线性代数笔记（3）——高斯消元法

线性代数笔记（3）——高斯消元法

高斯（Gauss）消元法

线性方程组与矩阵转换

$$\left\{ \begin{array}{c} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots+a_{m,n}x_n=b_m \end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

线性方程组的解集的三种情况

1. 唯一解
2. 无解
3. 无穷多解

线性方程组的同解变形

1. 把一个方程减去另一个方程的倍数
2. 交换两个方程的位置
3. 用一个非零数乘一个方程

矩阵的“初等行变换”

1. 把一行减去另一行的倍数
2. 交换两行
3. 用一个非零数乘一行

增广矩阵

$$(A|\mathbb{b})= \left( \begin{array}{c:c} \begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix} \end{array} \right)$$

消元基本方法

用“初等行变换”将增广矩阵化为阶梯形（$(U|\mathbb{c})$）：其中每行第一个非零元称为“主元”，下面行的主元列标号大于上面行的主元列标号。

具体步骤

1. 交换方程，使第一个方程中第一个未知数的系数非 $0$
2. 其他方程减去第一个方程的倍数将第一个主元下方的所有系数化为 $0$
3. 确定第二个主元，重复以上过程
4. 知道所得方程组的增广矩阵为阶梯形

解的情况

1. $n$ 个方程，有 $n$ 个主元，则有唯一解
2. 主元数小于 $n$，如果存在某行左侧均为 $0$，右侧不为 $0$，则无解
3. 否则有无穷解

上三角阵

方阵从左上到右下的对角线称为主对角线。

主对角线下方元素均为 $0$ 的矩阵称为上三角阵。

同理可以定义下三角阵。

特殊情况判断唯一解

$n$ 个未知数，$n$ 个方程时，有：

$A$ 是可逆矩阵 $\Leftrightarrow$ $U$ 是可逆上三角阵 $\Leftrightarrow$ $A\mathbb{x}=\mathbb{b}$ 有唯一解

单位矩阵

主对角线上元素为 $1$，其他元素为 $0$ 的方阵。

$$I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}$$

消去矩阵

将单位阵某个 $0$ 变为非零的数得到的矩阵称为消去矩阵，这是一类初等矩阵。

 笔记 线性代数