微积分笔记（55）——场的数学

微积分笔记（55）——场的数学

场的数学

场

场的数学概念

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为区域：

1. $f : \Omega \to \mathbb{R}$ 称为 $\Omega$ 上的数量场。
2. $\pmb{F} = (P, Q, R) : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 称为 $\Omega$ 上的向量场。

场的实例

1. 传热过程中的温度场，扩散过程中的浓度场。
2. 万有引力场，重力场，流体速度场，静止电荷产生的静电场，运动电荷产生的磁场。

梯度

数量场的梯度

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为区域，$f : \Omega \to \mathbb{R}$ 可微：

$$\mathrm{grad} \, f := (D_x f, D_y f, D_z f)$$
称为 $f$ 的梯度，注意 $\mathrm{grad} \, f : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 是 $\Omega$ 上的向量场（称为 $f$ 的梯度场）。

梯度场几何意义

1. 任取单位向量 $\pmb{l} \in \mathbb{R}^3, D_{\pmb{l}} f = \mathrm{grad} \, f \cdot \pmb{l}$。

2. $|D_{\pmb{l}} f| \le \| \mathrm{grad} \, f \| = D_{\pmb{l}_0} f, \pmb{l}_0 = \dfrac{\mathrm{grad} \, f}{\| \mathrm{grad} \, f \|}$。

   也即梯度方向是函数增加最快的方向，梯度大小是函数在增加最快的方向的增加率。

注：上述性质还说明，梯度实际上与坐标系的选取无关。

$\nabla$——nabla 微分算子（形式向量）

引入运算符号：

$$\nabla := (D_x, D_y, D_z) = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$$
规定：
$$\nabla f = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = \mathrm{grad} \, f$$

$\nabla$ 运算性质 A

令 $f, g : \Omega \to \mathbb{R}$ 可微：

1. 线性：$\nabla(\alpha f + \beta g) = \alpha \nabla f + \beta \nabla g, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$。
2. 乘积：$\nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f$。
3. 复合：$\nabla \varphi(f) = \varphi^\prime(f) \nabla f$——链式法则。

其中 $\varphi$ 为单变量可微函数。

散度

向量场的散度

设 $\pmb{F} = (P, Q, R) : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 为可微向量场，定义：

$$\mathrm{div} \, \pmb{F} := \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$
称为 $\pmb{F}$ 的散度。

注意 $\mathrm{div} \, \pmb{F} : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 是 $\Omega$ 上数量场（$\pmb{F}$ 的散度场）。

回忆 Gauss 公式

可以改写成：

$$\int_\Omega \mathrm{div} \, \pmb{F} \, \mathrm{d} \mu = \int_{\partial \Omega} \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma$$
——向量场形式。

散度的物理意义

在 Gauss 公式中，取 $\Omega = B_\varepsilon(\mathbf{x}_0)$，利用积分中值定理 $\exists \xi \in B_\varepsilon(\mathbf{x}_0)$，使得：

$$\mathrm{div} \, \pmb{F}(\xi) \int_{B_\varepsilon(\mathbf{x}_0)} \, \mathrm{d} \mu = \int_{B_\varepsilon(\mathbf{x}_0)} \mathrm{div} \, \pmb{F} \, \mathrm{d} \mu = \int_{\partial B_\varepsilon(\mathbf{x}_0)} \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma$$
等式两端除以区域体积，令 $\varepsilon \to 0$，得到：
$$\mathrm{div} \, \pmb{F}(\mathbf{x}_0) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\mu(B_\varepsilon)} \int_{\partial B_\varepsilon(\mathbf{x}_0)} \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma$$
这是向量场 $\pmb{F}$ 在 $\mathbf{x}_0$ 点单位体积内的发散量——发散强度。

注：上述分析也说明，散度实际上也与坐标系选取无关。

$\nabla$——算子表示（形式向量内积）

设 $\pmb{F} = (P, Q, R) : \Omega \to \mathbb{R}^3$，规定：

$$\nabla \cdot \pmb{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (P, Q, R) = \left(\frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial R}{\partial z} \right) = \mathrm{div} \, \pmb{F}$$

运算性质 B

令 $\pmb{F}, \pmb{G} : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 可微：

1. 线性：$\nabla \cdot (\alpha \pmb{F} + \beta \pmb{G}) = \alpha \nabla \cdot \pmb{F} + \beta \nabla \cdot \pmb{G}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$。
2. 乘积：$\nabla \cdot (f \pmb{F}) = f \nabla \cdot \pmb{F} + \nabla f \cdot \pmb{F}, f : \Omega \to \mathbb{R}$ 可微。

注：梯度和散度概念容易推广到 $\mathbb{R}^n$ 中，包括 $\Delta$ 算子表示。

旋度

向量场的旋度

设 $\pmb{F} = (P, Q, R) : \Omega \to \mathbb{R}^4$ 为可微向量场，定义 $\pmb{F}$ 的旋度为：

$$\mathrm{rot} \, \pmb{F} := \left(\frac{\partial R}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} – \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) = \mathrm{curl} \, \pmb{F}$$
注意 $\mathrm{rot} \, \pmb{F} : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 是 $\Omega$ 上的向量场（$\pmb{F}$ 的旋度场）

回忆 Stokes 公式（旋度定理）

可以改写成：

$$\int_S \mathrm{rot} \, \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\partial S} \pmb{F} \cdot \pmb{\tau} \, \mathrm{d} s$$
——向量场形式。

旋度的物理意义

在 Stokes 公式中，任取单位向量 $\pmb{n}$，取 $S = S_\varepsilon(\mathbf{x}_0)$ 如下：

$S_\varepsilon(\mathbf{x}_0)$：以 $\mathbf{x}_0$ 为心，$\varepsilon > 0$ 为半径，$\pmb{n}$ 为正法向的平面圆盘。

代入 Stokes 公式，两端除以圆盘面积，令 $\varepsilon \to 0$，得：

$$\mathrm{rot} \, \pmb{F}(\mathbf{x}_0) \cdot \pmb{n} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\sigma(S_\varepsilon)} \int_{\partial S_\varepsilon (\mathbf{x}_0)} \pmb{F} \cdot \pmb{\tau} \, \mathrm{d} s$$
这是 $\pmb{F}$ 在 $\mathbf{x}_0$ 点绕方向 $\pmb{n}$ 的单位面积的环绕量——旋转强度。

结论：$\pmb{F}$ 绕 $\mathrm{rot} \, \pmb{F}$ 方向的旋转最强，最强旋转强度为 $\| \mathrm{rot} \, \pmb{F} \|$——类似于数量场的梯度关于数量场增长方向的性质。

$\nabla$——算子表示（形式向量积）

规定：

$$\nabla \times \pmb{F} = (D_x, D_y, D_z) \times (P, Q, R) = \begin{vmatrix} \pmb{e}_1 & \pmb{e}_2 & \pmb{e}_3 \\ D_x & D_y & D_z \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ = \left(\frac{\partial R}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} – \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) = \mathrm{rot} \, \pmb{F}$$

$\nabla$——算子符号小结

令 $f : \Omega \to \mathbb{R}$ 是可微数量场，$\pmb{F} : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 是可微向量场：

$$\nabla f = \mathrm{grad} \, f, \nabla \cdot \pmb{F} = \mathrm{div} \, \pmb{F}, \nabla \times \pmb{F} = \mathrm{rot} \, \pmb{F}$$
——使用效率高。

运算性质 C

令 $\pmb{F}, \pmb{G} : \Omega \to \mathbb{R}^3$ 可微：

1. 线性：$\nabla \times (\alpha \pmb{F} + \beta \pmb{G}) = \alpha \nabla \times \pmb{F} + \beta \nabla \times \pmb{G}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$。
2. 乘积：$\nabla \times (f \pmb{F}) = f \nabla \times \pmb{F} + \nabla f \times \pmb{F}, f : \Omega \to \mathbb{R}$ 可微。
3. 混合积：$\nabla \cdot(\pmb{F} \times \pmb{G}) = (\nabla \times \pmb{F}) \cdot \pmb{G} – \pmb{F} \cdot \nabla \times \pmb{G}$。

3 验证：

记 $\pmb{F} = (P, Q, R), \pmb{G} = (X, Y, Z)$，根据混合积的行列式计算规则，结合乘积函数求导法则以及行列式行交换规则：

$$\nabla \cdot (\pmb{F} \times \pmb{G}) = \begin{vmatrix} D_x & D_y & D_z \\ P & Q & R \\ X & Y & Z \end{vmatrix} \\ = \begin{vmatrix} X & Y & Z \\ D_x & D_y & D_z \\ P & Q & R \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} P & Q & R \\ D_x & D_y & D_z \\ X & Y & Z \end{vmatrix} \\ = (\nabla \times \pmb{F}) \cdot \pmb{G} – \pmb{F} \cdot \nabla \times \pmb{G}$$

Green-Gauss-Stokes 公式再认识

$$\int_\Omega \nabla \cdot \pmb{F} \, \mathrm{d} \mu = \int_{\partial \Omega} \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma \\ \int_S \nabla \times \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\partial S} \pmb{F} \cdot \pmb{\tau} \, \mathrm{d} s \\ \int_D \nabla \cdot \pmb{F} \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\partial D} \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} s \\ \int_D \nabla \times \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma = \int_{\partial D} \pmb{F} \cdot \pmb{\tau} \, \mathrm{d} s \\ $$

$\nabla$——算子的推广

在 $\mathbb{R}^n$ 中定义 nabla 算子（形式 $n$ 维向量）：

$$\nabla := (D_{x_1}, \cdots, D_{x_n}) = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right)$$
设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n, f : \Omega \to \mathbb{R}$ 可微，$\pmb{F} = (F_1, \cdots, F_n) : \Omega \to \mathbb{R}^n$ 可微，则可以定义相应的梯度和散度：
$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right), \nabla \cdot \pmb{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}$$
注：可惜无法定义有意义的旋度（$n \not = 3$）。

保守场

回忆：曲线积分的 Newton-Leibniz 公式

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为区域，$A, B \in \Omega, f \in C^1(\Omega)$，则：

$$\int_L \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \, \mathrm{d} y + \frac{\partial f}{\partial z} \, \mathrm{d} z = \int_A^B \, \mathrm{d} f = f(B) – f(A)$$
其中 $L$ 为 $\Omega$ 中以 $A$ 为起点、$B$ 为终点的任意定向曲线。

推论：对于向量场 $(P, Q, R) = \mathrm{grad} \, f$，其中 $f \in C^1(\Omega)$，曲线积分 $\displaystyle \int_L P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$ 只依赖于定向曲线的起点终点而与具体路径 $L$ 无关。

保守场

令 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 为区域，$\pmb{F} = (P, Q, R)$ 为 $\Omega$ 上向量场，如果 $\displaystyle \int_L P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$ 只依赖于定向曲线 $L$ 的起点和终点而与具体路径无关，则称 $\pmb{F}$ 为 $\Omega$ 上的保守场。

保守场的判定

考虑以下命题：

1. $\pmb{F}$ 为 $\Omega$ 上保守场。
2. 对于 $\Omega$ 中任意定向闭曲线 $\displaystyle \oint_L P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = 0$。
3. $\pmb{F}$ 为 $\Omega$ 中梯度场，即 $\exists f \in C^1(\Omega), \nabla f = \pmb{F} = (P, Q, R)$。
4. 如果 $\pmb{F}$ 是 $C^1$ 向量场，则在 $\Omega$ 中无旋，即 $\nabla \times \pmb{F} = 0$。

成立以下关系：

$$1 \Leftrightarrow 2 \Leftrightarrow 3 \Rightarrow 4$$
证明：$1 \Rightarrow 2$ 显然，为证明 $2 \Rightarrow 1$，任取 $L_1$ 与 $L_2$ 有相同的起点 $A$ 和终点 $B$，则 $L_1 – L_2$ 为定向曲线，由 $2$ 得：
$$\oint_{L_1 – L_2} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = 0, \therefore \int_{L_1} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \int_{L_2} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$$
$3 \Rightarrow 1$ 由 Newton-Leibniz 公式得到。

梯度场无旋，则 $3 \Rightarrow 4$。

最后验证 $1 \Rightarrow 3$：令 $\pmb{F}$ 为 $\Omega$ 上的保守场，需要找势函数。

固定 $(x_0, y_0, z_0) \in \Omega$，定义函数：

$$f(x, y, z) = \int_{(x_0, y_0, z_0)}^{(x, y, z)} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$$
以下验证 $\nabla f = \pmb{F} = (P, Q, R)$。

为此考虑 $\Delta x \not = 0$，不妨令 $\Delta x > 0$：

$$f(x + \Delta x, y, z) – f(x, y, z) = \int_{(x, y, z)}^{(x + \Delta x, y, z)} P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \int_{x}^{x + \Delta x} P(t, y, z) \, \mathrm{d} t$$
因此：
$$\frac{f(x + \Delta x, y, z) – f(x, y, z)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \int_x^{x + \Delta x} P(t, y, z) \, \mathrm{d} t = P(x, y, z)$$
这说明：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = P$$
同理可得：
$$\frac{\partial f}{\partial y} = Q, \frac{\partial f}{\partial z} = R \ \ \square$$
注：对于 $C^1$ 向量场，无旋是保守场的必要条件，但不是充分的。

比如 $\pmb{F} = (P, Q, R), P = \dfrac{-y}{x^2 + y^2}, Q = \dfrac{x}{x^2 + y^2}, R = 0$，易得其无旋，但任意沿逆时针绕 $z$ 轴一圈的定向闭曲线的积分值都为 $2 \pi$。

单连通区域（线单连通）

如果对于 $\Omega$ 中任意定向封闭曲线 $L$，存在 $\Omega$ 中定向曲面 $S$ 使得 $\partial S = L$，则称 $\Omega$ 为单连通区域（更精确地称为线单连通区域）。

保守场的判别（补充）

设 $\Omega$ 为线单连通区域，$\pmb{F}$ 是 $\Omega$ 上 $C^1$ 向量场，则 $\pmb{F}$ 是保守场当且仅当 $\pmb{F}$ 是无旋场。

证明：只需证明 $4 \Rightarrow 2$：令 $\pmb{F} = (P, Q, R)$ 无旋，$\nabla \times \pmb{F} = 0$。

任取 $\Omega$ 中定向曲线 $L$，取 $\Omega$ 中定向曲面 $S$ 使得 $\partial S = L$，应用 Stokes 公式：

$$\oint_L P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \int_{\partial S} \pmb{F} \cdot \tau \, \mathrm{d} s = \int_S \nabla \times \pmb{F} \cdot \pmb{n} \, \mathrm{d} \sigma = 0$$

单连通区域实例

1. $\Omega = \mathbb{R}^3$ 是单连通区域，$\Omega = \mathbb{R}^3 \backslash \{O\}$ 也是单连通区域。
2. $\Omega = \mathbb{R}^2$ 是平面单连通区域，$\Omega = \mathbb{R}^2 \backslash \{O\}$ 不是单连通区域。
3. $\Omega = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \not = 0\}$（去掉 $z$ 轴）不是单连通区域。

令 $L$ 为环绕 $z$ 轴一周的光滑闭曲线，则以 $L$ 为边界的定向曲面必与 $z$ 轴相交，因而在 $\Omega$ 中不存在以 $L$ 为边界的定向曲面。

向量场与微分形式

向量场

$\pmb{F} = (P, Q, R)$ 对应一个 $1$ 次微分形式：

$$\omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$$

保守场/梯度场

$\nabla u = (P, Q, R)$ 对应一个 $0$ 次形式的微分：

$$\omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z = \mathrm{d} u$$
这时称 $\omega$ 为一个恰当形式/恰当微分（全微分）。

无旋场

$\nabla \times \pmb{F} = 0$ 对应微分形式 $\omega$ 满足：

$$\mathrm{d} \omega = \mathrm{d} P \land \mathrm{d} x + \mathrm{d} Q \land \mathrm{d} y + \mathrm{d} R \land \mathrm{d} z = \cdots = 0$$
这时称 $\omega$ 为一个闭形式，在单连通区域中 $\omega$ 是恰当形式。

保守场的判别（利用微分形式）

设 $\pmb{F} = (P, Q, R), \omega= P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y + R \, \mathrm{d} z$：

1. $\pmb{F}$ 是保守场当且仅当 $\omega$ 为恰当形式：存在 $u$ 使得 $\mathrm{d} u = \omega$。

2. 若 $\pmb{F}$ 是单连通区域上的 $C^1$ 向量场，则 $\pmb{F}$ 是保守场当且仅当 $\omega$ 是闭形式：$\mathrm{d} \omega = 0$，这时成立：
   

   $$\int_A^B \pmb{F} \cdot \mathrm{d} r = \int_A^B \omega = \int_A^B \, \mathrm{d} u = u(B) – u(A)$$

这也就是保守场的判别方式。

平面向量场与恰当微分方程

平面向量场：$\pmb{F} = (P, Q)$ 对应微分形式 $\omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y$。

平面保守场/梯度场：$\nabla u = (P, Q)$ 对应二元函数的微分：

$$\mathrm{d} u = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y = \omega$$
也即 $\omega$ 是一个恰当形式/恰当微分/全微分。

恰当微分方程/全微分方程

$$P(x, y) \, \mathrm{d} x + Q(x, y) \, \mathrm{d} y = 0$$

这里 $\omega = P \, \mathrm{d} x + Q \, \mathrm{d} y$ 是一个恰当形式，则 $\exists u \in C^1, \mathrm{d} u = \omega$，这时可以直接验证 $u(x, y) = C$ 是原方程的通解。

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