
微积分笔记(18)——定积分及计算初步
函数的(定)积分
积分的概念
问题 1:曲边梯形的面积
设 f∈C[a,b],f≥0,记:
D={(x,y)|0≤y≤f(x),a≤x≤b}
称为曲边梯形。求 D 的面积 A=?
方法:分割为“长方形”面积叠加。
- 任取 [a,b] 有限分割,记为 T:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b。令 Δxi=xi−xi−1,‖T‖=maxni=1Δxi——T 的”宽度“。
相应得到 D 的分割 ΔDi,i=1,2,⋯,n,其面积 ΔAi≈f(ξi)Δxi,ξi∈[xi–1,xi] 任取。
从而 A=n∑i=1ΔAi≈n∑i=1f(ξi)Δxi。
分割越细,精度越高,令 ‖T‖→0(无限加细),A=lim‖T‖→0n∑i=1f(ξi)Δxi。
问题 2:变速直线运动质点的位移
已知某质点沿直线运动的速度 v(t),t 表示时间。
求在 [α,β] 时段内质点的位移 s=?
方法:用分段匀速近似叠加。
- 将时段 [α,β] 任意有限分割,记为 T:α=t0<t1<t2<⋯<tn=β。记 Δti=ti−ti−1,‖T‖=maxni=1Δti。
在 [ti–1,ti] 时段质点位移 Δsi≈v(τi)Δti,τi∈[ti–1,ti] 任意。
从而 s=n∑i=1Δsi≈n∑i=1v(τi)Δti。
令 ‖T‖→0,得到 s=lim‖T‖→0n∑i=1v(τi)Δti。
Riemann 积分
设 f:[a,b]→R,I∈R。
如果 ∀ε>0,∃δ>0,使得 [a,b] 上任意有限分割 T,只要 ‖T‖<δ,就有: |n∑i=1f(ξi)Δxi−I|<ε,∀ξi∈[xi−1,xi] 则称 f 在 [a,b] 上 Riemann 可积,记为 f∈R[a,b]。
又记:
I=lim‖T‖→0n∑i=1f(ξi)Δxi=∫baf(x)dx
其中 ∫ 为积分号,b 为积分上限,a 为积分下限,f(x) 为被积函数,x 为积分变量。
注:上述积分表达式表示的是一个数,而类似的不定积分却代表的是一族函数,这里的积分变量改为 t 或者别的不会改变数值。
几何意义
y=f(x) 围成的邮箱面积。
A=A+–A−,A+ 代表 y=f(x) 在 x 轴上方围出的面积,A− 代表 y=f(x) 在 x 轴下方围出的面积。
积分的性质
- 线性性质:设 f,g∈R[a,b],α,β∈R,则 αf+βg∈R[a,b],且:
∫ba[αf(x)+βg(x)]dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx 保序(保号)性质:设 f≥0,f∈R[a,b],则:
∫baf(x)dx≥0推论:设 f,g∈R[a,b],且 f≤g,则:
∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx区间可加性:令 a<c<b,则 f∈R[a,b]⇔f∈R[a,c]∧f∈R[c,b],此时: ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx (后面会证明)
规定:
∫aaf(x)dx=0
并对于 a<b,规定:
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
推论 1:
∫abf(x)dx+∫baf(x)dx=∫aaf(x)dx=0
推论 2:令 a<c<b,f∈R[a,b],则:
∫caf(x)dx=∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx
故 a,b,c 三者大小可任意,只需 f 在最大的区间上可积。
积分计算初步(已知 f∈R[a,b])
- 用定义:写出分割-和式,求极限。
Δx=b–an,xi=a+iΔx,i=0,1,2,⋯,n
n∑i=1f(¯xi)Δx=Δxn∑i=1f(¯xi),¯xi∈[xi–1,xi]⟶∫baf(x)dx 利用积分的几何意义:
A=∫baf(x)dx⟶y=f(x),y=0,x=a,x=b 围成的面积
Newton-Leibniz 公式
设 f∈R[a,b],F∈C[a,b] 且在 (a,b) 内可导,为 f 在 (a,b) 内的原函数,则:
∫baf(x)dx=F(b)–F(a)=F(x)|ba
推论:
∫baF′(x)dx=F(x)|ba∫baf(x)dx=∫f(x)dx|ba
证明:取分割 T:Δx=b–an,xi=a+iΔx。
F(b)–F(a)=F(xn)–F(x0)=n∑i=1[F(xi)–F(xi–1)]
已知 F∈C[xi–1,xi] 且在 (xi–1,xi) 可导,应用 Lagrange 中值定理,∃ξi∈(xi–1,xi) 使 F(xi)–F(xi–1)=F′(ξi)Δx=f(ξi)Δx。
∴F(b)–F(a)=n∑i=1f(ξi)Δx
已知 f∈R[a,b],令 n→∞,‖T‖→0,从而:
n∑i=1f(ξi)Δx→∫baf(x)dx
∴F(b)–F(a)=∫baf(x)dx ◻
问题:什么样的 f 才是 Riemann 可积?
部分回答:C[a,b]⊆R[a,b]——后面证明。
可积函数的性质
必要条件
设 f∈R[a,b],则 f 在 [a,b] 上有界。
证明:对于 ε=1,∃ 分段 T:Δx=b−an<δ,xi=a+iΔx,则: |n∑i=1f(ξi)Δx−I|<1|n∑i=1f(ξi)Δx|≤|n∑i=1f(ξi)Δx−I|+|I|≤1+|I| 从而: |f(ξ1)Δx|≤|n∑i=2f(ξi)Δx|+|n∑i=1f(ξi)Δx|≤|n∑i=2f(ξi)Δx|+|I|+1∴|f(ξ1)|≤1Δx(|n∑i=2f(ξi)Δx|+|I|+1)=M1 即 |f(x)|≤M1,∀x∈[x0,x1]。依次递推,可得 |f(x)|≤Mi,∀x∈[xi−1,xi],i=1,2,⋯,n ∴|f(x)|≤M=max{M1,⋯,Mn} ◻ 注:逆命题不成立(有界未必可积),比如 Dirichlet 函数。
积分中值(平均值)定理
设 f,g∈C[a,b] 且 g 不变号,则 ∃ξ∈[a,b] 使:
∫baf(x)g(x)dx=f(ξ)∫bag(x)dx
证明:不妨令 g(x)≥0,从而:
∫bag(x)dx≥0
取 m=minx∈[a,b]f(x),M=maxx∈[a,b]f(x),则:
m≤f(x)≤M,∀x∈[a,b]mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)∫bamg(x)dx≤∫baf(x)g(x)dx≤∫baMg(x)dx
不妨令:
∫bag(x)dx>0
则:
m≤∫baf(x)g(x)dx∫bag(x)dx≤M
由介值性质即得 ∃ξ 使得结论成立。◻
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