复变函数引论笔记（4）——级数

复变函数引论笔记（4）——级数

Chapter 4. 级数

1. 复数项级数

1.1. 极限定义

定义：

给定序列 $\{z_n\}$，假设 $\exists A \in \mathbb{C}$ 使得对 $\forall$ 给定的 $\epsilon > 0$，$\exists N = N(\varepsilon)$ 当 $n > N(\varepsilon)$ 时有 $|z_n – A| < \varepsilon$，则称当 $n \to \infty$ 时，$z_m$ 以 $A$ 为极限。记作：

$$\lim_{n \to \infty} z_n = A$$ 或者 $z_n \to A, n \to \infty$。定理：
$$\lim_{n \to \infty} z_n = A = \alpha + \mathrm{i} \beta \Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = \alpha \\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = \beta \end{cases}$$
当然也容易得到极限的四则运算法则。

1.2. 级数

$$I = \sum_{n = 1}^\infty z_n$$

部分和：

$$S_n = \sum_{k = 1}^n z_k$$
定义：

1. 若 $\lim\limits_{n \to \infty} S_n = S \in \mathbb{C}$，则称 $I$ 是收敛的（$C.V.$），否则称 $I$ 是发散的（$D.V.$）。
2. 若 $\sum\limits_{n = 1}^\infty |z_n| \ C.V.$，称 $I$ 是绝对收敛（$A.C.$）。
3. 若 $I \ C.V.$ 但非 $A.C.$，称 $I$ 是条件收敛的（$C.C.$）。

定理：

$I$ 收敛等价于实部虚部均收敛。

$I$ 绝对收敛等价于实部虚部均绝对收敛。

$I$ 绝对收敛则可推出 $I$ 收敛。

1.3. 敛散性判别法

Cauchy 根式判别法：

1. $\sqrt[n]{|z_n|} \le q < 1, n > N_0 \Rightarrow I \, A.C.$
2. $\sqrt[n]{z_n} \ge q \ge 1$ 对无穷多项成立 $\Rightarrow I \, D.V.$
3. $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|z_n|} = q, q < 1 \Rightarrow I \, A.C., q > 1 \Rightarrow I \, D.V., q = 1 \Rightarrow$ 不定

D’Alembert 判别法：

1. $\left|\dfrac{z_{n + 1}}{z_n} \right| \le q < 1, n > N_0 \Rightarrow I \, A.C.$
2. $\left|\dfrac{z_{n + 1}}{z_n} \right| \ge q \ge 1, n > N_0 \Rightarrow I \, D.V.$
3. $\lim\limits_{n \to \infty} \left|\dfrac{z_{n + 1}}{z_n} \right| = q, q < 1 \Rightarrow I \, A.C., q > 1 \Rightarrow I \, D.V., q = 1 \Rightarrow$ 不定

$$I = \sum_{n = 1}^\infty a_n b_n$$

Dirichlet 判别法：

设 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 满足：

1. $a_n$ 单调趋于 $0$；
2. $\{b_n\}$ 部分和有界。

则 $I \, C.V.$。

Abel 判别法：

设 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 满足：

1. $a_n$ 单调有界；
2. $\sum\limits_{n = 1}^\infty b_n \, C.V.$。

则 $I \, C.V.$。

2. 幂级数

2.1. （复变）函数项级数

复变项序列 $\{f_n(z\}_{n = 1}^{\infty}$，$f_n(z)$ 定义于 $D$：

$$\sum_{n = 1}^\infty f_n(z)$$
称为函数项级数。

部分和：

$$S_n(z) = \sum_{k = 1}^n f_k(z)$$
对于 $z_0 \in D$，若：
$$\lim_{n \to \infty} S_n(z_0)$$
存在极限，则称：
$$\sum_{n = 1}^\infty f_n(z)$$
在 $z_0 \, C.V.$。

若：

$$\sum_{n = 1}^\infty f_n(z)$$
在 $\forall z \in D$ 处 $C.V.$，则称其为 $D$ 上的收敛级数。

收敛和函数：

$$S(z) = \lim_{n \to \infty} S_n(z) = \sum_{n = 1}^\infty f_n(z)$$

2.2. 幂级数

形如：

$$I = \sum_{n = 0}^\infty C_n (z – a)^n$$
或者说：
$$I = \sum_{n = 0}^\infty C_n z^n$$
Abel 定理：

设：

$$I = \sum_{n = 0}^\infty C_n z^n$$

1. 若 $I$ 在 $z_0 \not = 0 \, C.V.$，则对 $\forall z: |z| < |z_0|$，$I$ 在 $z \, A.C.$。
2. 若 $I$ 在 $z_0 \, D.V.$，则对 $\forall z : |z| > |z_0|$，$I$ 在 $z \, D.V.$。

证明：

$$\sum_{n = 0}^\infty C_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty C_n z_n^n \left(\frac{z}{z_0} \right)^n \\ q = \left | \frac{z}{z_0} \right | \\ \left | \sum_{n = 0}^\infty C_n z^n \right | \le \sum_{n = 0}^\infty |C_n z_0^n| q^n \le \sum_{n = 0}^\infty M q^n$$
其中 $|C_n z_0^n| \le M, \forall n$，这是由于其极限为 $0$。$\square$

2.3. 收敛半径与收敛圆（圆周）

$$R \stackrel{\triangle}{=} \sup \{|z| : I \, 在 \, z \, C.V.\}$$

称作 $I$ 的收敛半径。

（换为 $A.C.$ 的上确界或者 $D.V.$ 的下确界也可）

定义：

$$C_R : |z| = R \quad (|z – a| = R)$$
称为 $I$ 的收敛圆周。
$$D_R : |z| < R \quad (|z - a| < R)$$ 称为 $I$ 的收敛圆盘。

2.4. 收敛半径求法

定理（比值法）：

设 $\limsup\limits_{n \to \infty} \left|\dfrac{C_{n + 1}}{C_n} \right| = \lambda$，则：

$$R = \begin{cases} 0 & \lambda = +\infty \\ +\infty & \lambda = 0 \\ \dfrac{1}{\lambda} & \lambda \not = 0, +\infty \end{cases}$$
定理（根值法）：

设 $\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|C_n|} = \lambda$，则 $R$ 如上。

2.5. 幂级数运算

$$f(z) = \sum_{n = 0}^\infty a_n z^n, |z| < R_1 \\ g(z) = \sum_{n = 0}^\infty b_n z^n, |z| < R_2$$ 则： $$f(z) \pm g(z) = \sum_{n = 0}^\infty (a_n \pm b_n) z^n, |z| < \min\{R_1, R_2\} \\ f(z) g(z) = \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n, |z| < \min\{R_1, R_2\} \\ c_n = \sum_{k = 0}^n a_k b_{n - k}$$

2.6. 幂级数和函数

定理：

设：

$$I = \sum_{n = 0}^\infty C_n (z – a)^n$$
收敛半径为 $R$，则在 $I$ 的收敛圆盘 $D_R$ 上：

1. 它的和函数 $f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty C_n (z – a)^n$ 解析。

2. $f^\prime(z)$ 可通过逐项求导得到：
   

   $$f^\prime(z) = \left[\sum_{n = 0}^\infty C_n (z – a)^n \right]^\prime = \sum_{n = 1}^\infty n C_n (z – a)^{n – 1}$$

3. 可逐项积分：$C \subseteq D_R$ 为一条分段光滑曲线，则：
   

   $$\int_C f(z) \, dz = \int_C \left[\sum_{n = 0}^\infty C_n (z – a)^n\right] \, dz = \sum_{n = 0}^\infty \int_C C_n (z – a)^n \, dz$$
   特别地：
   $$\int_a^z f(\zeta) \, d \zeta = \sum_{n = 0}^\infty \int_a^z C_n (\zeta – a)^n \, d \zeta = \sum_{n = 0}^\infty \frac{C_n}{n + 1} (z – a)^{n + 1}$$

3. Taylor 级数

3.1. 实变函数

在实变函数中：

$f(x) \in C^\infty(\mathbb{R})$，$x = 0$：

$$f(x) = \sum_{n = 1}^\infty C_n x^n, |x| < \delta \\ = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$ 然而存在反例： $$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & x \not = 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

3.2. Taylor 展开定理

设 $w = f(z)$ 在 $D$ 上解析，$z_0 \in D$，$d = \min\limits_{z \in \partial D} |z_0 – z|$，则对 $\forall z \in B_d(z_0) = \{z | |z – z_0| < d \}$，有：

$$f(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_n (z - z_0)^n$$ 其中： $$C_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \quad(\forall n \ge 0)$$ 且上述展式是唯一确定的，称作 Taylor 展开式（级数）。

证明：

$$f(z) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \frac{f(\zeta) \, d \zeta}{\zeta – z}$$
其中：
$$\begin{align*} \frac{1}{\zeta – z} & = \frac{1}{\zeta – z_0 – (z – z_0)} \\ & = \frac{1}{\zeta – z_0} \frac{1}{1 – \dfrac{z – z_0}{\zeta – z_0}} \\ & = \frac{1}{\zeta – z_0} \sum_{n = 0}^\infty \left(\frac{z – z_0}{\zeta – z_0}\right)^n \\ & = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(z – z_0)^n}{(\zeta – z_0)^{n + 1}} \end{align*}$$
因此：
$$\begin{align*} f(z) & = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \left[\sum_{n = 0}^\infty \frac{(z – z_0)^n}{(\zeta – z_0)^{n + 1}} f(\zeta) \right] \, d \zeta \\ & = \sum_{n = 0}^{N – 1} \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \frac{f(\zeta) \, d \zeta}{(\zeta – z)^{n + 1}} (z – z_0)^n + R_n(z) \end{align*}$$
其中：
$$R_n(z) = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \left[\sum_{n = N}^\infty \frac{(z – z_0)^n}{(\zeta – z_0)^{n + 1}} f(\zeta) \right] \, d \zeta$$
设 $|f(\zeta)| \le M, \zeta \in C, q = \left|\dfrac{z – z_0}{\zeta – z_0} \right| < 1$，则： $$|R_n(z)| \le \frac{1}{2 \pi} \oint_C \left[\sum_{n = N}^\infty \frac{|f(\zeta)|}{|\zeta - z_0|^{n + 1}} |z - z_0|^n \right] \, |d \zeta| \le \frac{M}{2 \pi} \oint_C \left[\sum_{n = N}^\infty \frac{q^n}{r} \right] \, ds \\ = M \sum_{n = N}^\infty q^n = \frac{M q^N}{1 - q} \stackrel{N \to \infty}{\longrightarrow} 0$$ 故可得等式成立。再证明唯一性： $$f(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_n (z - z_0)^n = \sum_{n = 0}^\infty \tilde{C}_n (z - z_0)^n$$ 根据 $f^{(n)}(z_0)$ 即可得出 $C_n = \tilde{C}_n$。$\square$

对于：

$$f(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_n z^n, |z| < R$$ 则 $f(z)$ 在 $C_R$ 上至少存在一个奇点。

4. 解析函数的零点

4.1. 解析函数的零点

定义：

设 $w = f(z)$ 在 $D$ 上解析，$z_0 \in D$，若 $f(z_0) = 0$，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的零点。

若 $f(z_0) = f^\prime(z_0) = \cdots = f^{(m – 1)}(z_0) = 0$ 但 $f^{(m)}(z_0) \not = 0$（$n \ge 1$），则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 级（阶）零点。

$m = 1$ 称作简单零点。

4.2. 解析函数零点的充要条件

定理：

$z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点的充要条件是：$\exists B_\delta(z_0) \subseteq D, s.t.$ 在 $B_\delta(z_0)$ 上：

$$f(z) = (z – z_0)^m \varphi(z)$$
其中 $\varphi(z)$ 在 $B_\delta(z_0)$ 上解析，且 $\varphi(z_0) \not = 0$。

证明：

只须证明必要性：

$$f(z_0) = \cdots = f^{(m – 1)}(z_0) = 0, f^{(m)}(z_0) = 0$$
则：
$$f(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_n (z – z_0)^n = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z – z_0)^n$$
只须取：
$$\varphi(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_{n + m} (z – z_0)^n$$
即可。$\square$

4.3. 孤立零点

定义：设 $z_0$ 为 $f(z)$ 零点且 $f(z)$ 在某个 $B_\delta^*(z_0)$（在 $B_\delta(z_0) \backslash \{z_0\}$）不取 $0$，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立零点。

定理：设 $w = f(z)$ 在 $D$ 上解析，则 $D$ 上的所有零点都是孤立的，除非 $f(z) \equiv 0$。

引理：设 $D \subseteq C$ 为一区域，$\Omega_1, \Omega_2 \subseteq D$ 满足：

1. $\Omega_1, \Omega_2$ 是开集。
2. $\Omega_1 \cap \Omega_2 = \varnothing$。
3. $\Omega_1 \cup \Omega_2 = D$。

则 $\Omega_1, \Omega_2$ 中有一个为空集。

证明：

对于 $f \not \equiv 0$：

令 $\Omega_1 = \{z \in D | \exists B_\delta(z_0) \subseteq D, s.t. f(z) \text{ 在 } B_\delta \subseteq D \text{ 上恒为 } 0 \}$，$\Omega_2 = \{z \in D | \exists B^*_\delta(z_0) \subseteq D, s.t. f(z) \text{ 在 } B^*_\delta \subseteq D \text{ 上恒不为 } 0 \}$。

显然两个集合都是开集，交集为空。

$\forall z_0 \in D$：

$$f(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_n (z – z_0)^n \quad z \in B_d(z_0)$$
若 $C_n \equiv 0$，显然 $z_0 \in \Omega_1$。

否则设 $C_m$ 为第一个不为 $0$ 的系数，则：

$$f(z) = (z – z_0)^m \varphi(z) \quad (\varphi(z_0) \not = 0)$$
可得出 $z_0 \in \Omega_2$。

故根据引理即得证。$\square$

4.4. 解析函数唯一性定理

设 $f(z), g(z)$ 在 $D$ 上解析，若 $\exists \{z_n\}_{n = 1}^\infty \subseteq D \, s.t.$：

1. $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = a \in D$ 且 $a \not \subseteq \{z_n\}_{n = 1}^\infty$
2. $f(z_n) \equiv g(z_n), \forall n \ge 1$

则 $f(z) \equiv g(z), \forall z \in D$。

考虑 $f(z) – g(z)$ 零点的孤立性即可得到。

$f(a) = g(a)$ 可根据连续性得到。

5. Laurent 展开式

5.1. 一般级数

形如：

$$I = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n (z – z_0)^n = I_1 + I_2 \\ I_1 = \sum_{n = 0}^\infty C_n (z – z_0)^n \\ I_2 = \sum_{n = -\infty}^{-1} C_n (z – z_0)^n$$
定义：若 $I_1, I_2$ 均在 $z$ 处 $C.V.$，则称 $I$ 在 $z \ C.V.$。

其中：

$$I_2 = \sum_{n = -\infty}^{-1} C_n (z – z_0)^n = \sum_{n = 1}^\infty C_{-n} \zeta^n$$
其中 $\zeta = \dfrac{1}{z – z_0}$，假设其收敛半径为 $\tilde{r} = \dfrac{1}{r}$。

1. $r < R$，$I$ 有收敛圆环域，$D(z_0, R, r) \stackrel{\triangle}{=} \{z | r < |z - z_0| < R\}$，此时 $I$ 在 $D(z_0, R, r)$ 上有和函数。
2. $r \ge R$，$I_1, I_2$ 无公共收敛区域。

定理：

$$I = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n (z – z_0)^n$$
其收敛圆环域为 $D(z_0, R, r)$，则在 $D(z_0, R, r)$ 上：

1. 它的和函数 $f(z) = \varphi(z) + \psi(z)$ 解析。

2. $f^\prime(z)$ 可通过逐项求导得到：
   

   $$f^\prime(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty n C_n (z – z_0)^n$$

3. 可逐项积分，$\forall C \subseteq D(z_0, R, r)$：
   

   $$\int_C f(z) \, dz = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n \int_C (z – z_0)^n \, dz$$

5.2. Laurent 展开定理

定理：

设 $w = f(z)$ 在圆环域 $D(z_0, R, r)$ 上解析，则对 $\forall z \in D(z_0, R, r)$ 有：

$$f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n (z – z_0)^n$$
其中：
$$C_n = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \frac{f(\zeta) \, d \zeta}{(\zeta – z_0)^{n + 1}} \quad (\forall n \in \mathbb{Z})$$
$C \subseteq D(z_0, R, r)$ 为一条环绕 $z_0$ 的 Jordan 闭曲线，且上述展开式是唯一确定的，称作 Laurent 展开式（级数）。

合理性可类比 Taylor 展开，唯一性可用反证法。

5.3. Laurent 展开式应用

$$C_n = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C \frac{f(z) \, dz}{(z – z_0)^{n + 1}} \\ C_{-1} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_C f(z) \, dz$$

 复变 笔记