高等代数选讲笔记(5)——商空间与上三角化

高等代数选讲笔记(5)——商空间与上三角化

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第五讲:商空间与上三角化

乘空间与商空间

集合的乘

对于集合 $V$ 和 $W$ 定义:
$$
V \times W = \{ (v, w) | v \in V, w \in W \}
$$
(也就是笛卡尔积)

则有:
$$
|V \times W| = |V| \times |W|
$$
其中 $|V|$ 表示 $V$ 中元素个数。

则此集合到数字的映射保持乘法。

如果 $V, W$ 是线性空间,那么 $V \times W$ 也是一个线性空间,其中:
$$
(v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2) \\
c \cdot (v_1, w_1) = (cv_1, cw_1)
$$
比如 $\mathbb{C}^n = \underbrace{\mathbb{C} \times \mathbb{C} \times \cdots \times \mathbb{C}}_{n个}$。

仿射子集

令 $U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间,$v \in V$ 是 $V$ 中向量。

定义:
$$
v + U = \{ v + u | u \in U \}
$$
则 $v + U \subseteq V$,称其为 $V$ 的仿射子集,也称为平行于 $U$ 的仿射子集。

仿射子集的性质

$U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间,$w, v \in V$,则下列命题等价:

  1. $w - v \in U$
  2. $w + U = v + U$
  3. $(v + U) \cap (w +U) \not = \varnothing$

证明

$1 \Rightarrow 2$:
$$
\forall u \in U, w + u = w - v + v + u = (w - v + u) + v \in v + U
$$
同理:
$$
\forall u \in U, v + u \in w + U
$$
故得证。

$2 \Rightarrow 3$:显然。

$3 \Rightarrow 1$:
$$
x \in (v + U) \cap (w + U) \\
\Rightarrow v - x \in U, w - x \in U \\
\Rightarrow w - v \in U
$$

商空间

令 $U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间,那么:
$$
V / U = \{所有平行于 U 的仿射子集\} \\
= \{ v + U | v \in V \}
$$
其上的加法与数乘为:
$$
(v + U) + (w + U) = (v + w) +U \\
\lambda(v + U) = \lambda v + U
$$
性质:加法与数乘定义良好。

  1. 若 $v + U = v' + U, w + U = w' + U$,则 $v + w + U = v' + w' + U$。(证明略)

  2. 若 $v + U = v' +U$,则 $\lambda(v + U) = \lambda(v' + U)$。(证明略)

  3. 可以验证 $+, \cdot$ 满足线性空间公理八条。

  4. 零元素:$0 + U = \mathbf{0}$。
  5. 逆元素:$v + U$ 的逆为 $-v + U$。
  6. $p : V \to V/U$,$v \mapsto v + U$,此映射是满射,零空间为 $U$。

四个线性空间

令 $T : V \to W$ 为一线性变换,定义四个线性空间:
$$
\mathrm{Null} (T), \mathrm{Range}(T), V / \mathrm{Null} (T) = \mathrm{CoRange}(T), W / \mathrm{Range}(T) = \mathrm{CoNull}(T)
$$
对比于:
$$
\mathrm{Null} (T), \mathrm{Range}(T), \mathrm{Null} (T)^\perp = \mathrm{Range} (T^*), \mathrm{Range}(T)^\perp = \mathrm{Null} (T^*)
$$
区别:

  1. 第一组用商空间定义,一般的 $V, W$ 都有定义。
  2. 第二组需要 $V, W$ 是内积空间。

性质:令 $V$ 为一内积空间,那么:
$$
U^\perp \to V \to V / U
$$
复合为同构(线性映射且是双射)。

证明

设 $P : U^\perp \to V / U$。

先证明其为单射:

如果 $v, w \in U^\perp$,$P(v - w) = 0$,故 $v - w \in U, v - w \in U^\perp$。

故 $v - w = 0$,则 $v = w$。

再证明其为满射:
$$
\forall v + U \in V / U
$$
令 $v = v_1 + v_2$,其中 $v_1 \in U, v_2 \in U^\perp$。

则:
$$
P(v_2) = v_2 + U = v + U
$$
故 $P$ 是满射。

由此性质可得:
$$
\mathrm{Null} (T)^\perp, \mathrm{CoRange} (T) \\
\mathrm{Range} (T)^\perp, \mathrm{CoNull} (T)
$$
两组线性空间分别同构。

推论:(有限维情况)
$$
\dim \mathrm{Null} (T)^\perp = \dim V / \mathrm{Null} (T) \\
\dim \mathrm{Range} (T)^\perp = \dim \mathrm{CoNull} (T)
$$

上三角化

性质

$T : V \to V$ 是线性变换,那么下面命题等价,,$B = \{v_1, \cdots, v_n\}$ 是 $V$ 的一组基。

  1. $[T]_{B, B}$ 是上三角阵;
  2. $T v_j \in \mathrm{span} \{v_1, \cdots, v_j\}, \forall j = 1, 2, \cdots, n$;
  3. $\mathrm{span} \{v_1, \cdots, v_j\}$ 为 $T$ 不变子空间,$j = 1, 2, \cdots, n$。

定理

任意复方阵均可以上三角化。

证明:用归纳法证明上述性质 2 成立。

当 $\dim V = 1$ 时显然。

假设性质 2 对于 $\forall V, \dim V = n - 1$ 成立。

那么当 $\dim V = n$ 时,令 $v_1 \in V$ 为 $T$ 的一个特征向量。

则 $T v_1 \in \mathrm{span} \{v_1\}$。

$U = \mathrm{span} \{u_1\} \subseteq V$,$V / U$ 维数为 $n - 1$,并且:
$$
T/U : V / U \to V / U \\
v + U \mapsto T(v) + U
$$
即存在 $\{v_2 + U, \cdots, v_n + U\}$ 为一组 $V / U$ 的基,使得 $T(v_j + U) \in \mathrm{span} \{v_2 + U, \cdots, v_n + U\}$。

所以 $T(v_j) \in \mathrm{span} \{v_2, \cdots, v_n\}$。

即性质 2 对 $V$ 成立。

 

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