微积分笔记（40）——多变量函数的微分学（3）
多变量函数的微分学
回顾
复合函数的微分
duu=Jgg(y)Jff(x)dx
形式上前两个微分导出第三个微分——微分形式不变。
微分的运算性质
四则运算，复合运算，具体见一元函数微分。
反函数/逆映射定理
反函数/逆映射问题
给定 ff:D→Rn,D⊆Rn，考察 ff 的反函数及其性质——y=ff−1(x)⇔x=ff(y)。
分析
考虑应用隐函数定理，为此定义 FF:˜D→Rn：
FF(x,y)=x–ff(y),˜D=Rn×D⊆Rn+n
再取 y0∈D∘,x0=ff(y0)，则 (x0,y0)∈˜D∘,FF(x0,y0)=0。
进一步：
JyFF(x,y)=−Jff(y)JxFF(x,y)=Jx=In
In 即 n 阶单位矩阵。
回忆隐函数定理，即可导出反函数定理。
反函数/逆映射定理（局部）
设 ff∈C1(D,Rn),D⊆Rn,y0∈D∘ 满足条件：
det[Jff(y0)]≠0
则 ∃δ,η>0 以及函数 gg:Bδ(x0)→Bη(y0)，其中 y0=x0：
- ff(gg(x))=x,∀‖x–x0‖<δ,gg(x0)=y0；
- gg∈C1(Bδ(x0),Rn)；
- Jgg(x)=[Jff(y)]−1,y=gg(x)。
注：
1. 函数 gg 就是 ff 在 y0 点附近的反函数；
2. 定理只保证在 y0 点局部存在反函数。
反函数定理（整体）
设 ff∈C(D,Rn),D⊆Rn 为开集，且：
- ff:D→Rn 为单射；
- ∀y∈D,det[Jff(y)]≠0。
则记 Ω=ff(D)，存在 ff 的反函数 ff−1∈C1(Ω,Rn)：
Jff−1(x)=[Jff(y)]−1,y=ff−1(x),∀x∈Ω
证明：由 1 即得反函数存在。
为证明光滑性，注意到：
x=ff(ff−1(x)),∀x∈Ω
应用链式法则：
Jx=In=Jff(y)Jff−1(x),y=ff−1(x)
所以得证。◻
高阶偏导数
本节仅考虑数值函数。
设 f:D→R,D⊆Rn 为开集：
1 阶偏导数：Dif(x)=∂f∂xi(x) 称为 1 阶偏导数。
2 阶偏导数：如果 f 在 D 内每一点都有 1 阶偏导数，则 Dif:D→R 可以继续考虑偏导数，得到 2 阶偏导数，记为：
∂2f∂xi∂xj:=∂∂xi(∂f∂xj),∂2f∂x2i:=∂∂xi(∂f∂xi)
n 阶偏导数：
∂nf∂xi∂xj⋯∂k⏟n 个:=∂∂xi(∂n–1f∂xj⋯∂xk⏟n–1 个)
——递归定义。
Clairaut 定理
设 f:D→R,D⊆R2 是开集，P=(x0,y0)∈D。
若 ∂2f∂x∂y 和 ∂2f∂y∂x 在 D 内存在且在 P 点连续，则二者在该点相等。
证明：任取 (x0+Δx,y0+Δy)∈D,Δx,Δy≠0。
分别记 φ(Δx)=f(x0+Δx,y0+Δy)–f(x0+Δx,y0),Δy 固定。
ψ(Δy)=f(x0+Δx,y0+Δy)–f(x0,y0+Δy),Δx 固定。
注意到 φ(Δx)–φ(0)=ψ(Δy)–ψ(0)。
下面分别研究上式两段。
首先左端应用一元函数微分中值定理 ∃θ1∈(0,1)：
φ(Δx)–φ(0)=φ′(θ1Δx)Δx=[∂f∂x(x0+θ1Δx,y0+Δy)–∂f∂x(x0+θ1Δx,y0)]Δx
再次应用一元函数微分中值定理 ∃θ2∈(0,1)：
φ(Δx)–φ(0)=∂2f∂y∂x(x0+θ1Δx,y0+θ2Δy)ΔxΔy
类似对于右端进行相同操作，消去 ΔxΔy 后取极限便可得结论。◻
推论：设 f:D→R,D⊆Rn 是开集。
若 f 在 D 内所有 k 阶偏导数都存在且连续，则 k 阶偏导数的值与关于自变量的求导次序无关。
记号：设 D⊆Rn 是开集：
Ck(D):={f:D→R|f 的所有 k 阶偏导数在 D 中连续}
称为 D 上 k 阶连续可微函数空间（集合）。
No Comments