
高等代数选讲笔记(12)——对偶空间
第十二讲:对偶空间
对偶相关概念
数学
对偶空间,对偶群……
物理
电和磁。
对偶空间
概念
V 是线性空间,V 上的一个线性泛函是一个线性变换:
L:V→C
V 的对偶空间 V∗ 为 L(V,C),即所有线性泛函组成的集合。
一般来说,V,W 为线性空间,L(V,W),即所有 V 到 W 的线性变换也是一个线性空间。
所以 V∗ 也是一个线性空间。
实例
V=Cn,那么 Cn→C 可以看作一个行向量 y∈(Cn)∗,y=(y1,⋯,yn)。
x=[x1⋮xn]
则:
y:x↦yx
或者 y 是一个列向量:
y↦yTx=y⋅x
⇒V 和 V∗ 的维数是相同的。
注:并不存在一个典范/自然的同构!
引理
v∈V,如果 L(v)=0,∀L∈V∗,那么 v=0。
证明:固定 V 的一组基 B,那么 L(V)=[L]B(C 取标准基)。
那么 L(v)=[L]B[v]B。
对于任意 k,令:
[L]B=[0,⋯,1,⋯,0]
其中第 k 列为 1,则可得 [v]B 的第 k 个坐标为 0。
⇒[v]B=0⇒v=0。
对偶的对偶
V⇝V∗⇝V∗∗⇝V∗∗∗⇝⋯
性质:(V 有限维)那么存在一个典范/自然的线性变换,T:V→V∗∗
典范/自然:不需要依赖额外的结构(基的选取,内积的选取,……)。
性质
典范映射 T:V→V∗∗ 是同构。
证明:引理说明了 T 是单射:
Tv=0⇒f(v)=0,∀f∈V∗⇒v=0
又因为 dimV=dimV∗=dimV∗∗,因此 T 是同构。
对偶基
定义
令 (b1,⋯,bn) 是 V 的一组基,设 (b∗1,⋯,b∗n)∈V∗ 满足:
b∗k(bj)={1k=j0k≠j=δk,j
[b∗k]B=[b∗k(b1),⋯,b∗k(bn)]=(0,1,⋯,0),其中第 k 列为 1。
对于任意 L∈V∗,[L]B=[L1,⋯,Ln],则:
L=L1b∗1+⋯+Lnb∗n⇒span{b∗1,⋯,b∗n}=V∗,dimV∗=n
⇒ 此 b∗1,⋯,b∗n 是 V∗ 的一组基。
这组基称为 (b1,⋯,bn) 的对偶基。
注:对于一个向量 v∈V,不能定义 v∗∈V∗(不存在自然的映射)。
e.g. V=Cn,考虑其一组基 b1,⋯,bn,则:
[b∗1,⋯,b∗n]T[b1,⋯,bn]=I⇒[b∗1,⋯,b∗n]=([b1,⋯,bn]T)−1
性质
任意 v∈V:
v=n∑k=1αkbkb∗j(v)=n∑k=1αkb∗j(bk)=αj,∀j=1,⋯,n
⇒v=n∑i=1b∗k(v)bk
e.g. 多项式的泰勒公式。
设 Pn 为阶数 ≤n 的多项式的集合,则:
{e0=1,e1=t,⋯,en=tn}
这组基的对偶基为:
e∗k=1k!P(k)(0)
因为:
e∗k(ej)=1k!(tj)(k)(0)
容易看出,当且仅当 k=j 时取值为 1,否则取值为 0。
(∗)⇒p(t)=n∑k=0e∗k(p)ek=n∑k=01k!p(k)tk
即麦克劳伦公式。
一般的泰勒公式只需要考虑 e0=1,e1=t–a,⋯,en=(t–a)n 即可。
e.g. 拉格朗日插值公式
固定 a1,⋯,an+1 为 n+1 个不同的复数。
定义 fk∈(Pn)∗,fk(p)=p(ak),对偶基是?
即找到 pj∈Pn,使得 fk(pj)=δk,j。
pk(t)=∏j≠k1≤j≤n+1(t–aj)∏j≠k1≤j≤n+1(ak–aj)fj(pk)=pk(aj)={1j=k0j≠k
因此 {fk} 是 {pk} 的对偶基。
故存在唯一阶数 ≤n 的多项式 p,满足 p(ak)=yk。
(∗)⇒p(t)=n+1∑k=1ykpk(t)=n+1∑k=1yk∏j≠k(t–aj)∏j≠k(ak–aj)
注:唯一性可由引理得到。
对偶变换
概念
V×V∗→C(v,l)↦⟨v,l⟩:=l(v)
类似于内积,但左右的输入不一样。
T:V→W,定义:
T∗:W∗→V∗l↦l∘T
为其对偶变换。
则:
⟨Tv,l⟩=l(T(v))=T∗l(v)=⟨v,T∗l⟩
令 A=(a1,⋯,an) 是 V 的基,B=(b1,⋯,bn) 为 W 的基,A∗,B∗ 为对偶基,则:
[T]A,B=([T∗]B∗,A∗)T
子空间的补
令 E⊆V 是一子空间,定义 E⊥⊆V∗:
E⊥={l∈V∗|⟨v,l⟩=0,∀v∈E}
性质:E=(E⊥)⊥⊆(V∗)∗=V
证明:令 v1,⋯,vr 是 E 的基,将其补充至 v1,⋯,vn 为 V 的基,v∗1,⋯,v∗n 为其对偶基,则:
E⊥=span{v∗r+1,⋯,v∗n}
定理
T:V→W,T∗:W∗→V∗,那么:
- KerT∗=(RangeT)⊥;
- KerT=(RangeT∗)⊥;
- RangeT=(KerT∗)⊥;
- RangeT∗=(KerT)⊥.
证明:只须证明第一条。
l∈(RangeT)⊥⇔0=⟨Tx,l⟩,∀x∈V⇔0=⟨x,T∗l⟩,∀x∈V⇔T∗l=0⇔l∈KerT∗
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