微积分笔记（51）——曲面积分（1）

微积分笔记（51）——曲面积分（1）

曲面积分

曲面面积

如何定义？用小片平面逼近，面积叠加？

回忆：曲线弧长定义——用内接折线逼近。

类比：用内接平面多边形逼近曲面。

Schwarz 反例

用内接多边形逼近圆柱面：

1. 半径为 $1$，高为 $1$ 的圆柱面正常面积 $= 2\pi$。
2. 用有限个内接三角形逼近圆柱面，内接三角形总面积可以趋向于任意数（取决于三角形的取法）。

因此相比于曲线弧长定义，曲面面积定义要复杂得多。

面积分析

设曲面 $S$ 有 $C^1$ 参数表示：

$$\mathbf{r} = \pmb{r}(u, v) \in \mathbb{R}^3, (u, v) \in D, D \subseteq \mathbb{R}^2$$
分割逼近（类比二重积分换元）：

用直线族分割 $D$，得到 $D$ 上矩形分割，相应在曲面 $S$ 上得到 $u-$ 曲线族和 $v-$ 曲线族产生的分割。

任取 $S$ 在该分割中一小片曲面 $\Delta S$，投影到切平面上，得到曲边平行四边形，面积近似为：

$$\sigma(\Delta S) \approx \| D_u \pmb{r}(u, v) \times D_v \pmb{r}(u, v) \| \Delta u \Delta v$$
求和得到 $S$ 面积近似值：
$$\sigma(S) \approx \sum \| D_u \pmb{r}(u, v) \times D_v \pmb{r}(u, v) \| \Delta u \Delta v$$

曲面面积

设曲面 $S$ 有 $C^1$ 参数表示同上，定义 $S$ 的面积：

$$\sigma(S) := \iint_D \| D_u \pmb{r}(u, v) \times D_v \pmb{r}(u, v) \| \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v$$
合理性：设 $T : \tilde{D} \to D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上有界区域的 $C^1$ 类 $1-1$ 对应，由此得到 $S$ 的另一参数表示：
$$\mathbf{r} = \pmb{r} \circ T(s, t) \in \mathbb{R}^3, (s, t) \in \tilde{D}$$
且：
$$D_s \pmb{r} \times D_t \pmb{r} = (D_u \pmb{r} D_s u + D_v \pmb{r} D_s v) \times (D_u \pmb{r} D_t u + D_v \pmb{r} D_t v) \\ = (D_s u D_t v – D_t u D_s v)(D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r}) \\ \therefore \| D_s \pmb{r} \times D_t \pmb{r} \| = | \det JT | \cdot \| D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r} \| \\ \iint_D \| D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r} \| \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v = \iint_{\tilde{D}} \| D_s\pmb{r} \times D_t \pmb{r} \| \, \mathrm{d} s \, \mathrm{d} t$$
即面积不变。

曲面面积微元

设 $S$ 有 $C^1$ 表示 $\pmb{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) \in D$：

$$\mathrm{d} \sigma = \| D_u \pmb{r}(u, v) \times D_v \pmb{r}(u, v) \| \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v$$
称为曲面面积微元。

而：

$$\| D_u \pmb{r} \times D_v \pmb{r} \| = \sqrt{EG – F^2} = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$$
其中 $E = \| D_u \pmb{r} \|^2, F = D_u \pmb{r} \cdot D_v \pmb{r}, G = \| D_v \pmb{r} \|^2$（曲面第一积分量）。
$$A = \begin{vmatrix} D_u y & D_u z \\ D_v y & D_v z \end{vmatrix}, B = \begin{vmatrix} D_u z & D_u x \\ D_v z & D_v x \end{vmatrix}, C = \begin{vmatrix} D_u x & D_u y \\ D_v x & D_v y \end{vmatrix}$$
特例 1：$S$ 为 $xy$ 平面，取 $\pmb{r}(x, y) = (x, y, 0)$，则 $E = G = 1, F = 0$：
$$\mathrm{d} \sigma = \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$
——与 $xy$ 平面面积微元一致。

特例 2：$S$ 有 $C^1$ 显式表示：$z = f(x, y), (x, y) \in D$。

则容易得到：

$$\sigma(S) = \iint_D \sqrt{1 + (D_x f)^2 + (D_y f)^2} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$

第一型曲面积分

定义（类比第一型曲线积分）

设 $S$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中有面积的曲面，$f : \Omega \to \mathbb{R}$：

1. 做有限分割 $T$，将 $S$ 分成有限多片小曲面片：
   $$S = \bigcup_{i = 1}^k S_i$$
   记 $S_i$ 的直径为：
   $$\mathrm{diam} \, (S_i) = \sup_{\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S_i} \| \mathbf{x} – \mathbf{y} \|, i = 1, 2, \cdots, k$$

2. 构造 Riemann 和式：
   

   $$\sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \Delta \sigma(S_i)$$
   其中 $\xi_i \in \Delta \sigma(S_i)$ 任取，$i = 1, 2, \cdots, k$。

3. 定义 $f$ 在 $S$ 上的第一型曲面积分：
   

   $$\int_S f \, \mathrm{d} \sigma := \lim_{\| T \| \to 0} \sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \Delta \sigma(S_i)$$
   如果极限存在，其中 $\| T \| = \max\limits_{i = 1, \cdots, k} \mathrm{diam} \, (S_i)$——称为分割 $T$ 的宽度。

物理意义

令 $f > 0$，表示曲面 $S$ 的质量面密度，则 $\mathrm{d} M = f(x ,y, z) \mathrm{d} \sigma$ 为 $S$ 上 $(x, y, z)$ 处面积微元 $\mathrm{d} \sigma$ 的质量：

$$M = \int_S f(x, y, z) \, \mathrm{d} \sigma$$
为曲面 $S$ 的总质量。

面积微元 $\mathrm{d} \sigma$ 关于 $xy$ 平面的静力矩为 $\mathrm{d} M_{xy} = z f(x, y , z) \, \mathrm{d} \sigma$：

$$M_{xy} = \int_S z f(x, y, z) \, \mathrm{d} \sigma$$
为 $S$ 关于 $xy$ 平面的静力矩。

进而得到：

$$\left(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}\right) = \frac{(M_{yz}, M_{zx}, M_{xy})}{M}$$
为曲面 $S$ 的重心坐标。

此外：

$$I_Z = \int_S (x^2 + y^2) f(x, y, z) \, \mathrm{d} \sigma$$
为 $S$ 关于 $z$ 轴的惯性矩。

第一型曲面积分计算（类比曲面面积计算）

设曲面 $S$ 有 $C^1$ 参数表示 $\mathbf{r} = \pmb{r}(u, v) \in \mathbb{R}^3, (u, v) \in D$，对于 $f \in C(S)$：

$$\int_S f \, \mathrm{d} \sigma = \iint_D f \circ \pmb{r}(u, v) \| D_u \pmb{r}(u, v) \times D_v \pmb{r}(u, v) \| \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v$$
特例：若 $S$ 有 $C^1$ 显式表示 $z = z(x, y), (x, y) \in D$，则可得：
$$\int_S f \, \mathrm{d} \sigma = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + (D_x z)^2 + (D_y z)^2} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$

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