线性代数笔记（3）——高斯消元法

wzf2000
2019年9月19日

线性代数笔记（3）——高斯消元法

高斯（Gauss）消元法

线性方程组与矩阵转换

$$
\left\{
\begin{array}{c}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1 \\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2 \\
\vdots \\
a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots+a_{m,n}x_n=b_m
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}
$$

线性方程组的解集的三种情况

1. 唯一解
2. 无解
3. 无穷多解

线性方程组的同解变形

1. 把一个方程减去另一个方程的倍数
2. 交换两个方程的位置
3. 用一个非零数乘一个方程

矩阵的“初等行变换”

1. 把一行减去另一行的倍数
2. 交换两行
3. 用一个非零数乘一行

增广矩阵

$$
(A|\mathbb{b})=
\left(
\begin{array}{c:c}
\begin{matrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \\
\end{matrix}
&
\begin{matrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{matrix}
\end{array}
\right)
$$

消元基本方法

用“初等行变换”将增广矩阵化为阶梯形（$(U|\mathbb{c})$）：其中每行第一个非零元称为“主元”，下面行的主元列标号大于上面行的主元列标号。

具体步骤

1. 交换方程，使第一个方程中第一个未知数的系数非 $0$
2. 其他方程减去第一个方程的倍数将第一个主元下方的所有系数化为 $0$
3. 确定第二个主元，重复以上过程
4. 知道所得方程组的增广矩阵为阶梯形

解的情况

1. $n$ 个方程，有 $n$ 个主元，则有唯一解
2. 主元数小于 $n$，如果存在某行左侧均为 $0$，右侧不为 $0$，则无解
3. 否则有无穷解

上三角阵

方阵从左上到右下的对角线称为主对角线。

主对角线下方元素均为 $0$ 的矩阵称为上三角阵。

同理可以定义下三角阵。

特殊情况判断唯一解

$n$ 个未知数，$n$ 个方程时，有：

$A$ 是可逆矩阵 $\Leftrightarrow$ $U$ 是可逆上三角阵 $\Leftrightarrow$ $A\mathbb{x}=\mathbb{b}$ 有唯一解

单位矩阵

主对角线上元素为 $1$，其他元素为 $0$ 的方阵。
$$
I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

消去矩阵

将单位阵某个 $0$ 变为非零的数得到的矩阵称为消去矩阵，这是一类初等矩阵。

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