微积分笔记（39）——多变量函数的微分学（2）

微积分笔记（39）——多变量函数的微分学（2）

多变量函数的微分学

复合函数的微分和求导

此处的复合函数指的是向量值函数。

复合函数

设 $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m, \pmb{g} : \Omega \to \mathbb{R}^k, \pmb{f}(D) \subseteq \Omega \subseteq \mathbb{R}^m$，复合函数 $\pmb{g} \circ \pmb{f} : D \to \mathbb{R}^k$，定义为 $\pmb{g} \circ \pmb{f}(\mathbf{x}) = \pmb{g}(\pmb{f}(\mathbf{x}))$。

复合函数的微分

设 $\pmb{f}, \pmb{g}$ 如上，$a \in D^\circ, b = \pmb{f}(\mathbf{a}) \in \Omega^\circ$。

如果 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点可微，$\pmb{g}$ 在 $\mathbf{b}$ 点可微，则复合函数在 $\mathbf{a}$ 点可微，且：

$$\mathrm{d} (\pmb{g} \circ \pmb{f})(\mathbf{a}) = J \pmb{g}(\mathbf{b}) J \pmb{f}(\mathbf{a}) \Delta \mathbf{x}$$
也即：
$$J(\pmb{g} \circ \pmb{f})(\mathbf{a}) = J \pmb{g}(\mathbf{b}) J \pmb{f}(\mathbf{a})$$

复合函数的雅克比矩阵

记 $\mathbf{u} = \pmb{g}(\mathbf{y}), \mathbf{y} = \pmb{f}(\mathbf{x})$，可将雅克比矩阵重新表示：

$$J \mathbf{u}(\mathbf{x}) = J \mathbf{u}(\mathbf{y}) J \mathbf{y}(\mathbf{x})$$
这样复合函数的雅克比矩阵公式可写成：
$$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial u_k}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_k}{\partial x_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_1}{\partial y_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial u_k}{\partial y_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_k}{\partial y_m} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$
特例：$k = n = 1$ 时：（链式法则）
$$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \sum_{j = 1}^m \frac{\partial u}{\partial y_j} \frac{\partial y_j}{\partial x} = \sum_{j = 1}^m \frac{\partial u}{\partial y_j} \frac{\mathrm{d} y_j}{\mathrm{d} x}$$

隐函数定理

隐函数问题（以 $2$ 元函数为例）

给定一个二元函数 $F(x, y)$：

1. $F(x, y) = 0$ 是否可以确定或解出一个隐函数 $y = f(x)$？也即满足 $F(x, f(x)) = 0$，$f(x)$ 的定义域与值域又是？
2. 函数 $y = f(x)$ 是否连续？可微？
3. 微分或者导数 $f^\prime(x)$ 的计算方法。

反例：$F(x, y) = x^2 + y^2 + 1$，$F(x, y) = 0$ 无解，对于这样的 $F$，隐函数不存在！

初步观察

对于 $F(x, f(x))$ 应用链式法则对 $x$ 求导，可以得到启发：

1. $F(x, y) = 0$ 必须有根（解）。
2. $F(x, y)$ 应该光滑（可微）。
3. $\dfrac{\partial F}{\partial y} \not = 0$。

隐函数定理（最简单情况：$1$ 元函数）

设 $F \in C^1(D), D \subseteq \mathbb{R}^2, (x_0, y_0) \in D^\circ$ 满足以下条件：

$$F(x_0, y_0) = 0, \frac{\partial F}{\partial y} (x_0, y_0) \not = 0$$
则 $\exists \delta, \eta > 0$ 以及函数 $f : (x_0 – \delta, x_0 + \delta ) \to (y_0 – \eta, y_0 + \eta)$：

1. $F(x, f(x)) = 0, \forall |x – x_0| < \delta, f(x_0) = y_0$；
2. $f \in C^1(x_0 – \delta, x_0 + \delta)$；
3. $f^\prime(x) = -\dfrac{\partial F}{\partial x}(x, y) \Big / \dfrac{\partial F}{\partial y}(x, y), y = f(x)$。

隐函数定理证明（利用单调性和连续函数介值性质）

证明：不妨令 $D_y F(x_0, y_0) > 0$，由连续性 $\exists \delta_1, \eta > 0$ 使得：

$$\forall |x – x_0| < \delta_1, |y - y_0| < \eta, D_y F(x, y) > 0$$
这说明 $F(x, y)$ 关于 $y$ 严格单调增。结合 $F(x_0, y_0) = 0$：
$$\forall y \in (y_0 – \eta, y_0), F(x_0, y) < 0 \\ \forall y \in (y_0, y_0 + \eta), F(x_0, y) > 0$$
因此得到 $F(x_0, y_0 – \eta) < 0 < F(x_0, y_0 + \eta)$。再次利用 $F$ 的连续性得到 $\delta \in (0, \delta_1]$： $$\forall |x - x_0| < \delta, F(x, y_0 - \eta) < 0 < F(x, y_0 + \eta)$$ 应用连续函数介值性质： $$\forall |x - x_0| < \delta, \exists! y \in (y_0 - \eta, y_0 + \eta), F(x, y) = 0$$ 记这个 $y = f(x)$，则 $f : (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \to (y_0 - \eta, y_0 + \eta)$： $$F(x, f(x)) = 0, \forall |x - x_0| < \delta, f(x_0) = y_0$$ 注意上面证明过程中 $\eta > 0$ 可以任意小，且：
$$|f(x) – f(x_0)| = |f(x) – y_0| < \eta$$ 说明 $f$ 在 $x_0$ 点连续。记 $y_1 = f(x_1)$，利用 $F(x_1, y_1) = 0$ 类似地可以说明 $f$ 在 $x_1$ 点连续。为证 $f$ 的可微性，取 $\forall x, x + \Delta x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$，记 $y = f(x), \Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$。由 $f$ 的连续性：$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \to 0(\Delta x \to 0)$。利用 $F$ 的 $C^1$ 性质和中值定理： $$\begin{align*} 0 & = F(x + \Delta x, y + \Delta y) - F(x, y) \\ & = F(x + \Delta x, y + \Delta y) - F(x, y + \Delta y) + F(x, y + \Delta y) - F(x, y) \\ & = D_x F(x + \theta_1 \Delta x, y + \Delta y) \Delta x + D_y F(x, y + \theta_2 \Delta y) \Delta y \end{align*}$$ 因此： $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{D_x F(x + \theta_1 \Delta x, y + \Delta y)}{D_y F(x, y + \theta_2 \Delta y)} \to -\frac{D_x F(x, y)}{D_y F(x, y)} \ \ \square$$

隐函数定理（推广：$n$ 元隐函数）

设 $F \in C^1(D), D \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}, (\mathbf{x}_0, y_0) \in D^\circ$ 满足以下条件：

$$F(\mathbf{x}_0, y_0) = 0, \frac{\partial F}{\partial y} (\mathbf{x}_0, y_0) \not = 0$$
则 $\exists \delta, \eta > 0$ 以及函数 $f : B_\delta (\mathbf{x}_0) \to (y_0 – \eta, y_0 + \eta)$：

1. $F(\mathbf{x}, f(\mathbf{x})) = 0, \forall \| \mathbf{x} – \mathbf{x}_0 \| < \delta, f(\mathbf{x}_0) = y_0$；
2. $f \in C^1(B_\delta (\mathbf{x}_0))$；
3. $D_i f(\mathbf{x}) = – \dfrac{\partial F}{\partial x_i} F(\mathbf{x}, y) \Big / \dfrac{\partial F}{\partial y} F(\mathbf{x}, y), i = 1, 2, \cdots, n, y = f(\mathbf{x})$。

证明类比一元，此处略。

隐函数定理（再推广：向量值隐函数）

设 $\pmb{F} \in C^1(D, \mathbb{R}^m), D \subseteq \mathbb{R}^{n + m}, (\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) \in D^\circ$ 满足以下条件：

$$\pmb{F}(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) = 0, \det[J_\mathbf{y} (\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0)] \not = 0$$
则 $\exists \delta, \eta > 0$ 以及函数 $\pmb{f} : B_\delta (\mathbf{x}_0) \to B_\eta(\mathbf{y}_0)$：

1. $\pmb{F}(\mathbf{x}, \pmb{f}(\mathbf{x})) = 0, \forall \| \mathbf{x} – \mathbf{x}_0 \| < \delta, f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{y}_0$；
2. $\pmb{f} \in C^1(B_\delta (\mathbf{x}_0), \mathbb{R}^m)$；
3. $J\pmb{f}(\mathbf{x}) = – [J_\mathbf{y} \pmb{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y})]^{-1} J_\mathbf{x} \pmb{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \mathbf{y} = f(\mathbf{x})$。

 微积分 笔记