# 复变函数引论笔记（3）——复变函数的积分

## Chapter 3. 复变函数的积分

### 1. 积分的概念

#### 1.1. 定义

$w = f(z)$ 在 $D$ 上有定义，有向曲线 $C \subseteq D$ 规定了方向，$C^-$ 表示反方向。（先约定 $C$ 是光滑曲线）

$$I_0 = \sum_{k = 1}^n f(\zeta_k) \Delta z_k \quad (\Delta z_k = z_k – z_{k – 1})$$

$I$ 称为 $f(z)$ 沿 $C$ 的积分，记作：
$$I = \int_C f(z) \, dz = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n f(\zeta_k) \Delta z_k$$

$$I = \oint_C f(z) \, d z$$

#### 1.2. 积分存在的条件及其计算法

\begin{align*} I_n & = \sum_{k = 1}^n (u(\xi_k, \eta_k) + \mathrm{i} v(\xi_k, \eta_k)) (\Delta x_k + \Delta y_k) \\ & = \sum_{i = 1}^n \left\{\left[u(\xi_k, \eta_k) \Delta x_k – v(\xi_k, \eta_k) \Delta y_k\right] + \mathrm{i} \left[v(\xi_k, \eta_k) \Delta x_k + u(\xi_k, \eta_k) \Delta y_k\right]\right\} \\ \end{align*}

\begin{align*} & \quad \int_C u \, dx – v \, dy + \mathrm{i} \int_C v \, dx + u \, dy \\ & = I = \int_C f(z) \, dz \end{align*}

$$\int_C f(z) \, dz = \int_a^b \{u[x(t), y(t)] + \mathrm{i} v[x(t), y(t)]\} \{x^\prime(t) + \mathrm{i} y^\prime(t)\} \, dt = \int_a^b f[z(t)] z^\prime(t) \, dt$$

#### 1.3. 积分性质

1. $\displaystyle \int_{C^-} f(z) \, dz = – \int_C f(z) \, dz$
2. $\displaystyle \int_C k f(z) \, dz = k \int_C f(z) \, dz, k = const$
3. $\displaystyle \int_C (f(z) \pm g(z)) \, dz = \int_C f(z) \, dz \pm \int_C g(z) \, dz$

4. 设 $w = f(z)$ 在 $C$ 上满足 $|f(z)| \le M, \forall z \in C$，则：

$$\left|\int_C f(z) \, dz \right| \le \int_C |f(z)| \, |dz| \le \int_C M |dz| = \int_C M ds = ML$$

其中 $L$ 为 $C$ 弧长。

$$\int_C f(z) \, dz \stackrel{\triangle}{=} \sum_{k = 1}^m \int_{C_k} f(z) \, dz$$

### 2. Cauchy-Goursat 基本定理

#### 2.1. 回忆 Green 公式

Green 公式

$$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_B \left(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy$$

\begin{align*} \oint_C f(z) \, dz & = \int_C u \, dx – v \, dy + \mathrm{i} \int_C v \, dx + u \, dy \\ & = \iint_B \left(-\frac{\partial v}{\partial x} – \frac{\partial u}{\partial y} \right) \, dx \, dy + \mathrm{i} \iint_B \left(\frac{\partial u}{\partial x} – \frac{\partial v}{\partial y} \right) \, dx \, dy \\ & = 0 \end{align*}

#### 2.2. Cauchy-Goursat 定理

Cauchy-Gourset 定理

$$\oint_C f(z) \, dz = 0$$
（证明可考虑区间套定理）

#### 2.3. 加强的 Cauchy-Goursat 定理

$$\oint_\gamma f(z) \, dz = 0$$
：如果区域内单点不满足，定理会变成如何？（留数定理）

### 3. 复合闭路定理

#### 3.1. 闭路变形原理

$$\int_{C_2 + C_1^-} f(z) \, dz = 0$$

#### 3.2. 复合闭路定理

$$\oint_\gamma f(z) \, dz = 0$$

$e.g.$
$$\oint_{|z – z_0| = r} \frac{dz}{(z – z_0)^{n + 1}} = \begin{cases} 2 \pi \mathrm{i} & n = 0 \\ 0 & n \not = 0 \end{cases}$$

### 4. 原函数与不定积分

#### 4.1. 定义

$$F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta) \, d \zeta$$
（well defined）

$f(z)$ 如前假设，则 $F(z)$ 在 $D$ 上是解析的，且 $F^\prime(z) = f(z), \forall z \in D$。

\begin{align*} F(z + \Delta z) – F(z) & = \int_{z_0}^{z + \Delta z} f(\zeta) \, d \zeta – \int_{z_0}^z f(\zeta) d \zeta \\ & = \int_z^{z + \Delta z} f(\zeta) \, d \zeta \\ & = \int_z^{z + \Delta z} [f(z) + f(\zeta) – f(z)] \, d \zeta \\ & = f(z) \Delta z + \int_z^{z + \Delta z} [f(\zeta) – f(z)] \, d \zeta \\ & = f(z) \Delta z + \Delta z \int_z^{z + \Delta z} \frac{f(\zeta) – f(z)}{\Delta z} \, d \zeta \end{align*}

$$\int_z^{z + \Delta z} \frac{f(\zeta) – f(z)}{\Delta z} \, d \zeta$$

$F(z) + c$ 称为 $f(z)$ 的不定积分，记作：
$$F(z) + c = \int f(\zeta) \, d \zeta$$

#### 4.2. 定理

$$\int_{z_0}^{z_1} f(z) \, dz = F(z) \Bigg |_{z_0}^{z_1}$$

$$\int_{z_0}^{z_1} f(z) g^\prime(z) \, dz = f(z) g(z) \Bigg |_{z_0}^{z_1} – \int_{z_0}^{z_1} f^\prime(z) g(z) \, dz$$

1. $f(z)$ 沿 $D$ 中任意一个回路积分为 $0$。
2. $f(z)$ 在 $D$ 中具有积分路径无关性。
3. $f(z)$ 在 $D$ 上有原函数。

$F^\prime(z) = f(z), z \in D$，假设从 $z_0$ 到 $z_1$ 有两条无法连续变形的曲线 $C_1, C_2$（包含了奇点）。

$$F(z) \Bigg |_{z_0}^{z_1}$$

### 5. Cauchy 积分公式

#### 5.1. Cauchy 积分公式

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi \mathrm{i}} \oint_\gamma \frac{f(z) \, dz}{z – z_0}$$

$$\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C_r} \frac{f(z) \, dz}{z – z_0} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C_r} \frac{f(z_0) + (f(z) – f(z_0))}{z – z_0} \, dz = f(z_0) + E$$

$$E = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C_r} \frac{f(z) – f(z_0)}{z – z_0} \, dz$$

$$|E| \le \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{|f(z) – f(z_0)| \, |dz|}{|z – z_0|} = \frac{1}{2 \pi r} \oint_{C_r} |f(z) – f(z_0)| \, ds \le \frac{1}{2 \pi r} \oint_{C_r} \varepsilon \, ds = \varepsilon$$

### 6. 解析函数的高阶导数

#### 6.1. 解析函数的导数也解析

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} \frac{f(z) \, dz}{(z – z_0)^{n + 1}} \quad (n \ge 1)$$

$i.e.$
$$f^\prime(z_0) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \frac{f(z) \, dz}{(z – z_0)^2}$$

$$M = \max_{|z – z_0| \le r} |f(z)|$$

#### 6.2. 解析的充要条件——Morera 定理

$$\oint_C f(z) \, dz = 0, \forall C \subseteq D$$

$$f(z) = \begin{cases} 0 & z \not = 0 \\ 1 & z = 0 \end{cases}$$

Morera 定理

$$\oint_C f(z) \, dz = 0, \forall C \subseteq D$$

$$F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta) \, d \zeta$$

$$F^\prime(z) = f(z)$$

#### 6.3. Cauchy 不等式

$$f^{(n)} (z_0) = \frac{n!}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C_r} \frac{f(z) \, dz}{(z – z_0)^{n + 1}}, \forall 0 < r < R \\ \Rightarrow |f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n!}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{|f(z)| \, |dz|}{|z - z_0|^{n + 1}} \\ \le \frac{n!}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{M \, ds}{r^{n + 1}} = \frac{n! M}{r^n} \\ \Rightarrow |f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n! M}{R^n}$$ 最后一步两侧取极限即可。$\square$

#### 6.4. Liouville 定理

$$f(z) \equiv const$$

$\forall z_0 \in \mathbb{C}, |f^\prime(z_0)| \le \dfrac{1! M}{R}$，令 $R \to +\infty$，可得 $f^\prime(z) \equiv 0 \Rightarrow f(z) \equiv const$。$\square$

#### 6.5. 代数基本定理

$$P_n(z) = a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0, a_n \not = 0$$

$p_n(z) = 0$ 在 $\mathbb{C}$ 上恰好有 $n$ 个根（计算重数）。

$$P_n(z) \not = 0, \forall z \in \mathbb{C}$$

$$f(z) = \frac{1}{P_n(z)}$$

### 7. 解析函数与调和函数

#### 7.1. 调和函数

$$\Delta \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$$

$\Delta$——拉普拉斯算子。

#### 7.2. 解析函数与调和函数

$f(z) = u(x, y) + \mathrm{i} v(x, y)$ 在 $D$ 上解析，$u, v \in C^\infty(D)$：
$$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(- \frac{\partial v}{\partial x} \right) = 0 \\ \Delta v = 0$$

$u = u(x, y)$ 在 $D$ 上调和，是否能找到它在 $D$ 上的共轭调和函数？（$u + \mathrm{i} v$ 在 $D$ 上解析）

$$U(z) \stackrel{\triangle}{=} u_x – \mathrm{i} u_y$$

$$f(z) = \int U(z) \, dz = u + \mathrm{i} v$$
$u$ 确定，但 $v$ 可以差一常数。$\square$