wzf2000 微积分笔记（48）——多重积分（4）
Contents
多重积分
三重积分的计算
Fubini 定理推论
设 $f \in C(\Omega)$，$\Omega$ 同定理，记 $D = [a, b] \times [c, d]$，则：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \iint_D \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z = \int_g^h \, \mathrm{d} z \iint_D f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
其中：
$$
\iint_D \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z = \iint_D \left [\int_g^h f(x, y, z) \, \mathrm{d} z \right] \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\
\int_g^h \, \mathrm{d} z \iint_D f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \int_g^h \left [\iint_D f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \right] \, \mathrm{d} z
$$
定理：设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 有界且 $\partial \Omega$ 是零体积集，则 $C(\Omega) \subseteq R(\Omega)$。
一般区域上的三重积分计算
- 柱形区域 $f \in C(\Omega)$：
$$
\Omega = \{(x, y, z) | z_1(x, y) \le z \le z_2(x, y), (x, y) \in D\}
$$
其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上有界区域，$z_1, z_2 \in C(D)$，且 $z_1 \le z_2$，则：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \iint_{D_M} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_{-M}^M f_\Omega(x, y, z) \, \mathrm{d} z \\
= \iint_D \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \, \mathrm{d} z \\
$$
注：先做一重积分，后做二重积分。 薄层堆叠区域 $f \in C(\Omega)$：
$$
\Omega = \{(x, y, z) | (x, y) \in D(z), a \le z \le b\}
$$
其中 $D(z)$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中有界区域（与 $z$ 相关），则：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_{-M}^M \, \mathrm{d} z \iint_{D_M} f_\Omega(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\
= \int_a^b \, \mathrm{d} z \iint_{D(z)} f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
注：先做二重积分，后做一重积分。也称切片法。
三重积分换元公式
设 $T : \tilde{\Omega} \to \Omega$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上有界区域的 $1-1$ 对应，且 $T \in C^1(\tilde{\Omega}, \mathbb{R}^3)$ 满足 $\det(JT) \not = 0$，令 $f \in C(\Omega)$，则：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_0^\Omega f \circ T |\det(JT)| \, \mathrm{d} \, \tilde{\mu}
$$
记 $T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), (u, v, w) \in \tilde{\Omega}$，引入记号：
$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} := \det [JT(u, v, w)]
$$
则换元公式可以写成：
$$
\iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z = \iiint_\Omega f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) \left| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \right| \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v \, \mathrm{d} w
$$
特例 1——柱坐标换元法
$$
x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, z = z
$$
主要适用于圆柱或相关/类似区域内的三重积分，这时体积伸缩比/雅克比行列式：
$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
\begin{vmatrix}
D_r x & D_r y & D_r z \\
D_\theta x & D_\theta y & D_\theta z \\
D_z x & D_z y & D_z z
\end{vmatrix}
= r
$$
也即体积微元有关系式：
$$
\mathrm{d} \mu = \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z = r \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} z
$$
如果 $(r, \theta, z) \to (x, y, z)$ 是 $\tilde{\Omega} \to \Omega$ 上的 $1-1$ 对应，则：
$$
\iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu = \iiint_{\tilde{\Omega}} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} z
$$
特例 2——球坐标换元法
$$
x = r \sin \theta \cos \varphi, y = r \sin \theta \sin \varphi, z = r \cos \theta
$$
主要适用于球形或相关/类似区域内的三重积分，这时伸缩比/雅克比行列式为：
$$
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} =
\begin{vmatrix}
D_r x & D_r y & D_r z \\
D_\theta x & D_\theta y & D_\theta z \\
D_\varphi x & D_\varphi y & D_\varphi z
\end{vmatrix}
= r^2 \sin \theta
$$
体积微元关系式为：
$$
\mathrm{d} \mu = \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z = r^2 \sin \theta \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} \varphi
$$
如果 $(r, \theta, \varphi) \to (x, y, z)$ 是 $\tilde{\Omega} \to \Omega$ 上的 $1-1$ 对应，则：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \iiint_\Omega f(r \sin \theta \cos \varphi, r \sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta) r^2 \sin \theta \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} \varphi
$$
重积分的物理应用
回忆：重积分应用原理
- 计算可以叠加的量（几何/物理量）；
- 分割之后便于计算（逼近），求和得到近似值；
- 分割加细，误差范围更小，取极限得到准确值。
微元叠加法（计算区域 $V$ 中某物理量 $Q$）
- 任取区域 $V$ 中某点 $P$ 处的体积微元，根据物理定律，得到 $Q$ 在 $\mathrm{d} V$ 的微分值 $\mathrm{d} Q = f(P) \, \mathrm{d} \mu$。
将 $\mathrm{d} Q$ 叠加求和（$P$ 取遍 $V$ 中）得到积分式：
$$
Q = \int_V f(P) \, \mathrm{d} V
$$
物体质量-静力矩-重心-惯性矩
设 $\rho : \Omega \to \mathbb{R}_+$ 为物体密度函数，取 $(x, y, z) \in \Omega$ 处体积微元 $\mathrm{d} \mu$，则该点处物体质量微元 $\mathrm{d} M = \rho(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu$，相应静力矩：
$$
\mathrm{d} M_{yz} = x \, \mathrm{d} M = x \rho(x, y, z) \, \mathrm{d} \mu
$$
关于 $x = 0$ 平面。
关于 $y = 0, z = 0$ 平面也类似。
求和得到总质量：
$$
M = \int_\Omega \rho \, \mathrm{d} \mu
$$
以及静力矩：
$$
M_{yz} = \int_\Omega x \rho \, \mathrm{d} \mu
$$
关于另外两个平面也类似。
由此得到物体重心坐标：
$$
\left(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}\right) = \left(\frac{M_{yz}}{M}, \frac{M_{zx}}{M}, \frac{M_{xy}}{M}\right)
$$
类似可得惯性矩：
$$
I_x = \int_\Omega (y^2 + z^2) \rho \, \mathrm{d} \mu
$$
另外两维也类似。
万有引力（电场力）
设 $\rho : \Omega \to \mathbb{R}_+$ 为物体密度函数，取 $P \in \Omega$ 处体积微元 $\mathrm{d} \mu$，按照万有引力定律，到某点 $P_0$ 的引力（略去引力常数）大小：
$$
\| \mathrm{d} \pmb{F} \| = \frac{\rho(P) \, \mathrm{d} \mu}{\| P - P_0 \|^2}
$$
方向：
$$
\mathbf{n} = \frac{P - P_0}{\| P - P_0 \|}
$$
所以 $P$ 点物体微元在 $P_0$ 点的引力向量：
$$
\mathrm{d} \pmb{F} = \frac{(P - P_0)\rho(P) \, \mathrm{d} \mu}{\| P - P_0 \|^3}
$$
求和得到：
$$
\pmb{F} = \int_\Omega \frac{(P - P_0)\rho(P) \, \mathrm{d} \mu}{\| P - P_0 \|^3}
$$
也即：
$$
\pmb{F} = (F_x, F_y, F_z) = \iiint_\Omega \frac{(x - x_0, y - y_0, z - z_0) \rho(x, y, z)}{[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2]^{\frac{3}{2}}} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z
$$
$n$ 重积分
$n$ 维长方体（类比 $3$ 维长方体）
$\Omega = I_1 \times I_2 \times \cdots \times I_n$，其中每个 $I_i = [a_i, b_i]$ 为实数闭区间，其 $n$ 维体积定义为：
$$
\mu(\Omega) := (b_1 - a_1) (b_2 - a_2) \cdots (b_n - a_n)
$$
$n$ 重积分概念
$$
f : \Omega \to \mathbb{R}
$$
- 将 $n$ 维长方体做有限规则分割：
$$
T : \Omega = \bigcup_{i = 1}^k \Omega_i
$$
分割得到有限（$k$）个 $n$ 维子长方体，分割的直径记为 $\| T \|$。 构造 Riemann 和式：
$$
\sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \mu(\Omega_i)
$$
其中 $\mu(\Omega_i)$ 为长方体 $\Omega$ 的 $n$ 维体积，$\xi \in \Omega_i$ 任取，$i = 1, 2, \cdots, k$。定义 $f$ 的 $n$ 重积分：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu := \lim_{\| T \| \to 0} \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \mu(\Omega_i)
$$
如果极限存在，称函数 Riemann 可积，记为 $f \in R(\Omega)$，上面的极限称为积分值，也记为：
$$
\idotsint_{\Omega} f(x_1, x_2, \cdots, x_n) \, \mathrm{d} x_1 \, \mathrm{d} x_2 \cdots \mathrm{d} x_n = \int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu
$$
Lebesgue 定理
设 $\Omega$ 同上，$f : \Omega \to \mathbb{R}$ 有界，则 $f \in R(\Omega)$ 的充分必要条件是 $f$ 的间断点集是 $n$ 维零测集。
$n$ 维零测集与 $n$ 维零体积集参照 $1 \sim 3$ 维情况的定义。
Fubini 定理
设 $f \in C(\Omega)$ ，$\Omega$ 同上为 $n$ 维长方体，则由 $n!$ 种累次积分次序计算 $f$ 的积分值。
$n$ 维有界区域上的 $n$ 重积分
设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为有界区域，$f : \Omega \to \mathbb{R}$，引入延拓：
$$
f_\Omega(\mathbf{x}) :=
\begin{cases}
f(\mathbf{x}) & \mathbf{x} \in \Omega \\
0 & \mathbf{x} \not \in \Omega
\end{cases}
$$
以及：
$$
\Omega_M = \prod_{i = 1}^n [-M, M] \supseteq \Omega
$$
如果 $f_\Omega \in R(\Omega_M)$，则称 $f \in R(\Omega)$，并定义：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu := \int_{\Omega_M} f_\Omega \, \mathrm{d} \mu
$$
$n$ 重积分的性质
线性性，保序性，有界性，区域可加性……
一般区域上 $n$ 重积分的计算
- 柱形区域：记 $\mathbf{x}' = (x_1, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^{n - 1}$：
$$
\Omega = \{\mathbf{x} = (\mathbf{x}', x_n) \in \mathbb{R}^n | \varphi_1(\mathbf{x}') \le x_n \le \varphi_2(\mathbf{x}'), \mathbf{x}' \in D\}
$$
其中 $D$ 为 $\mathbb{R}^{n - 1}$ 中有界区域，$\varphi_1, \varphi_2 \in C(D)$，且 $\varphi_1 \le \varphi_2$，令 $f \in C(\Omega)$，则：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_D \, \mathrm{d} \mathbf{x}' \int_{\varphi_1(\mathbf{x}')}^{\varphi_2(\mathbf{x}')} f(\mathbf{x}', x_n) \, \mathrm{d} x_n \\
= \idotsint_D \, \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n - 1} \int_{\varphi_1(x_1, \cdots, x_{n - 1})}^{\varphi_2(x_1, \cdots, x_{n - 1})} f(x_1, \cdots, x_{n - 1}, x_n) \, \mathrm{d} x_n
$$
先做一重积分，后做 $(n - 1)$ 重积分。 薄层堆叠区域
$$
\Omega = \{\mathbf{x} = (\mathbf{x}', x_n) \in \mathbb{R}^n | \mathbf{x}' \in D(x_n), a \le x_n \le b\}
$$
其中 $D(x_n)$ 为 $\mathbb{R}^{n - 1}$ 中有界区域（与 $x_n$ 有关），对于 $f \in C(\Omega)$：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_a^b \, \mathrm{d} x_n \int_{D(x_n)} f(\mathbf{x}', x_n) \, \mathrm{d} \mathbf{x}' \\
= \int_a^b \, \mathrm{d} x_n \idotsint_{D(x_n)} f(x_1, \cdots, x_{n - 1}, x_n) \, \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n - 1}
$$
先做 $(n - 1)$ 重积分，后做一重积分，可称为区域切片法。同样还有其他积分顺序。
$n$ 重积分换元公式
设 $T : \tilde{\Omega} \to \Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上有界区域的 $1-1$ 对应，且 $T \in C^1(\tilde{\Omega}, \mathbb{R}^n)$ 满足 $\det(JT) \not = 0$，令 $f \in C(\Omega)$，则：
$$
\int_\Omega f \, \mathrm{d} \mu = \int_{\tilde{\Omega}} f \circ T | \det (JT)| \, \mathrm{d} \mu
$$
记 $T : x_i = x_i(u1, \cdots, u_n), (u_1, \cdots, u_n) \in \tilde{\Omega}, i = 1, 2, \cdots, n$。
引入记号：
$$
\frac{\partial(x_1, \cdots, x_n)}{\partial(u_1, \cdots, u_n)} := \det [JT(u_1, \cdots, u_n)]
$$
则换元公式可写成：
$$
\idotsint_\Omega f(x_1, \cdots, x_n) \, \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_n \\
= \idotsint_\Omega f(x_1(u_1, \cdots, u_n), \cdots, x_n(u_1, \cdots, u_n)) \left|\frac{\partial(x_1, \cdots, x_n)}{\partial(u_1, \cdots, u_n)}\right| \, \mathrm{d} \mu_1 \cdots \mathrm{d} \mu_n
$$
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