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高等代数选讲笔记(12)——对偶空间

高等代数选讲笔记(12)——对偶空间

第十二讲:对偶空间

对偶相关概念

数学

对偶空间,对偶群……

物理

电和磁。

对偶空间

概念

V 是线性空间,V 上的一个线性泛函是一个线性变换:
L:VC


V 的对偶空间 VL(V,C),即所有线性泛函组成的集合。

一般来说,V,W 为线性空间,L(V,W),即所有 VW 的线性变换也是一个线性空间。

所以 V 也是一个线性空间。

实例

V=Cn,那么 CnC 可以看作一个行向量 y(Cn),y=(y1,,yn)
x=[x1xn]


则:
y:xyx

或者 y 是一个列向量:
yyTx=yx

VV 的维数是相同的。

:并不存在一个典范/自然的同构!

引理

vV,如果 L(v)=0,LV,那么 v=0

证明:固定 V 的一组基 B,那么 L(V)=[L]BC 取标准基)。

那么 L(v)=[L]B[v]B

对于任意 k,令:
[L]B=[0,,1,,0]


其中第 k 列为 1,则可得 [v]B 的第 k 个坐标为 0

[v]B=0v=0

对偶的对偶

VVVV

性质:(V 有限维)那么存在一个典范/自然的线性变换,T:VV

典范/自然:不需要依赖额外的结构(基的选取,内积的选取,……)。

性质

典范映射 T:VV 是同构。

证明:引理说明了 T 是单射:
Tv=0f(v)=0,fVv=0


又因为 dimV=dimV=dimV,因此 T 是同构。

对偶基

定义

(b1,,bn)V 的一组基,设 (b1,,bn)V 满足:
bk(bj)={1k=j0kj=δk,j


[bk]B=[bk(b1),,bk(bn)]=(0,1,,0),其中第 k 列为 1

对于任意 LV[L]B=[L1,,Ln],则:
L=L1b1++Lnbnspan{b1,,bn}=V,dimV=n


b1,,bnV 的一组基。

这组基称为 (b1,,bn) 的对偶基。

:对于一个向量 vV,不能定义 vV(不存在自然的映射)。

e.g. V=Cn,考虑其一组基 b1,,bn,则:
[b1,,bn]T[b1,,bn]=I[b1,,bn]=([b1,,bn]T)1

性质

任意 vV
v=nk=1αkbkbj(v)=nk=1αkbj(bk)=αj,j=1,,n

v=ni=1bk(v)bk

e.g. 多项式的泰勒公式。

Pn 为阶数 n 的多项式的集合,则:
{e0=1,e1=t,,en=tn}


这组基的对偶基为:
ek=1k!P(k)(0)

因为:
ek(ej)=1k!(tj)(k)(0)

容易看出,当且仅当 k=j 时取值为 1,否则取值为 0
()p(t)=nk=0ek(p)ek=nk=01k!p(k)tk

即麦克劳伦公式。

一般的泰勒公式只需要考虑 e0=1,e1=ta,,en=(ta)n 即可。

e.g. 拉格朗日插值公式

固定 a1,,an+1n+1 个不同的复数。

定义 fk(Pn),fk(p)=p(ak),对偶基是?

即找到 pjPn,使得 fk(pj)=δk,j
pk(t)=jk1jn+1(taj)jk1jn+1(akaj)fj(pk)=pk(aj)={1j=k0jk


因此 {fk}{pk} 的对偶基。

故存在唯一阶数 n 的多项式 p,满足 p(ak)=yk
()p(t)=n+1k=1ykpk(t)=n+1k=1ykjk(taj)jk(akaj)


:唯一性可由引理得到。

对偶变换

概念

V×VC(v,l)v,l:=l(v)

类似于内积,但左右的输入不一样。

T:VW,定义:
T:WVllT


为其对偶变换。

则:
Tv,l=l(T(v))=Tl(v)=v,Tl


A=(a1,,an)V 的基,B=(b1,,bn)W 的基,A,B 为对偶基,则:
[T]A,B=([T]B,A)T

子空间的补

EV 是一子空间,定义 EV
E={lV|v,l=0,vE}


性质E=(E)(V)=V

证明:令 v1,,vrE 的基,将其补充至 v1,,vnV 的基,v1,,vn 为其对偶基,则:
E=span{vr+1,,vn}

定理

T:VW,T:WV,那么:

  1. KerT=(RangeT)
  2. KerT=(RangeT)
  3. RangeT=(KerT)
  4. RangeT=(KerT).

证明:只须证明第一条。
l(RangeT)0=Tx,l,xV0=x,Tl,xVTl=0lKerT

 

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