wzf2000 微积分笔记（44）——反常积分
Contents
反常积分
无穷积分的收敛性判别
无穷积分的定义（回忆）
设 $f : [a, +\infty) \to \mathbb{R}, \forall A > a, f \in R[a, A]$，定义：
$$
\int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x := \lim_{A \to \infty} \int_a^A f(x) \, \mathrm{d} x
$$
（若极限存在的话）
与无穷级数比较，十分类似，敛散性判别应该会有类似的思路、平行的方法。
非负函数无穷积分
设 $f \in C[a, +\infty)$ 且 $f \ge 0$，则：
$$
\int_a^A f(x) \, \mathrm{d} x
$$
关于 $A$ 单调增。
推论：在上面条件下，积分收敛当且仅当积分有界（关于 $A \ge a$）。
比较判别法
设 $f, g \in C[a, +\infty)$，且 $f(x) \ge g(x) \ge 0$（当 $x$ 充分大）
- 若 $f$ 积分收敛，则 $g$ 积分也收敛。
- 若 $g$ 积分发散，则 $f$ 积分也发散。
比较判别法——极限形式
设 $f, g \in C[a, +\infty)$，$f(x), g(x) > 0$（当 $x$ 充分大，$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c$）：
- 若 $0 < c < +\infty$，则 $f$ 积分与 $g$ 积分同时收敛或发散。
- 若 $c = 0$ 且 $g$ 积分收敛，则 $f$ 积分也收敛。
- 若 $c = +\infty$ 且 $g$ 积分发散，则 $f$ 积分也发散。
注：常用比较函数是 $g(x) = \dfrac{1}{x^p}$，当 $p > 1$ 时收敛，反之发散。
推论——比阶判别法
设 $f \in C[a, +\infty)$，$f(x) \ge 0$（当 $x$ 充分大），$\lim\limits_{x \to +\infty} x^p f(x) = c$：
- 若 $0 \le c < +\infty, p > 1$，则 $f$ 积分收敛。
- 若 $0 < c \le +\infty, p \le 1$，则 $f$ 积分发散。
注意：无穷级数收敛不能导出：
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
$$
收敛的充要条件为：
$$
\forall B > 0, \lim_{A \to +\infty} \int_A^{A + B} f(x) \, \mathrm{d} x = 0
$$
即 Cauchy 收敛准则。
变号函数的无穷积分
绝对收敛判别法
设 $f \in C[a,+\infty)$，若 $\displaystyle \int_a^{+\infty} |f(x)| \, \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。
证明：仿照级数绝对收敛判别法证明（用比较论证）。
记：
$$
f_+(x) = \frac{|f(x)| + f(x)}{2}, f_-(x) = \frac{|f(x)| - f(x)}{2}
$$
则 $f(x) = f_+(x) - f_-(x), 0 \le f_+(x), f_-(x) \le |f(x)|$。
应用比较判别法：
$$
\int_a^{+\infty} f_+(x) \, \mathrm{d} x, \int_a^{+\infty} f_-(x) \, \mathrm{d} x
$$
均收敛，进一步利用收敛积分的线性性质，得到无穷积分收敛。$\square$
绝对收敛与条件收敛
$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 绝对收敛，如果 $\displaystyle \int_a^{+\infty} |f(x)| \, \mathrm{d} x$ 收敛。
$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 条件收敛，如果 $\displaystyle \int_a^{+\infty} |f(x)| \, \mathrm{d} x$ 发散但 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。
推论（绝对/条件收敛的区别，参考级数相应论证）：
- $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 绝对收敛当且仅当 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f_+(x) \, \mathrm{d} x, \displaystyle \int_a^{+\infty} f_-(x) \, \mathrm{d} x$ 都收敛。
- 若 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 条件收敛，则 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f_+(x) \, \mathrm{d} x, \displaystyle \int_a^{+\infty} f_-(x) \, \mathrm{d} x$ 都发散。
几何解释：
- 绝对收敛 $=$ 正负面积都有限。
- 条件收敛 $=$ 正负面积都无穷大，但部分互相抵消。
乘积函数无穷积分的收敛分析
乘积函数可利用分部积分处理，记：
$$
F(u) = \int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x
$$
则有：
$$
\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x = F(x) g(x) \Big |_A^B - \int_A^B F(x) g^\prime(x) \, \mathrm{d} x
$$
为处理右端积分，令 $g^\prime$ 不变号，由积分中值定理 $\exists \xi \in (A, B)$：
$$
\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x = F(B) g(B) - F(A) g(A) - F(\xi) [g(B) - g(A)] \\
= [F(B) - F(\xi)] g(B) + (F(\xi) - F(A)) g(A) \\
= g(B) \int_\xi^B f(x) \, \mathrm{d} x + g(A) \int_A^\xi f(x) \, \mathrm{d} x
$$
当 $A, B$ 增大时为使左端积分趋于 $0$，只须进一步假设 $g$ 趋于 $0$，且 $F$ 有界。
Dirichlet-Abel 判别法
设 $f, g \in C[a, +\infty)$ 满足条件：
$$
\begin{cases}
\displaystyle \int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } u \ge a \text{ 有界} \\
\displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0
\end{cases}
$$
或：
$$
\begin{cases}
\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 收敛} \\
\displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, g(x) \text{ 有界}
\end{cases}
$$
则无穷积分 $\displaystyle \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。
证明：如果后一个条件满足，因而极限存在 $\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = c$，注意到：
$$
\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)[g(x) - c] \, \mathrm{d} x
$$
满足前一个条件，如果收敛即可得出原无穷积分收敛，因此只需证明第一个条件。
已知：
$$
\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x = g(B) \int_\xi^B f(x) \, \mathrm{d} x + g(A) \int_A^\xi f(x) \, \mathrm{d} x
$$
其中 $f, g$ 满足：
$$
\begin{cases}
\displaystyle \int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } u \ge a \text{ 有界} \\
\displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0
\end{cases}
$$
以下利用 Cauchy 准则验证无穷积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛：
令 $\displaystyle \left|\int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x\right| \le L$，则 $\forall u_1, u_2 \ge a, \displaystyle \left|\int_{u_1}^{u_2} f(x) \, \mathrm{d} x\right| \le 2L$。
$\forall \varepsilon > 0$，取 $M > 0$，使得 $\forall x > M, |g(x)| < \varepsilon / (4L)$，于是 $\forall A, B > M$：
$$
\left|\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x\right| \le (|g(B)| + |g(A)|) 2L < \varepsilon
$$
故结论成立。$\square$
奇异积分的收敛性判别
奇异积分的定义
设 $f \in C(a, b]$（$f$ 在 $x = a$ 点右侧无界）：
$$
\int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x := \lim_{\xi \to 0^+} \int_{a + \xi}^b f(x) \, \mathrm{d} x
$$
（若极限存在的话）
这时称该奇异积分收敛，否则称这个奇异积分发散。
转化为无穷积分
考虑积分换元，取 $x = a + \dfrac{1}{t}$，导出：
$$
\lim_{\xi \to 0^+} \int_{a + \xi}^b f(x) \, \mathrm{d} x = \int_{\frac{1}{b - a}}^{\frac{1}{\varepsilon}} \frac{f\left(a + \dfrac{1}{t}\right)}{t^2} \, \mathrm{d} t \\
\Rightarrow \lim_{\xi \to 0^+} \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x = \int_{\frac{1}{b - a}}^{+\infty} \frac{f\left(a + \dfrac{1}{t}\right)}{t^2} \, \mathrm{d} t
$$
利用无穷积分的结果可导出相应的判别方法。
比较判别法
设 $f, g \in C(a, b]$，且 $f(x) \ge g(x) \ge 0$（在 $a$ 点右侧邻域）：
- 若 $f(x)$ 奇异积分收敛，则 $g(x)$ 奇异积分也收敛；
- 若 $g(x)$ 奇异积分发散，则 $f(x)$ 奇异积分也发散。
标胶判别法——极限形式
设 $f, g \in C(a, b]$，且 $f(x), g(x) > 0, \lim\limits_{x \to a^+} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c$。
- 若 $0 < c < +\infty$，则 $f(x)$ 奇异积分与 $g(x)$ 奇异积分同时收敛或发散；
- 若 $c = 0$ 且 $g(x)$ 奇异积分收敛，则 $f(x)$ 奇异积分也收敛；
- 若 $c = +\infty$ 且 $g(x)$ 奇异积分发散，则 $f(x)$ 奇异积分也发散。
特别可取 $g(x) = \dfrac{1}{(x - a)^p}$。（$p < 1$ 收敛，$p \ge 1$ 发散）
绝对收敛判别法
与无穷积分一样，也有类似的判别法和概念性质，此处略。
Dirichlet-Abel 判别法
设 $f, g \in C(a, b]$ 满足条件：
$$
\begin{cases}
\displaystyle \int_u^b f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } u > a \text{ 有界} \\
\displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, \lim_{x \to a^+} g(x) = 0
\end{cases}
$$
或：
$$
\begin{cases}
\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 收敛} \\
\displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, g(x) \text{ 有界}
\end{cases}
$$
则奇异积分 $\displaystyle \displaystyle \int_a^b f(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。
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