保持长度（留做作业）。

酉矩阵实例

1. 旋转矩阵是酉矩阵。
2. 镜像矩阵是酉矩阵。
3. 剪切矩阵一般不是酉矩阵。

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