wzf2000 微积分笔记（39）——多变量函数的微分学（2）
Contents
多变量函数的微分学
复合函数的微分和求导
此处的复合函数指的是向量值函数。
复合函数
设 $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m, \pmb{g} : \Omega \to \mathbb{R}^k, \pmb{f}(D) \subseteq \Omega \subseteq \mathbb{R}^m$，复合函数 $\pmb{g} \circ \pmb{f} : D \to \mathbb{R}^k$，定义为 $\pmb{g} \circ \pmb{f}(\mathbf{x}) = \pmb{g}(\pmb{f}(\mathbf{x}))$。
复合函数的微分
设 $\pmb{f}, \pmb{g}$ 如上，$a \in D^\circ, b = \pmb{f}(\mathbf{a}) \in \Omega^\circ$。
如果 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微，$\pmb{g}$ 在 $\mathbf{b}$ 点可微，则复合函数在 $\mathbf{a}$ 点可微，且：
$$
\mathrm{d} (\pmb{g} \circ \pmb{f})(\mathbf{a}) = J \pmb{g}(\mathbf{b}) J \pmb{f}(\mathbf{a}) \Delta \mathbf{x}
$$
也即：
$$
J(\pmb{g} \circ \pmb{f})(\mathbf{a}) = J \pmb{g}(\mathbf{b}) J \pmb{f}(\mathbf{a})
$$
复合函数的雅克比矩阵
记 $\mathbf{u} = \pmb{g}(\mathbf{y}), \mathbf{y} = \pmb{f}(\mathbf{x})$，可将雅克比矩阵重新表示：
$$
J \mathbf{u}(\mathbf{x}) = J \mathbf{u}(\mathbf{y}) J \mathbf{y}(\mathbf{x})
$$
这样复合函数的雅克比矩阵公式可写成：
$$
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial u_k}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_k}{\partial x_n}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial u_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_1}{\partial y_m} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial u_k}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_k}{\partial y_m}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}
$$
特例：$k = n = 1$ 时：（链式法则）
$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \sum_{j = 1}^m \frac{\partial u}{\partial y_j} \frac{\partial y_j}{\partial x} = \sum_{j = 1}^m \frac{\partial u}{\partial y_j} \frac{\mathrm{d} y_j}{\mathrm{d} x}
$$
隐函数定理
隐函数问题（以 $2$ 元函数为例）
给定一个二元函数 $F(x, y)$：
- $F(x, y) = 0$ 是否可以确定或解出一个隐函数 $y = f(x)$？也即满足 $F(x, f(x)) = 0$，$f(x)$ 的定义域与值域又是？
- 函数 $y = f(x)$ 是否连续？可微？
- 微分或者导数 $f^\prime(x)$ 的计算方法。
反例：$F(x, y) = x^2 + y^2 + 1$，$F(x, y) = 0$ 无解，对于这样的 $F$，隐函数不存在！
初步观察
对于 $F(x, f(x))$ 应用链式法则对 $x$ 求导，可以得到启发：
- $F(x, y) = 0$ 必须有根（解）。
- $F(x, y)$ 应该光滑（可微）。
- $\dfrac{\partial F}{\partial y} \not = 0$。
隐函数定理（最简单情况：$1$ 元函数）
设 $F \in C^1(D), D \subseteq \mathbb{R}^2, (x_0, y_0) \in D^\circ$ 满足以下条件：
$$
F(x_0, y_0) = 0, \frac{\partial F}{\partial y} (x_0, y_0) \not = 0
$$
则 $\exists \delta, \eta > 0$ 以及函数 $f : (x_0 – \delta, x_0 + \delta ) \to (y_0 – \eta, y_0 + \eta)$：
- $F(x, f(x)) = 0, \forall |x – x_0| < \delta, f(x_0) = y_0$；
- $f \in C^1(x_0 – \delta, x_0 + \delta)$；
- $f^\prime(x) = -\dfrac{\partial F}{\partial x}(x, y) \Big / \dfrac{\partial F}{\partial y}(x, y), y = f(x)$。
隐函数定理证明（利用单调性和连续函数介值性质）
证明：不妨令 $D_y F(x_0, y_0) > 0$，由连续性 $\exists \delta_1, \eta > 0$ 使得：
$$
\forall |x – x_0| < \delta_1, |y - y_0| < \eta, D_y F(x, y) > 0
$$
这说明 $F(x, y)$ 关于 $y$ 严格单调增。结合 $F(x_0, y_0) = 0$：
$$
\forall y \in (y_0 – \eta, y_0), F(x_0, y) < 0 \\
\forall y \in (y_0, y_0 + \eta), F(x_0, y) > 0
$$
因此得到 $F(x_0, y_0 – \eta) < 0 < F(x_0, y_0 + \eta)$。再次利用 $F$ 的连续性得到 $\delta \in (0, \delta_1]$：
$$
\forall |x - x_0| < \delta, F(x, y_0 - \eta) < 0 < F(x, y_0 + \eta)
$$
应用连续函数介值性质：
$$
\forall |x - x_0| < \delta, \exists! y \in (y_0 - \eta, y_0 + \eta), F(x, y) = 0
$$
记这个 $y = f(x)$，则 $f : (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \to (y_0 - \eta, y_0 + \eta)$：
$$
F(x, f(x)) = 0, \forall |x - x_0| < \delta, f(x_0) = y_0
$$
注意上面证明过程中 $\eta > 0$ 可以任意小，且：
$$
|f(x) – f(x_0)| = |f(x) – y_0| < \eta
$$
说明 $f$ 在 $x_0$ 点连续。记 $y_1 = f(x_1)$，利用 $F(x_1, y_1) = 0$ 类似地可以说明 $f$ 在 $x_1$ 点连续。为证 $f$ 的可微性，取 $\forall x, x + \Delta x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$，记 $y = f(x), \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$。由 $f$ 的连续性：$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \to 0(\Delta x \to 0)$。利用 $F$ 的 $C^1$ 性质和中值定理：
$$
\begin{align*}
0 & = F(x + \Delta x, y + \Delta y) - F(x, y) \\
& = F(x + \Delta x, y + \Delta y) - F(x, y + \Delta y) + F(x, y + \Delta y) - F(x, y) \\
& = D_x F(x + \theta_1 \Delta x, y + \Delta y) \Delta x + D_y F(x, y + \theta_2 \Delta y) \Delta y
\end{align*}
$$
因此：
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{D_x F(x + \theta_1 \Delta x, y + \Delta y)}{D_y F(x, y + \theta_2 \Delta y)} \to -\frac{D_x F(x, y)}{D_y F(x, y)} \ \ \square
$$
隐函数定理（推广：$n$ 元隐函数）
设 $F \in C^1(D), D \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}, (\mathbf{x}_0, y_0) \in D^\circ$ 满足以下条件：
$$
F(\mathbf{x}_0, y_0) = 0, \frac{\partial F}{\partial y} (\mathbf{x}_0, y_0) \not = 0
$$
则 $\exists \delta, \eta > 0$ 以及函数 $f : B_\delta (\mathbf{x}_0) \to (y_0 – \eta, y_0 + \eta)$：
- $F(\mathbf{x}, f(\mathbf{x})) = 0, \forall \| \mathbf{x} – \mathbf{x}_0 \| < \delta, f(\mathbf{x}_0) = y_0$；
- $f \in C^1(B_\delta (\mathbf{x}_0))$；
- $D_i f(\mathbf{x}) = – \dfrac{\partial F}{\partial x_i} F(\mathbf{x}, y) \Big / \dfrac{\partial F}{\partial y} F(\mathbf{x}, y), i = 1, 2, \cdots, n, y = f(\mathbf{x})$。
证明类比一元，此处略。
隐函数定理（再推广：向量值隐函数）
设 $\pmb{F} \in C^1(D, \mathbb{R}^m), D \subseteq \mathbb{R}^{n + m}, (\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) \in D^\circ$ 满足以下条件：
$$
\pmb{F}(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) = 0, \det[J_\mathbf{y} (\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0)] \not = 0
$$
则 $\exists \delta, \eta > 0$ 以及函数 $\pmb{f} : B_\delta (\mathbf{x}_0) \to B_\eta(\mathbf{y}_0)$：
- $\pmb{F}(\mathbf{x}, \pmb{f}(\mathbf{x})) = 0, \forall \| \mathbf{x} – \mathbf{x}_0 \| < \delta, f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{y}_0$；
- $\pmb{f} \in C^1(B_\delta (\mathbf{x}_0), \mathbb{R}^m)$；
- $J\pmb{f}(\mathbf{x}) = – [J_\mathbf{y} \pmb{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y})]^{-1} J_\mathbf{x} \pmb{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \mathbf{y} = f(\mathbf{x})$。
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