# 信号与系统学习笔记（四）

## 信号与系统学习笔记（四）

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### 周期信号傅里叶级数分析

$$\int_{t_1}^{t_2}g_i(t)g_j(t)\mathrm dt=0 \qquad (i\ne j)\\ \int_{t_1}^{t_2}g_i^2(t)\mathrm dt=K_i \qquad 且 \qquad K_i\ne 0$$

#### 三角形式

• 周期内间断点个数有限

• 周期内极值数目有限

• 周期内信号绝对可积，即
$$\int_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|\mathrm dt$$
为有限值

$$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)]$$

$$a_0=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\mathrm dt$$

$$a_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cos(n\omega_1 t)\mathrm dt$$

$$b_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\sin(n\omega_1 t)\mathrm dt$$
e.g.

$$b_n=2\cdot\frac{2}{T}\cdot\frac{E}{2}\int_0^{\frac{T}{2}}\sin(n\omega t)\mathrm dt=\frac{E}{n\pi}(1-\cos n\pi)\\ f(t)=\frac{2E}{\pi}\sin(\omega t)+\frac{2E}{3\pi}\sin(3\omega t)+\cdots$$

$$f(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_n\cos(n\omega_1t+\varphi_n)\\ c_0=a_0,c_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\varphi_n=\arctan(\frac{-b_n}{a_n}),a_n=c_n\cos\varphi_n,b_n=-c_n\sin\varphi_n$$

$$f(t)=d_0+\sum_{n=1}^\infty d_n\sin(n\omega_1t+\varphi_n)\\ d_0=a_0,d_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\theta_n=\arctan(\frac{b_n}{a_n}),a_n=d_n\sin\theta_n,b_n=d_n\cos\theta_n$$

#### 指数形式

$$\int_{t_0}^{t_0+T} e^{jn\Omega t}(e^{jm\Omega t})^*\mathrm dt=\int_{t_0}^{t_0+T} e^{j(n-m)\Omega t}\mathrm dt\\ = \begin{cases} T &n=m\\ 0 &n\ne m \end{cases}$$

$$\cos(n\omega_1t)=\frac{1}{2}(e^{jn\omega_1t}+e^{-jn\omega_1t})\\ \sin(n\omega_1t)=\frac{1}{2j}(e^{jn\omega_1t}-e^{-jn\omega_1t})\\ \begin{cases} a_n=\displaystyle{\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cos(n\omega_1 t)\mathrm dt}\\ b_n=\displaystyle\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\sin(n\omega_1 t)\mathrm dt\\ \end{cases}\\ a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)=\frac{1}{2}((a_n-jb_n)e^{jn\omega_1t}+(a_n+jb_n)e^{-jn\omega_1t})$$

$$F_n=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)$$

$$F_n=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn\omega_1t}\mathrm dt$$

$$F_0=c_0=d_0=a_0\\ F_n=|F_n|e^{j\varphi_n}=\frac{1}{2}(a_n-jb_n)\\ F_{-n}=|F_{-n}|e^{-j\varphi_n}=\frac{1}{2}(a_n+jb_n)\\ |F_n|=|F_{-n}|=\frac{1}{2}c_n=\frac{1}{2}d_n=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}\\ F_n+F_{-n}=a_n\\ \varphi_n=\arctan\frac{-b_n}{a_n}$$

$$F_n=|F_n|e^{j\varphi_n}$$

$$P=\overline{f^2(t)}=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f^2(t)\mathrm dt\\ =\sum_{n=-\infty}^\infty|F_n|^2$$
e.g.

$$F_n=-\frac{E}{2T}\int_{-\frac{T}{2}}^0e^{-jn\frac{2\pi}{T}t}\mathrm dt+\frac{E}{2T}\int_0^{\frac{T}{2}}e^{-jn\frac{2\pi}{T}t}\mathrm dt\\ =\frac{E}{j2n\pi}(1-\frac{e^{jn\pi}+e^{-jn\pi}}{2})=\frac{E}{j2n\pi}(1-\cos(jn\pi))\\ f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{E}{j2n\pi}(1-\cos(jn\pi))e^{jn\frac{2\pi}{T}t}$$

#### 对称性

1. 偶函数

信号是偶函数，那么 $f(t)\cos(n\omega_1t)$ 也是偶函数，而 $f(t)\sin(n\omega_1t)$ 是奇函数，
$$a_n=\frac{4}{T_1}\int_0^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\mathrm dt\\ b_n=0$$
同时可以得到
$$2F_n=2a_n\\ \varphi_n=0$$
只有余弦项

2. 奇函数

同上， $f(t)\cos(n\omega_1t)$ 是奇函数，而 $f(t)\sin(n\omega_1t)$ 是偶函数
$$a_n=0\\ b_n=\frac{4}{T_1}\int_0^{\frac{T_1}{2}}f(t)\sin(n\omega_1t)\mathrm dt$$
同时可以得到
$$2jF_n=b_n\\ \varphi_n=-\frac{\pi}{2}$$
只有正弦项

3. 奇谐函数

沿时间轴平移半个周期后相对于 t 轴上下翻转，即
$$f(t)=-f(t\pm\frac{T_1}{2})$$

显然直流分量为 0.

可以发现图中的 $(b)(c)$ 是可积的，而 $(d)(e)$ 积分为 0，类推可以得到
\begin{align*} &a_0=0 \\ &a_n=b_n=0&n为偶数\\ &a_n=\frac{4}{T_1}\int_0^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\mathrm dt&n为奇数\\ &b_n=\frac{4}{T_1}\int_0^{\frac{T_1}{2}}f(t)\sin(n\omega_1t)\mathrm dt&n为奇数\\ \end{align*}
所以半波对称周期函数的傅里叶级数只含有基波和奇次谐波。偶谐类似我就不再写了。

#### 有限级数和最小方均误差

$$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)]$$

$$S_N(t)=a_0+\sum_{n=1}^N[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)]$$

$$\varepsilon_N(t)=f(t)-S_N(t)$$

$$E_N=\overline{\varepsilon_N^2(t)}=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}\varepsilon_N^2(t)\mathrm dt\ =\overline{f^2(t)}-[a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N(a_n^2+b_n^2)]$$

### 典型周期信号的傅里叶级数

#### 周期矩形脉冲

$$f(t)=E[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})]$$

$$a_0=E\tau/T_1$$

$$a_n=\frac{4E}{T_1}\int_0^\frac{\tau}{2}\cos(n\frac{2\pi}{T_1}t)\mathrm dt=\frac{2E}{n\pi}\sin\frac{n\pi\tau}{T_1}$$

$$Sa(t)=\frac{\sin t}{t}$$

$$a_n=\frac{2E\tau}{T_1}Sa(\frac{n\pi\tau}{T_1})$$

$$b_n=0$$

$$f(t)=\frac{E\tau}{T_1}+\frac{2E\tau}{T_1}\sum_{n=1}^\infty Sa(\frac{n\pi\tau}{T_1})\cos(n\omega_1t)$$

$$F_n=\frac{E}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}e^{-jn\omega_1t}\mathrm dt=\frac{E}{jn\omega_1T_1}\cdot\sin(n\omega_1\tau/2)\cdot2j=\frac{E\tau}{T_1}Sa(\frac{n\omega_1\tau}{2})\ f(t)=\frac{E\tau}{T_1}\sum_{n=1}^\infty Sa(\frac{n\omega_1\tau}{2})e^{jn\omega_1t}$$

– 可以发现频谱是离散的，而且 $T_1$ 越大， $\omega_1$ 越小，谱线越密集

• 包络线为抽样函数

• 能量主要集中在第一个零点以内，通常把 $\omega=0 \sim\dfrac{2\pi}{\tau}$ 称为频带宽度，记作
$$B_\omega=\frac{2\pi}{\tau}\\ B_f=\frac{1}{\tau}$$

$$P=F_0+2\sum_{n=1}^\infty|F_n|^2\\ P_{5n}=F_0+2\sum_{n=1}^4|F_n|^2=0.181E^2\approx P=0.2E^2$$

### 傅里叶变换

$$F(\omega)=\lim_{T_1\rightarrow\infty}T_1F(n\omega_1)=\lim_{T_1\rightarrow\infty}\int_{-\frac{T_1}{2}}^\frac{T_1}{2}f(t)e^{-jn\omega_1t}\mathrm dt=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}\mathrm dt=\mathscr F[f(t)]$$

$$F(\omega)=|F(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}\\$$

$$f(t)=\lim_{T_1\rightarrow\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty F(n\omega_1)e^{jn\omega_1t}=\lim_{T_1\rightarrow\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{F(\omega)}{2\pi}\cdot \omega_1\cdot e^{jn\omega_1t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\omega t}\mathrm dt=\mathscr F^{-1}[F(\omega)]$$

$$f(t)=f_e(t)(偶分量)+f_o(t)(奇分量)$$

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}\mathrm dt\\ =2\int_0^\infty f_e(t)\cos(\omega t)\mathrm dt-2j\int_0^\infty f_o(t)\sin(\omega t)\mathrm dt$$

$$R(\omega)=2\int_0^\infty f_e(t)\cos(\omega t)\mathrm dt\\ X(\omega)=-2\int_0^\infty f_o(t)\sin(\omega t)\mathrm dt\\ |F(\omega)|=\sqrt{R^2(\omega)+X^2(\omega)}\\ \varphi(\omega)=\arctan\frac{X(\omega)}{R(\omega)}$$

#### 物理意义

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}\cdot e^{j\omega t}\ \mathrm d\omega\\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|F(\omega)|\cos(\omega t+\varphi(\omega))\mathrm d\omega+\frac{j}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|F(\omega)|\sin(\omega t+\varphi(\omega))\mathrm d\omega$$

$$f(t)=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty|F(\omega)|\cos[\omega t +\varphi(\omega)]\mathrm d\omega$$

#### e.g.

$$f(t)= \begin{cases} E\cos(\dfrac{\pi}{\tau}t)&|t|<\dfrac{\tau}{2}\\ 0 &其他 \end{cases}\\ F(\omega)=2\int_0^{\frac{\tau}{2}}E\cos(\frac{\pi}{\tau}t)\cos(\omega t)\mathrm dt\\ =E\{\int_0^\frac{\tau}{2}\cos[(\frac{\pi}{\tau}+\omega)t]\mathrm dt+\int_0^\frac{\tau}{2}\cos[(\frac{\pi}{\tau}-\omega)t]\mathrm dt\}\\ =E[\frac{\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\tau}{2}\omega)}{\frac{\pi}{\tau}+\omega}+\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\tau}{2}\omega)}{\frac{\pi}{\tau}-\omega}]\\ =\frac{E}{(\frac{\pi}{\tau})^2-\omega^2}[(\frac{\pi}{\tau}-\omega)\cos(\frac{\tau}{2}\omega)+(\frac{\pi}{\tau}+\omega)\cos(\frac{\tau}{2}\omega)]\\ =\frac{2E\pi}{\tau[(\frac{\pi}{\tau})^2-\omega^2]}\cos(\frac{\tau\omega}{2})$$ 频谱如图