高等代数选讲笔记（5）——商空间与上三角化

高等代数选讲笔记（5）——商空间与上三角化

第五讲：商空间与上三角化

乘空间与商空间

集合的乘

对于集合 $V$ 和 $W$ 定义：

$$V \times W = \{ (v, w) | v \in V, w \in W \}$$
（也就是笛卡尔积）

则有：

$$|V \times W| = |V| \times |W|$$
其中 $|V|$ 表示 $V$ 中元素个数。

则此集合到数字的映射保持乘法。

如果 $V, W$ 是线性空间，那么 $V \times W$ 也是一个线性空间，其中：

$$(v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2) \\ c \cdot (v_1, w_1) = (cv_1, cw_1)$$
比如 $\mathbb{C}^n = \underbrace{\mathbb{C} \times \mathbb{C} \times \cdots \times \mathbb{C}}_{n个}$。

仿射子集

令 $U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间，$v \in V$ 是 $V$ 中向量。

定义：

$$v + U = \{ v + u | u \in U \}$$
则 $v + U \subseteq V$，称其为 $V$ 的仿射子集，也称为平行于 $U$ 的仿射子集。

仿射子集的性质

$U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间，$w, v \in V$，则下列命题等价：

1. $w – v \in U$
2. $w + U = v + U$
3. $(v + U) \cap (w +U) \not = \varnothing$

证明：

$1 \Rightarrow 2$：

$$\forall u \in U, w + u = w – v + v + u = (w – v + u) + v \in v + U$$
同理：
$$\forall u \in U, v + u \in w + U$$
故得证。

$2 \Rightarrow 3$：显然。

$3 \Rightarrow 1$：

$$x \in (v + U) \cap (w + U) \\ \Rightarrow v – x \in U, w – x \in U \\ \Rightarrow w – v \in U$$

商空间

令 $U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间，那么：

$$V / U = \{所有平行于 U 的仿射子集\} \\ = \{ v + U | v \in V \}$$
其上的加法与数乘为：
$$(v + U) + (w + U) = (v + w) +U \\ \lambda(v + U) = \lambda v + U$$
性质：加法与数乘定义良好。

1. 若 $v + U = v’ + U, w + U = w’ + U$，则 $v + w + U = v’ + w’ + U$。（证明略）

2. 若 $v + U = v’ +U$，则 $\lambda(v + U) = \lambda(v’ + U)$。（证明略）

3. 可以验证 $+, \cdot$ 满足线性空间公理八条。

4. 零元素：$0 + U = \mathbf{0}$。
5. 逆元素：$v + U$ 的逆为 $-v + U$。
6. $p : V \to V/U$，$v \mapsto v + U$，此映射是满射，零空间为 $U$。

四个线性空间

令 $T : V \to W$ 为一线性变换，定义四个线性空间：

$$\mathrm{Null} (T), \mathrm{Range}(T), V / \mathrm{Null} (T) = \mathrm{CoRange}(T), W / \mathrm{Range}(T) = \mathrm{CoNull}(T)$$
对比于：
$$\mathrm{Null} (T), \mathrm{Range}(T), \mathrm{Null} (T)^\perp = \mathrm{Range} (T^*), \mathrm{Range}(T)^\perp = \mathrm{Null} (T^*)$$
区别：

1. 第一组用商空间定义，一般的 $V, W$ 都有定义。
2. 第二组需要 $V, W$ 是内积空间。

性质：令 $V$ 为一内积空间，那么：

$$U^\perp \to V \to V / U$$
复合为同构（线性映射且是双射）。

证明：

设 $P : U^\perp \to V / U$。

先证明其为单射：

如果 $v, w \in U^\perp$，$P(v – w) = 0$，故 $v – w \in U, v – w \in U^\perp$。

故 $v – w = 0$，则 $v = w$。

再证明其为满射：

$$\forall v + U \in V / U$$
令 $v = v_1 + v_2$，其中 $v_1 \in U, v_2 \in U^\perp$。

则：

$$P(v_2) = v_2 + U = v + U$$
故 $P$ 是满射。

由此性质可得：

$$\mathrm{Null} (T)^\perp, \mathrm{CoRange} (T) \\ \mathrm{Range} (T)^\perp, \mathrm{CoNull} (T)$$
两组线性空间分别同构。

推论：（有限维情况）

$$\dim \mathrm{Null} (T)^\perp = \dim V / \mathrm{Null} (T) \\ \dim \mathrm{Range} (T)^\perp = \dim \mathrm{CoNull} (T)$$

上三角化

性质

$T : V \to V$ 是线性变换，那么下面命题等价，，$B = \{v_1, \cdots, v_n\}$ 是 $V$ 的一组基。

1. $[T]_{B, B}$ 是上三角阵；
2. $T v_j \in \mathrm{span} \{v_1, \cdots, v_j\}, \forall j = 1, 2, \cdots, n$；
3. $\mathrm{span} \{v_1, \cdots, v_j\}$ 为 $T$ 不变子空间，$j = 1, 2, \cdots, n$。

定理

任意复方阵均可以上三角化。

证明：用归纳法证明上述性质 2 成立。

当 $\dim V = 1$ 时显然。

假设性质 2 对于 $\forall V, \dim V = n – 1$ 成立。

那么当 $\dim V = n$ 时，令 $v_1 \in V$ 为 $T$ 的一个特征向量。

则 $T v_1 \in \mathrm{span} \{v_1\}$。

$U = \mathrm{span} \{u_1\} \subseteq V$，$V / U$ 维数为 $n – 1$，并且：

$$T/U : V / U \to V / U \\ v + U \mapsto T(v) + U$$
即存在 $\{v_2 + U, \cdots, v_n + U\}$ 为一组 $V / U$ 的基，使得 $T(v_j + U) \in \mathrm{span} \{v_2 + U, \cdots, v_n + U\}$。

所以 $T(v_j) \in \mathrm{span} \{v_2, \cdots, v_n\}$。

即性质 2 对 $V$ 成立。

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