微积分笔记(50)——曲线积分(2)

微积分笔记(50)——曲线积分(2)

曲线积分

第二型曲线积分

向量场沿有向曲线的积分。

向量场

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中区域,$\pmb{F} : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 称为 $\Omega$ 上空间向量场。

若 $D$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中区域,$\pmb{G} : D \to \mathbb{R}^2$ 称为 $D$ 上平面向量场。

数量场

$f : \Omega \to \mathbb{R}$ 称为 $\Omega$ 上数量场。

有向曲线

带有方向的曲线:

  1. 用起点和终点确定曲线方向。
  2. 用沿着曲线前进的方向确定曲线方向(比如封闭曲线)。
  3. 用曲线的一个切线方向确定曲线方向(比如光滑曲线)。

第二型曲线积分

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为一区域,$\pmb{F} : \Omega \to \mathbb{R}^3, L \subseteq \Omega$ 为一有向曲线。

  1. 做 $L$ 的有限分割 $T$:依次从起点 $A$ 到终点 $B$ 取分割点:
    $$
    T : A = \mathbf{r}_0, \mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_n = B
    $$
    将 $L$ 分割成 $n$ 段 $\overset{\Huge{\frown}}{\mathbf{r}_{i – 1} \mathbf{r}_i}$,记 $\Delta \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i – \mathbf{r}_{i – 1}$(向量),$i = 1, 2, \cdots, n$。

  2. 构造 Riemann 和式(内积用 $\cdot$ 表示):
    $$
    \sum_{i = 1}^n \pmb{F}(\xi_i) \cdot \Delta \mathbf{r}_i
    $$
    $\xi_i \in \overset{\Huge{\frown}}{\mathbf{r}_{i – 1} \mathbf{r}_i}$ 任取,$i = 1, 2, \cdots, n$。

  3. 定义 $\pmb{F}$ 沿曲线 $L$ 的第二型曲线积分:
    $$
    \int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} := \lim_{\| T \| \to 0} \sum_{i = 1}^n \pmb{F}(\xi_i) \cdot \Delta \mathbf{r}_i
    $$
    如果极限存在。

    其中 $\| T \| = \max\limits_{i = 1, \cdots, n} \| \Delta \mathbf{r}_i \|$ 称为分割 $T$ 的直径。

物理意义

令 $\pmb{F}$ 为空间 $\Omega$ 上的力场,单位质点在 $\pmb{F}$ 作用下沿曲线 $L$ 移动,当质点移动 $\mathrm{d} \mathbf{r}$,则 $\pmb{F}$ 做功 $\mathrm{d} W = \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}$,叠加求和得到:
$$
W = \int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}
$$
即力场对质点做功总量。

性质

  1. 线性性质:
    $$
    \int_L [\alpha \pmb{F}(\mathbf{r}) + \beta \pmb{G}(\mathbf{r})] \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = \alpha \int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} + \beta \int_L \pmb{G}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}
    $$

  2. 路径有向:
    $$
    \int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = -\int_{-L} \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}
    $$
    $-L$ 为 $L$ 的反向曲线。

  3. 路径可加:
    $$
    \int_{L_1 + L_2} \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = \int_{L_1} \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} + \int_{L_2} \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}
    $$
    其中 $L_1, L_2$ 为两条有向曲线,且 $L_1 \cap L_2$ 至多为有限点集,$L_1 + L_2$ 表示两有向曲线组合成的有向曲线。

曲线积分的计算

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为一区域,曲线 $L \subseteq \Omega$ 有 $C^1$ 参数表示:
$$
\mathbf{r} = \pmb{r}(t), a \le t \le b
$$
且参数增(减)方向为曲线正向,则对于连续向量场 $\pmb{F} \in C(\Omega, \mathbb{R}^3)$:
$$
\int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = (-) \int_a^b \pmb{F}(\pmb{r}(t)) \cdot \pmb{r}^\prime(t) \, \mathrm{d} t
$$
:对于分段光滑曲线,可分段利用参数表示来计算。

直角坐标表示

记 $\pmb{F} = (P, Q, R) \in C(\Omega, \mathbb{R}^3)$,注意 $\pmb{r} = (x, y, z), \mathrm{d} \pmb{r} = (\mathrm{d} x, \mathrm{d} y, \mathrm{d} z)$,第二型曲线积分可表示为(有时是更常用的表示):
$$
\int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = \int_L \left(P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z\right)
$$

与第一型曲线积分的关系

设曲线有 $C^1$ 表示 $L : \mathbf{r} = \pmb{r}(t), a \le t \le b$,且 $t$ 增为 $L$ 的正向,则曲线单位正向切向量为 $\pmb{\tau} = \pmb{r}^\prime / \| \pmb{r} \|$。

回忆曲线弧长微元 $\mathrm{d} s = \| \pmb{r}^\prime(t) \| \, \mathrm{d} t$,所以 $\mathrm{d} \mathbf{r} = \pmb{r}^\prime(t) \, \mathrm{d} t = \pmb{\tau} \, \mathrm{d} s$。

于是第二型曲线积分计算公式:
$$
\int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = \int_a^b \pmb{F}(\pmb{r}(t)) \cdot \pmb{r}^\prime(t) \, \mathrm{d} t
$$
可以转化为第一型曲线积分:
$$
\int_L \pmb{F}(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = \int_L (\pmb{F} \cdot \pmb{\tau}) \, \mathrm{d} s
$$

Newton-Leibniz 公式(梯度场沿有向曲线的积分)

令 $f \in C^1(\Omega)$,设 $C^1$ 曲线 $L \subseteq \Omega$ 的起点是 $A$,终点是 $B$,则:
$$
\int_L \mathrm{grad} \, f(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = f(B) – f(A)
$$
证明:取 $L$ 的参数表示 $\mathbf{r} = \pmb{r}(t), a \le t \le b$ 且 $A = \pmb{r}(a), B = \pmb{r}(b)$,则:
$$
\int_L \mathrm{grad} \, f(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = \int_a^b \mathrm{grad} \, f(\pmb{r}(t)) \pmb{r}^\prime(t) \, \mathrm{d} \mathbf{t} \\
= \int_a^b \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(\pmb{r}(t)) \, \mathrm{d} t \\
= f(\pmb{r}(t)) \Big |_a^b = f(B) – f(A) \ \ \ \square
$$
:梯度场的曲线积分与路径无关,只依赖起点和终点可以记为:
$$
\int_A^B \mathrm{grad} \, f(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = \int_A^B \, \mathrm{d} f(\mathbf{r}) = f(\mathbf{r}) \Big |_A^B
$$

Green 公式——$2$ 维 Newton-Leibniz 公式

问题

如何推广 Newton-Leibniz 公式。

已知若 $f \in C^1[a, b]$,则由 $a$ 到 $b$ 的一重积分有:
$$
\int_a^b f^\prime(x) \, \mathrm{d} x = \int_a^b \, \mathrm{d} f(x) = f(x) \Big |_a^b
$$
已推广

令 $f \in C^1(\Omega)$,设 $C^1$ 曲线 $L \subseteq \Omega$ 的起点是 $A$,终点是 $B$,则 $\forall A, B \in \Omega$:
$$
\int_L \mathrm{grad} \, f(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = f(B) – f(A)
$$
容易推广:在 $\mathbb{R}^n$ 中定义第二型曲线积分,上式仍成立。

再推广:二重或三重积分的类似公式?$n$ 重积分?

平面有界区域的边界曲线

  1. 令 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 为 $xy$ 平面上的有界闭区域。
  2. 设 $D$ 的边界 $\partial D$ 为分段光滑闭曲线。
  3. 规定 $D$ 的边界曲线方向符合右手法则(见下面说明)。

光滑曲线

存在 $C^1$ 曲线参数表示 $\mathbf{r} = \pmb{r}(t), a \le t \le b$ 且 $\| \pmb{r}^\prime(t)\| \not = 0$。

右手法则

伸出右手:

  1. 大拇指与 $z$ 轴正向一致。
  2. 四指指向有向曲线 $\partial D$ 的正向。
  3. 手掌面向附近的平面区域 $D$。

注意:$D$ 的边界可能有多条曲线。

Green 公式

令 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 为有界闭区域,其边界 $\partial D$ 为分段光滑有向曲线,设 $(P, Q) \in C^1(D, \mathbb{R}^2)$,$D$ 上 $C^1$ 平面向量场,成立:
$$
\oint_{\partial D} (P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \\
\oint_{\partial D} (P \, \mathrm{d} y – Q \, \mathrm{d} x) = \iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
其中 $\oint_{\partial D}$ 表示沿封闭曲线 $\partial D$ 的曲线积分。

注 1:两个公式给出了平面向量场的导数在有界区域上的积分与向量场沿边界曲线积分的关系。

注 2:易见两公式等价,只须证明其中之一,但两者具有不同的几何物理含义(后面再说明)。

Green 公式证明

证明:要证第一个式子,只要分别证明:
$$
\oint_{\partial D} P \, \mathrm{d} x = – \iint_D \frac{\partial P}{\partial y} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y, \oint_{\partial D} Q \, \mathrm{d} y = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
以第一式为例:设区域 $D$ 有如下表示($y$ 轴方向柱形):
$$
D = \{(x, y) : \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x), a \le x \le b\}
$$
其中 $\varphi_1, \varphi_2 \in C(D)$,且 $\varphi_1 \le \varphi_2$。

这时 $\partial D = \Gamma_1 + \Gamma_2 + \Gamma_3 + \Gamma_4$:
$$
\Gamma_1 : y = \varphi_1(x), a \le x \le b \\
\Gamma_2 : x = b, \varphi_1(b) \le y \le \varphi_2(b) \\
\Gamma_3 : y = \varphi_2(x), a \le x \le b \\
\Gamma_4 : x = a, \varphi_1(a) \le y \le \varphi_2(a)
$$
其中分别以 $x$ 增、$y$ 增、$x$ 减、$y$ 减为正向。

下面直接计算验证公式。

首先在 $\Gamma_2, \Gamma_4$ 上 $x = a$ 及 $x = b$,这导出 $\mathrm{d} x = 0$,从而曲线积分:
$$
\int_{\Gamma_2} P \, \mathrm{d} x = \int_{\Gamma_4} P \, \mathrm{d} x = 0
$$
由 $D$ 的边界分解和曲线积分路径可加性:
$$
\oint_{\partial D} P \, \mathrm{d} x = \int_{\Gamma_1} P \, \mathrm{d} x + \int_{\Gamma_3} P \, \mathrm{d} x = \int_a^b [P(x, \varphi_1(x)) – P(x, \varphi_2(x))] \, \mathrm{d} x
$$
另一方面,将二重积分转化为累次积分:
$$
\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \int_a^b \, \mathrm{d} x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \, \mathrm{d} y = \int_a^b P(x, y) \Big |_{y = \varphi_1(x)}^{y = \varphi_2(x)} \, \mathrm{d} x
$$
这说明当 $D$ 是上述类型特殊区域时公式成立。

当 $D$ 为一般区域,添加直线将 $D$ 分割成有限个上述类型子区域 $D = \bigcup\limits_{i = 1}^k D_i$。

在每个 $D_i$ 上应用上面结论:
$$
\oint_{\partial D_i} P \, \mathrm{d} x = – \iint_{D_i} \frac{\partial P}{\partial y} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y, i = 1, 2, \cdots, k
$$
关于 $i$ 求和得到:
$$
\sum_{i = 1}^k \oint_{\partial D_i} P \, \mathrm{d} x = – \sum_{i = 1}^k \iint_{D_i} \frac{\partial P}{\partial y} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = – \iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
位于 $D$ 内部的 $\partial D_i$ 上积分必会两两抵消,只剩下沿 $\partial D$ 的积分。
$$
\therefore \oint_{\partial D} P \, \mathrm{d} x = – \iint_D \frac{\partial P}{\partial y} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
$$
同理可证:
$$
\oint_{\partial D} Q \, \mathrm{d} y = \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \ \ \square
$$

应用 1:平面有界区域 $D$ 的面积

取:
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} = 1
$$
则:
$$
\oint_{\partial D} (P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y) = \iint_D \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \sigma(D)
$$
特别可令 $Q = x, P = 0$ 或 $Q = 0, P = -y$ 或 $Q = \dfrac{x}{2}, P = -\dfrac{y}{2}$:
$$
\therefore \sigma(D) = \oint_{\partial D} x \, \mathrm{d} y = – \oint_{\partial D} y \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (x \, \mathrm{d} y – y \, \mathrm{d} x)
$$

应用 2:平面上第二型曲线积分的计算

只须将曲线补全为区域的边界即可,需要注意曲线方向可能与边界方向相反。

 

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