高等代数选讲笔记（3）——酉矩阵与 Hermitian 矩阵

高等代数选讲笔记（3）——酉矩阵与 Hermitian 矩阵

第三讲：酉矩阵与 Hermitian 矩阵

线性变换的伴随

令 $T : V \to W$ 是酉空间之间的线性变换。

定义

$T^* : W \to V$ 为 $T$ 的伴随，如果 $T^*$ 满足：

$$\left \langle Tv, w \right \rangle = \left \langle v, T^*w \right \rangle$$
“$T$ 的酉空间下的逆的最佳逼近”。

练习：
1. $T$ 是酉变换 $+$ 可逆 $\Rightarrow$ $T^* = T^{-1}$。
2. $T$ 是酉变换，$T$ 将 $V$ 映到 $W$ 的子空间 $\Rightarrow$ $T^*$ 是 $W$ 到 $V$ 的投影。
3. $T$ 可逆 $\not \Rightarrow$ $T^* = T^{-1}$。

伴随的矩阵与原变换矩阵的关系

取 $B = \{v_1, \cdots, v_n\}$ 为 $V$ 的一组正交基：

$$\left \langle v_i, v_j \right \rangle = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \not = j \end{cases}$$
$C = \{w_1, \cdots, w_n\}$ 为 $W$ 的一组正交基，则：
$$([T]_{B, C})_{i, j} = \left \langle Tv_i, w_j \right \rangle = \left \langle v_i, T^* w_j \right \rangle \\ ([T^*]_{C, B})_{j, i} = \left \langle T^*w_j, v_i \right \rangle = \overline{\left \langle v_i, T^* w_j \right \rangle} \\ [T]^H_{B, C} = [T^*]_{C, B}$$

Hermitian 矩阵

自伴变换与 Hermitian 矩阵

$T : V \to V$ 为自伴变换，如果 $T^* : V \to V$，满足 $T^* = T$。

自伴变换的矩阵满足 $A^H = A$，这样的矩阵称为 Hermitian 矩阵。

定理

令 $A$ 为一 Hermitian 矩阵，那么 $A$ 的特征值为实数。

（$\Rightarrow$ 实对称矩阵 $A$ 的特征值都为实数）

证明：令 $v$ 为一特征向量，对应特征值为 $\lambda$。

$$\left \langle Av, v \right \rangle = \left \langle \lambda v, v \right \rangle = \overline{\lambda} \left \langle v, v \right \rangle \\ = \left \langle v, A^*v \right \rangle = \left \langle v, Av \right \rangle = \left \langle v, \lambda v \right \rangle = \lambda \left \langle v, v \right \rangle \\ \left \langle v, v \right \rangle > 0 \Rightarrow \overline{\lambda} = \lambda \Rightarrow \lambda \in \mathbb{R}$$

定理

令 $A$ 为一 Hermitian 矩阵，则 $A$ 的特征向量相互正交（对应不同特征值）。

证明：令 $u, v$ 为 $A$ 的特征向量，对应特征值为 $\lambda, \mu$。

$$A u = \lambda u, A v = \mu v \\ \left \langle Au, v \right \rangle = \left \langle \lambda u, v \right \rangle = \overline{\lambda} \left \langle u, v \right \rangle = \lambda \left \langle u, v \right \rangle \\ = \left \langle u, Av \right \rangle = \left \langle u, \mu v \right \rangle = \mu \left \langle u, v \right \rangle \\ \because \lambda \not = \mu, \therefore \left \langle u, v \right \rangle = 0$$

不变子空间

令 $T : V \to V$ 是线性变换。

定义

$S \subseteq V$ 是一个 $T$ 不变子空间，如果 $T(S) \subseteq S$。

例如求导，同一特征值对应特征向量张成的子空间均是线性变换对应的不变子空间。

性质

令 $V$ 为一个酉空间，$T : V \to V$ 是自伴变换，令 $S \subseteq V$ 为一不变子空间，那么 $S^\perp$ 也是一不变子空间。

$$S^\perp = \{v \in V | \left \langle v, w \right \rangle = 0, \forall w \in S\}$$
证明：
$$\forall v \in S^\perp, \forall w \in S, \left \langle T(v), w \right \rangle = \left \langle v, T(w) \right \rangle = 0 \\ \Rightarrow T(v) \in S^\perp$$

Hermitian 矩阵的谱定理

谱

矩阵 $A$ 的谱为 $A$ 的特征值的集合。

谱定理

$T : V \to V$ 是一个自伴变换，那么存在一组 $V$ 的特征向量基。

证明：根据代数基本定理：

$$\det (T – \lambda I) = 0$$
存在一个解 $\lambda$ 即 $N(T – \lambda I) \not = \{0\}$。

令 $0 \not = v_0 \in N(T – \lambda I)$，那么 $T(v_0) = \lambda v_0$，$\mathrm{span}\{v_0\} \subseteq V$ 是 $T$ 不变子空间。

由不变子空间的性质 $\Rightarrow V_1 = \mathrm{span}\{v_0\}^\perp \subseteq V$ 也是不变子空间。

则就可得到 $T : V_1 \to V_1$ 同样是自伴变换，然后就可继续进行上述过程。

因为 $V$ 是有限维，这个过程在 $\dim(V)$ 步后停止，$\{v_0, v_1, \cdots, v_{n – 1}\}$ 就是 $V$ 的一组特征向量基。

推论：任何 Hermitian 矩阵 $A$ 可被酉对角化，其特征值为实数，即：

$$A = Q D Q^{-1}, D = \mathrm{diag}(d_1, \cdots, d_n), d_i \in \mathbb{R}$$
$Q$ 为酉矩阵。

证明：$\lambda_1, \cdots, \lambda_k$ 为 $A$ 的特征值，$V_i$ 为对应的特征空间 $= N(A – \lambda_i I)$。

$\{V_i\}_{1 \le i\le k}$ 生成了 $\mathbb{C}^n$（谱定理）。

对于每个 $V_i$，令 $\{v_{i, 1}, \cdots,v_{i, l_i}\}$ 为其一组正交基。

则这些正交基的并即组成了 $\mathbb{C}^n$ 的正交基。

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