微积分笔记（44）——反常积分

微积分笔记（44）——反常积分

反常积分

无穷积分的收敛性判别

无穷积分的定义（回忆）

设 $f : [a, +\infty) \to \mathbb{R}, \forall A > a, f \in R[a, A]$，定义：

$$\int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x := \lim_{A \to \infty} \int_a^A f(x) \, \mathrm{d} x$$
（若极限存在的话）

与无穷级数比较，十分类似，敛散性判别应该会有类似的思路、平行的方法。

非负函数无穷积分

设 $f \in C[a, +\infty)$ 且 $f \ge 0$，则：

$$\int_a^A f(x) \, \mathrm{d} x$$
关于 $A$ 单调增。

推论：在上面条件下，积分收敛当且仅当积分有界（关于 $A \ge a$）。

比较判别法

设 $f, g \in C[a, +\infty)$，且 $f(x) \ge g(x) \ge 0$（当 $x$ 充分大）

1. 若 $f$ 积分收敛，则 $g$ 积分也收敛。
2. 若 $g$ 积分发散，则 $f$ 积分也发散。

比较判别法——极限形式

设 $f, g \in C[a, +\infty)$，$f(x), g(x) > 0$（当 $x$ 充分大，$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c$）：

1. 若 $0 < c < +\infty$，则 $f$ 积分与 $g$ 积分同时收敛或发散。
2. 若 $c = 0$ 且 $g$ 积分收敛，则 $f$ 积分也收敛。
3. 若 $c = +\infty$ 且 $g$ 积分发散，则 $f$ 积分也发散。

注：常用比较函数是 $g(x) = \dfrac{1}{x^p}$，当 $p > 1$ 时收敛，反之发散。

推论——比阶判别法

设 $f \in C[a, +\infty)$，$f(x) \ge 0$（当 $x$ 充分大），$\lim\limits_{x \to +\infty} x^p f(x) = c$：

1. 若 $0 \le c < +\infty, p > 1$，则 $f$ 积分收敛。
2. 若 $0 < c \le +\infty, p \le 1$，则 $f$ 积分发散。

注意：无穷级数收敛不能导出：

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$$
收敛的充要条件为：
$$\forall B > 0, \lim_{A \to +\infty} \int_A^{A + B} f(x) \, \mathrm{d} x = 0$$
即 Cauchy 收敛准则。

变号函数的无穷积分

绝对收敛判别法

设 $f \in C[a,+\infty)$，若 $\displaystyle \int_a^{+\infty} |f(x)| \, \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。

证明：仿照级数绝对收敛判别法证明（用比较论证）。

记：

$$f_+(x) = \frac{|f(x)| + f(x)}{2}, f_-(x) = \frac{|f(x)| – f(x)}{2}$$
则 $f(x) = f_+(x) – f_-(x), 0 \le f_+(x), f_-(x) \le |f(x)|$。

应用比较判别法：

$$\int_a^{+\infty} f_+(x) \, \mathrm{d} x, \int_a^{+\infty} f_-(x) \, \mathrm{d} x$$
均收敛，进一步利用收敛积分的线性性质，得到无穷积分收敛。$\square$

绝对收敛与条件收敛

$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 绝对收敛，如果 $\displaystyle \int_a^{+\infty} |f(x)| \, \mathrm{d} x$ 收敛。

$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 条件收敛，如果 $\displaystyle \int_a^{+\infty} |f(x)| \, \mathrm{d} x$ 发散但 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。

推论（绝对/条件收敛的区别，参考级数相应论证）：

• $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 绝对收敛当且仅当 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f_+(x) \, \mathrm{d} x, \displaystyle \int_a^{+\infty} f_-(x) \, \mathrm{d} x$ 都收敛。
• 若 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x$ 条件收敛，则 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f_+(x) \, \mathrm{d} x, \displaystyle \int_a^{+\infty} f_-(x) \, \mathrm{d} x$ 都发散。

几何解释：

• 绝对收敛 $=$ 正负面积都有限。
• 条件收敛 $=$ 正负面积都无穷大，但部分互相抵消。

乘积函数无穷积分的收敛分析

乘积函数可利用分部积分处理，记：

$$F(u) = \int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x$$
则有：
$$\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x = F(x) g(x) \Big |_A^B – \int_A^B F(x) g^\prime(x) \, \mathrm{d} x$$
为处理右端积分，令 $g^\prime$ 不变号，由积分中值定理 $\exists \xi \in (A, B)$：
$$\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x = F(B) g(B) – F(A) g(A) – F(\xi) [g(B) – g(A)] \\ = [F(B) – F(\xi)] g(B) + (F(\xi) – F(A)) g(A) \\ = g(B) \int_\xi^B f(x) \, \mathrm{d} x + g(A) \int_A^\xi f(x) \, \mathrm{d} x$$
当 $A, B$ 增大时为使左端积分趋于 $0$，只须进一步假设 $g$ 趋于 $0$，且 $F$ 有界。

Dirichlet-Abel 判别法

设 $f, g \in C[a, +\infty)$ 满足条件：

$$\begin{cases} \displaystyle \int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } u \ge a \text{ 有界} \\ \displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 \end{cases}$$
或：
$$\begin{cases} \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 收敛} \\ \displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, g(x) \text{ 有界} \end{cases}$$
则无穷积分 $\displaystyle \displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。

证明：如果后一个条件满足，因而极限存在 $\lim\limits_{x \to \infty} g(x) = c$，注意到：

$$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x)[g(x) – c] \, \mathrm{d} x$$
满足前一个条件，如果收敛即可得出原无穷积分收敛，因此只需证明第一个条件。

已知：

$$\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x = g(B) \int_\xi^B f(x) \, \mathrm{d} x + g(A) \int_A^\xi f(x) \, \mathrm{d} x$$
其中 $f, g$ 满足：
$$\begin{cases} \displaystyle \int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } u \ge a \text{ 有界} \\ \displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 \end{cases}$$
以下利用 Cauchy 准则验证无穷积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛：

令 $\displaystyle \left|\int_a^u f(x) \, \mathrm{d} x\right| \le L$，则 $\forall u_1, u_2 \ge a, \displaystyle \left|\int_{u_1}^{u_2} f(x) \, \mathrm{d} x\right| \le 2L$。

$\forall \varepsilon > 0$，取 $M > 0$，使得 $\forall x > M, |g(x)| < \varepsilon / (4L)$，于是 $\forall A, B > M$：

$$\left|\int_A^B f(x) g(x) \, \mathrm{d} x\right| \le (|g(B)| + |g(A)|) 2L < \varepsilon$$ 故结论成立。$\square$

奇异积分的收敛性判别

奇异积分的定义

设 $f \in C(a, b]$（$f$ 在 $x = a$ 点右侧无界）：

$$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x := \lim_{\xi \to 0^+} \int_{a + \xi}^b f(x) \, \mathrm{d} x$$
（若极限存在的话）

这时称该奇异积分收敛，否则称这个奇异积分发散。

转化为无穷积分

考虑积分换元，取 $x = a + \dfrac{1}{t}$，导出：

$$\lim_{\xi \to 0^+} \int_{a + \xi}^b f(x) \, \mathrm{d} x = \int_{\frac{1}{b – a}}^{\frac{1}{\varepsilon}} \frac{f\left(a + \dfrac{1}{t}\right)}{t^2} \, \mathrm{d} t \\ \Rightarrow \lim_{\xi \to 0^+} \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x = \int_{\frac{1}{b – a}}^{+\infty} \frac{f\left(a + \dfrac{1}{t}\right)}{t^2} \, \mathrm{d} t$$
利用无穷积分的结果可导出相应的判别方法。

比较判别法

设 $f, g \in C(a, b]$，且 $f(x) \ge g(x) \ge 0$（在 $a$ 点右侧邻域）：

1. 若 $f(x)$ 奇异积分收敛，则 $g(x)$ 奇异积分也收敛；
2. 若 $g(x)$ 奇异积分发散，则 $f(x)$ 奇异积分也发散。

标胶判别法——极限形式

设 $f, g \in C(a, b]$，且 $f(x), g(x) > 0, \lim\limits_{x \to a^+} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c$。

1. 若 $0 < c < +\infty$，则 $f(x)$ 奇异积分与 $g(x)$ 奇异积分同时收敛或发散；
2. 若 $c = 0$ 且 $g(x)$ 奇异积分收敛，则 $f(x)$ 奇异积分也收敛；
3. 若 $c = +\infty$ 且 $g(x)$ 奇异积分发散，则 $f(x)$ 奇异积分也发散。

特别可取 $g(x) = \dfrac{1}{(x – a)^p}$。（$p < 1$ 收敛，$p \ge 1$ 发散）

绝对收敛判别法

与无穷积分一样，也有类似的判别法和概念性质，此处略。

Dirichlet-Abel 判别法

设 $f, g \in C(a, b]$ 满足条件：

$$\begin{cases} \displaystyle \int_u^b f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 关于 } u > a \text{ 有界} \\ \displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, \lim_{x \to a^+} g(x) = 0 \end{cases}$$
或：
$$\begin{cases} \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x \text{ 收敛} \\ \displaystyle g^\prime(x) \text{ 不变号}, g(x) \text{ 有界} \end{cases}$$
则奇异积分 $\displaystyle \displaystyle \int_a^b f(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ 收敛。

 微积分 笔记