wzf2000 复变函数引论笔记（5）——留数
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Chapter 5. 留数
1. 孤立奇点
定义：
设 $z_0$ 为 $f(z)$ 奇点且在某个 $B_\delta^*(z_0)$ 内解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点。
1.1. 孤立奇点分类
假设在孤立奇点 $z_0$ 邻域内：
$$
f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n (z - z_0)^n, 0 < |z - z_0| < \delta
$$
- $z_0$ 为可去奇点，若 Laurent 展式中不含负幂项：
$$
\Rightarrow f(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_n(z - z_0)^n, z \in B_\delta^*(z_0) \\
\lim_{z \to z_0} f(z) = C_0
$$
若补充 $f(z_0) = C_0$，则 $z_0$ 为 $f(z)$ 解析点。 $z_0$ 为 $m$ 阶（级）极点，若 Laurent 展式中只含有限个负幂项且最高负幂项为 $\dfrac{C_{-m}}{(z - z_0)^m}$（$m \ge 1, C_{-m} \not = 0$）：
$$
f(z) = \sum_{n = -m}^\infty C_n (z - z_0)^n = \frac{1}{(z - z_0)^m} [C_{-m} + C_{-m + 1} (z - z_0) + \cdots + C_0 (z - z_0)^m + \cdots] = \frac{g(z)}{(z - z_0)^m} \\
g(z) = \sum_{n = 0}^\infty C_{n - m} (z - z_0)^n, z \in B_\delta(z_0) \\
g(z_0) = C_{-m} \not = 0
$$$z_0$ 为本性奇点，若 Laurent 展式中有无穷个负幂项：
$$
f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n (z - z_0)^n, z \in B_\delta^*(z_0) \\
$$
有以下判定定理。
定理：
设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，则下列三条等价：
- $z_0$ 为可去奇点。
- $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = A \in \mathbb{C}$。
- $f(z)$ 在某个 $B_\delta^*(z_0)$ 内有界。
证明：
只考虑 3 推出 1：
$$
f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n (z - z_0)^n, z \in B_\delta^*(z_0) \\
C_n = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C_r} \frac{f(z) \, dz}{(z - z_0)^{n + 1}} \\
|C_n| \le \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{|f(z)| |dz|}{|z - z_0|^{n + 1}} \\
\le \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{M \, ds}{r^{n + 1}} = \frac{1}{r^n} \stackrel{r \to 0^+}{\longrightarrow} 0 \\
\Rightarrow C_n = 0, \forall n \le -1
$$
因此可得出其为可去奇点。$\square$
定理：
设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，则下列四条等价：
- $z_0$ 为 $m$ 级奇点。
- $f(z) = \dfrac{g(z)}{(z - z_0)^m}$，在 $B_\delta^*(z_0)$ 内，$g(z)$ 在 $B_\delta^*(z_0)$ 内解析，且 $g(z_0) \not = 0$。
- $\lim\limits_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = A \in \mathbb{C}$，且 $A \not = 0$。
- $z_0$ 为 $\dfrac{1}{f(z)}$ 的 $m$ 级零点（可去意义下）。
证明：
只考虑 3 推出 4：
$$
\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = A \not = 0
$$
令 $g(z) = (z - z_0)^m f(z)$，则 $z_0$ 为 $g(z)$ 的可去奇点：
$$
g(z_0) = A \not = 0 \\
\Rightarrow \frac{1}{f(z)} = (z - z_0)^m \frac{1}{g(z)} = (z - z_0)^m \varphi(z), \varphi(z) = \frac{1}{g(z)}, \varphi(z_0) = \frac{1}{g(z_0)} \not = 0
$$
故可得 4。$\square$
WeierStrass 定理：
设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的本性奇点，则对 $\forall A \in \overline{\mathbb{C}}$，都 $\exists \{z_n\} \subseteq B_\delta^*(z_0) \, s.t.$：
- $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$。
- $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n) = A$。
Picard 大定理：
设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的本性奇点，则对 $\forall$ 给定的 $A \in \mathbb{C}$（除去最多一个例外值 $A_0$），都 $\exists \{z_n\} \subseteq B_\delta^*(z_0) \, s.t.$：
- $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$。
- $f(z_n) = A, \forall n \ge 1$。
1.2. $\infty$ 作为奇点
定义：
若 $f(z)$ 在 $\infty$ 的某个邻域内 $R < |z| < +\infty$ 内解析，称 $\infty$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点。 $$ f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n z^n, R < |z| < +\infty \\ \varphi(\zeta) = f\left(\frac{1}{\zeta}\right) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_{-n} \zeta^n $$ 定义：
$\infty$ 为 $f(z)$ 的可去/$m$ 级极点/本性奇点，若 $\zeta = 0$ 为 $\varphi(\zeta)$ 的对应奇点。
定理：
$z_0 \in \overline{\mathbb{C}}$ 为 $f(z)$：
- 可去奇点 $\Leftrightarrow \lim\limits_{z \to z_0} f(z) = A \in C$。
- 极点 $\Leftrightarrow \lim\limits_{z \to z_0} f(z) = \infty$。
- 本性奇点 $\Leftrightarrow \lim\limits_{z \to z_0} f(z)$ 不存在也不是 $\infty$。
2. 留数
2.1 留数定义
$z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点：
$$
f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n (z - z_0)^n, z \in B_\delta^*(z_0) \\
2 \pi \mathrm{i} C_{-1} = \oint_C f(z) \, dz
$$
定义：
$$
C_{-1} \stackrel{\triangle}{=} \mathrm{Res}[f(z), z_0]
$$
定义为 $f(z)$ 在孤立奇点 $z_0$ 处的留数。
留数定理：
设 $w = f(z)$ 在单连通区域 $D$ 上除去有限个孤立奇点 $z_1, \cdots, z_n$ 外是解析的，$C \subseteq D$ 是一条环绕诸奇点在内的 Jordan 闭曲线，则：
$$
\oint_C f(z) \, dz = 2 \pi \mathrm{i} \sum_{k = 1}^n \mathrm{Res}[f(z), z_k]
$$
2.2. 留数的计算规则
- 若 $z_0$ 为可去奇点，则 $\mathrm{Res}[f(z), z_0] = 0$。
设 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m(\ge 1)$ 级极点：
$$
f(z) = \frac{C_{-m}}{(z - z_0)^m} + \cdots + \frac{C_{-1}}{z - z_0} + \cdots \\
(z - z_0)^k f(z) = C_{-m} (z - z_0)^{k - m} + \cdots + C_{-1} (z - z_0)^{k - 1} + C_0 (z - z_0)^k + \cdots \quad (k \ge m) \\
\Rightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{d^{k - 1} [(z - z_0)^k f(z)]}{dz^{k - 1}} = (k - 1)! C_{-1} \\
\Rightarrow \mathrm{Res}[f(z), z_0] = \frac{1}{(k - 1)!} \lim_{z \to z_0} [(z - z_0)^{k} f(z)]^{(k - 1)} \quad (\forall k \ge m)
$$当 $z_0$ 为简单极点，则：
$$
\mathrm{Res}[f(z), z_0] = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)
$$
设 $f(z) = \dfrac{P(z)}{Q(z)}$，其中 $P(z), Q(z)$ 在 $z_0$ 解析，$P(z_0) \not = 0, Q(z_0) = 0$ 但 $Q^\prime(z_0) \not = 0$，则 $z_0$ 为 $f(z)$ 的简单极点，且：
$$
\mathrm{Res}[f(z), z_0] = \frac{P(z_0)}{Q^\prime(z_0)}
$$
2.3. $\infty$ 点的留数
$$
f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n z^n, R < |z| < +\infty
$$定义：
$$
\mathrm{Res}[f(z), \infty] = -C_{-1}
$$
全留数定理：
设 $w = f(z)$ 在 $\overline{\mathbb{C}}$ 上除去有限个孤立奇点（包括 $\infty$）$z_1, \cdots, z_n$ 外解析，则 $f(z)$ 在诸奇点处留数和为 $0$。
对于 $\infty$ 处的留数计算，我们有：
$$
\mathrm{Res}[f(z), \infty] = -\mathrm{Res}\left[f\left(\frac{1}{z} \right) \cdot \frac{1}{z^2}, 0 \right]
$$
3. 留数在定积分中应用
3.1. 三角函数相关
形如：
$$
I = \int_0^{2 \pi} R(\cos \theta, \sin \theta) \, d \theta
$$
$R = R(x, y)$ 是关于 $x, y$ 的二元有理函数。
可以化简得：
$$
I = \oint_{|z| = 1} R\left(\frac{z^2 + 1}{2z}, \frac{z^2 - 1}{2 \mathrm{i} z} \right) \frac{dz}{\mathrm{i} z}
$$
其中：
$$
f(z) = R\left(\frac{z^2 + 1}{2z}, \frac{z^2 - 1}{2 \mathrm{i} z} \right) \frac{1}{\mathrm{i} z}
$$
要求 $f(z)$ 在 $|z| = 1$ 上无极点，$f(z)$ 是有理函数。
故：
$$
I = 2 \pi \mathrm{i} \sum_{k} \mathrm{Res} [f(z), z_k]
$$
$\{z_k\}$ 是 $f(z)$ 在 $|z| < 1$ 内极点集。
3.2. 无穷积分相关
形如：
$$
I = \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) \, dx
$$
其中：
$$
R = R(z) = \frac{P_n(z)}{Q_m(z)}
$$
是有理函数，且 $m - n \ge 2$，$R(z)$ 在 $\mathbb{R}$ 上无极点。
则：
$$
I = 2 \pi \mathrm{i} \sum_{\mathrm{Im} \, z_k > 0} \mathrm{Res}[R(z), z_k] = -2 \pi \mathrm{i} \sum_{\mathrm{Im} \, z_k < 0} \mathrm{Res}[R(z), z_k]
$$
$\{z_k\}$ 是 $R(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上的极点集。考虑一个半径为 $R$ 的上半圆作为积分路径，再取极限即可得到。
3.3. 无穷积分及 $\exp$ 相关
形如：
$$
I = \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e^{a \mathrm{i} x} \, dx \quad(a > 0)
$$
其中：
$$
R = R(z) = \frac{P_n(z)}{Q_m(z)}
$$
是有理函数，且 $m - n \ge 1$，$R(z)$ 在 $\mathbb{R}$ 上无极点。
则：
$$
I \stackrel{a > 0}{=} 2 \pi \mathrm{i} \sum_{\mathrm{Im} \, z_k > 0} \mathrm{Res} [ R(z) e^{a \mathrm{i} z}, z_k] \\
I \stackrel{a < 0}{=} -2 \pi \mathrm{i} \sum_{\mathrm{Im} \, z_k < 0} \mathrm{Res} [ R(z) e^{a \mathrm{i} z}, z_k]
$$
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