
微积分笔记(47)——多重积分(3)
多重积分
二重积分的换元公式
复习:一元函数积分换元公式
设 x:[α,β]→[a,b] 是 1−1 对应,且 x(t)∈C1[α,β],x′(t)≠0,令 f∈C[a,b],则:
∫βαf(x(t))x′(t)dt=∫x(β)x(α)f(x)dx
根据 x(α) 与 x(β) 大小关系,积分上下限相应交换。
综上:
∫βαf(x(t))|x′(t)|dt=∫baf(x)dx
其中 dx=|x′(t)|dt 来源于和式中 Δxi=x(ti)–x(ti–1)=|x′(τi)|Δti。
可见 |x′(t)| 是变换 x=x(t) 在 t 点的长度伸缩比。
类比-猜想:二重积分换元公式
设 T:˜D→D 是 R2 上有界区域之间的 1−1 对应,满足一定的光滑性条件,令 f∈C(D),则:
∫Dfdσ=∫˜D(f∘T)(AT)d˜σ
其中 AT 为变换 T 的面积伸缩比:dσ=ATd˜σ。
更明确一些,令 T:x=x(u,v),y=y(u,v),(u,v)∈˜D,记 xy 平面上面积微元 dσ=dxdy,uv 平面上面积微分 d˜σ=dudv,则换元公式可写成:
∬Df(x,y)dxdy=∬˜Df(x(u,v),y(u,v))AT(u,v)dudv
二重积分换元分析
首先是区域分割。
不失一般性,令 ˜D=[a,b]×[c,d],取:
Δu=b–an,ui=a+iΔu,i=0,1,2,⋯,nΔv=d–cm,vj=c+jΔv,j=0,1,2,⋯,m
得到:
˜Dij=[ui–1,ui]×[vj–1,vj],i=1,2,⋯,n,j=1,2,⋯,n
利用 T:˜D→D,上面分割产生了 D 上的 v− 曲线族:
T=T(ui,v),c≤v≤d,i=0,1,⋯,n
以及 u− 曲线族:
T=T(u,vj),a≤u≤b,j=0,1,⋯,m
将 m 相应分割成 n,m 个曲边平行四边形:
Dij,i=1,2,⋯,n,j=1,2,⋯,m
再分析面积。
取上述 ˜D 分割中某子矩形记为 Δ˜D=˜Dij,则 σ(Δ˜D)=ΔuΔv,记 D 相应分割中的曲边平行四边形为 ΔD(=Dij)。
记 Δ˜D 的四个顶点为:
P0=(u,v),P1=(u+Δu,v)P2=(u,v+Δv),P3=(u+Δu,v+Δv)
相应 ΔD 的四个顶点为:
M0=T(P0)=T(u,v)M1=T(P1)=T(u+Δu,v)M2=T(P2)=T(u,v+Δv)M3=T(P3)=T(u+Δu,v+Δv)
为计算 ΔD 的面积,首先需要平面向量:
M1–M0=T(u+Δu,v)–T(u,v)=DuT(u,v)Δu+o(Δu)M2–M0=T(u,v+Δv)–T(u,v)=DvT(u,v)Δv+o(Δv)
进而利用向量积公式得到 ΔD 面积的近似:
σ(ΔD)≈‖(M1–M0)×(M2–M0)‖=‖DuT(u,v)×DvT(u,v)‖ΔuΔv+o(ΔuΔv)
注意到:
DuT(u,v)=(Dux,Duy,0)DvT(u,v)=(Dvx,Dvy,0)
因此:
‖DuT(u,v)DvT(u,v)‖=|det
再回到 Riemann 和及其极限。
回到 D 上最初的 u- 曲线族,v- 曲线族分割,利用面积分析,构造下面的 Riemann 和式:
\sum_{i, j} f(M_{i, j}) \sigma(D_{i, j}) \approx \sum_{i, j} f(T(P_{ij})) |J T(P_{ij})| \sigma(\tilde{D}_{ij})
当分割无限加细时(n, m 趋向于无穷),只要 T 满足适当条件就可以证明上述和式的误差将会消失,这就导出:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\tilde{D}} f \circ T | \det(J T)| \, \mathrm{d} \tilde{\sigma}
这说明 |\det[JT(u, v)]| 就是变换 T 在 (u, v) 点的面积伸缩比。
总结归纳上面的分析就导出了二重积分换元公式。
二重积分换元公式
设 T : \tilde{D} \to D 是 \mathbb{R}^2 上有界区域的 1-1 对应,且 T \in C^1(\tilde{D}, \mathbb{R}^2),满足 \det[JT(u, v)] \not = 0,令 f \in C(D),则:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\tilde{D}} f \circ T | \det(JT) | \, \mathrm{d} \tilde{\sigma}
更具体地,记 T : x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) \in \tilde{D}。
引入记号:
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} := \begin{vmatrix} D_u x & D_u y \\ D_v x & D_v y \end{vmatrix} = \det [JT(u, v)]
则换元公式可写成:
\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \iint_{\tilde{D}} f(x(u, v), y(u, v)) \left | \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right | \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v
应用
设有界区域 D 可分解为 D = D_+ \cup D_-,其中 D_+ = \{(x, y) \in D | x \ge 0\}, D_- = \{(x, y) \in D | x \le 0\} 且 D_\pm 关于 y 轴对称:(x, y) \in D_+ \Leftrightarrow (-x, y) \in D_-,令 f \in C(D),求证:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = \int_{D_-} [f(x, y) + f(-x, y)] \, \mathrm{d} \sigma
证明只须利用换元公式 x’ = -x, y’ = y 即可。
推论:设 D 与 f 同上,且 f 是关于 x 的奇函数,则:
\int_D f \, \mathrm{d} \sigma = 0
特例——极坐标换元法
x = r \cos \theta, y = r \sin \theta
主要适用于圆盘或相关/类似区域内的二重积分,这是面积伸缩比/雅克比行列式为:
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} D_r x & D_r y \\ D_\theta x & D_\theta y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} = r
也即面积微分有关系式:
\mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta
如果 (r, \theta) \to (x, y) 是 \tilde{D} \to D 上的 1-1 对应,则:
\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d} \sigma = \iint_{\tilde{D}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta
Piosson 积分
求概率积分:
I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d} x
记:
I_R = \int_{-R}^R e^{-x^2} \, \mathrm{d} x \\ V(R) = \iint_{x^2 + y^2 \le R^2} e^{-(x^2 + y^2)} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\ = \int_0^{2\pi} \, \mathrm{d} \theta \int_0^R e^{-r^2} r \, \mathrm{d} r = \pi\left(1 – e^{-R^2}\right)
而考虑到:
V(R) \le I_R^2 \le V(\sqrt{2} R)
因此:
I^2 = \lim_{R \to +\infty} I_R^2 = \lim_{R \to +\infty} V(R) = \pi \Rightarrow I = \sqrt{\pi}
三重积分的概念与性质
三重积分概念(类比二重积分)
令 \Omega = [a, b] \times [c, d] \times [g, h](3 维长方体),f : \Omega \to \mathbb{R}:
- 将长方体做有限规则分割:T = \pi_x \times \pi_y \times \pi_z
\pi_x : a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \\ \pi_y : c = y_0 < y_1 < \cdots < y_m = d \\ \pi_z : g = z_0 < z_1 < \cdots < z_k = h 将长方体分割为 nmk 个小长方体,任意编号得 \Omega = \bigcup\limits_{i = 1}^{nmk} \Omega_i。 构造 Riemann 和式:
\sum_{i = 1}^{nmk} f(\xi_i) \mu(\Omega_i)
其中 \mu(\Omega_i) 表示长方体 \Omega_i 的体积,\xi_i \in \Omega_i 任取,i = 1, 2, \cdots, nmk。定义 f 的三重积分:
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu := \lim_{\| T \| \to 0} \sum_{i = 1}^{nmk} f(\xi_i) \mu(D_i)
如果极限存在。其中 \| T \| = \| \pi_x \| + \| \pi_y \| + \| \pi_z \| 称为分割 T 的直径。
如果上述极限存在,称函数 Riemann 可积,记为 f \in R(\Omega)。
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu = A
也记为:
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = A
称为积分值。
Lebesgue 定理
设 \Omega 同上,f : \Omega \to \mathbb{R} 有界,则 f \in R(\Omega) 的充分必要条件是 f 的间断点集是 3 维零测集。
3 维零测集
E \subseteq \mathbb{R}^3 满足以下条件:\forall \varepsilon > 0,存在一列闭长方体 \{\Omega_i\}_{i = 1}^\infty,使得 E \subseteq \bigcup\limits_{i = 1}^\infty \Omega_i 并且 \sum\limits_{i = 1}^\infty \mu(\Omega_i) < \varepsilon。
零体积集
E \subseteq \mathbb{R}^3 满足以下条件:\forall \varepsilon > 0,存在有限个长方体 \{\Omega_i\}_{i = 1}^m,使得 E \subseteq \bigcup\limits_{i = 1}^m \Omega_i 并且 \sum\limits_{i = 1}^m \mu(\Omega_i) < \varepsilon。推论:
- 空间中任意有界平面(块)是零体积集;
- 空间中任意有限块平面块是零体积集;
- 空间中任意有限面积的光滑曲面是零体积集。
Fubini 定理
设 f \in C(\Omega), \Omega = [a, b] \times [c, d] \times [g, h],则:
\int_{\Omega} f \, \mathrm{d} \mu = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_c^d \, \mathrm{d} y \int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z
同理另外五种顺序也相等(如果积分存在)。
一般有界区域上三重积分
设 \Omega \subseteq \mathbb{R}^3 为有界区域,f : \Omega \to \mathbb{R},引入延拓函数:
f_\Omega(x, y, z) := \begin{cases} f(x, y, z) & (x, y, z) \in \Omega \\ 0 & (x, y, z) \not \in \Omega \end{cases}
以及 \Omega_M = [-M, M] \times [-M, M] \times [-M, M] \supseteq \Omega,
如果 f_\Omega \in R(\Omega_M),则称 f \in R(\Omega),定义 f 的积分值为:
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu := \int_{\Omega_M} f_\Omega \, \mathrm{d} \mu
三重积分的性质
线性性,保序性,有界性,区域可加性……
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