Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

微积分笔记(18)——定积分及计算初步

微积分笔记(18)——定积分及计算初步

函数的(定)积分

积分的概念

问题 1:曲边梯形的面积

fC[a,b]f0,记:
D={(x,y)|0yf(x),axb}
称为曲边梯形。求 D 的面积 A=

方法:分割为“长方形”面积叠加。

  1. 任取 [a,b] 有限分割,记为 T:a=x0<x1<x2<<xn=b。令 Δxi=xixi1,T=maxni=1Δxi——T 的”宽度“。

  2. 相应得到 D 的分割 ΔDi,i=1,2,,n,其面积 ΔAif(ξi)Δxiξi[xi1,xi] 任取。

    从而 A=ni=1ΔAini=1f(ξi)Δxi

  3. 分割越细,精度越高,令 T0(无限加细),A=limT0ni=1f(ξi)Δxi

问题 2:变速直线运动质点的位移

已知某质点沿直线运动的速度 v(t)t 表示时间。

求在 [α,β] 时段内质点的位移 s=

方法:用分段匀速近似叠加。

  1. 将时段 [α,β] 任意有限分割,记为 T:α=t0<t1<t2<<tn=β。记 Δti=titi1,T=maxni=1Δti

  2. [ti1,ti] 时段质点位移 Δsiv(τi)Δti,τi[ti1,ti] 任意。

    从而 s=ni=1Δsini=1v(τi)Δti

  3. T0,得到 s=limT0ni=1v(τi)Δti

Riemann 积分

f:[a,b]RIR

如果 ε>0δ>0,使得 [a,b] 上任意有限分割 T,只要 T<δ,就有: |ni=1f(ξi)ΔxiI|<ε,ξi[xi1,xi] 则称 f[a,b] 上 Riemann 可积,记为 fR[a,b]

又记:

I=limT0ni=1f(ξi)Δxi=baf(x)dx
其中 为积分号,b 为积分上限,a 为积分下限,f(x) 为被积函数,x 为积分变量。

:上述积分表达式表示的是一个数,而类似的不定积分却代表的是一族函数,这里的积分变量改为 t 或者别的不会改变数值。

几何意义

y=f(x) 围成的邮箱面积。

A=A+AA+ 代表 y=f(x)x 轴上方围出的面积,A 代表 y=f(x)x 轴下方围出的面积。

积分的性质

  1. 线性性质:设 f,gR[a,b]α,βR,则 αf+βgR[a,b],且:
    ba[αf(x)+βg(x)]dx=αbaf(x)dx+βbag(x)dx

  2. 保序(保号)性质:设 f0fR[a,b],则:
    baf(x)dx0

    推论:设 f,gR[a,b],且 fg,则:
    baf(x)dxbag(x)dx

  3. 区间可加性:令 a<c<b,则 fR[a,b]fR[a,c]fR[c,b],此时: baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx (后面会证明)

规定
aaf(x)dx=0
并对于 a<b,规定: abf(x)dx=baf(x)dx 推论 1
abf(x)dx+baf(x)dx=aaf(x)dx=0
推论 2:令 a<c<bfR[a,b],则: caf(x)dx=baf(x)dx+cbf(x)dxa,b,c 三者大小可任意,只需 f 在最大的区间上可积。

积分计算初步(已知 fR[a,b]

  1. 用定义:写出分割-和式,求极限。

    Δx=ban,xi=a+iΔx,i=0,1,2,,n
    ni=1f(¯xi)Δx=Δxni=1f(¯xi),¯xi[xi1,xi]baf(x)dx

  2. 利用积分的几何意义:
    A=baf(x)dxy=f(x),y=0,x=a,x=b 围成的面积

Newton-Leibniz 公式

fR[a,b]FC[a,b] 且在 (a,b) 内可导,为 f(a,b) 内的原函数,则:
baf(x)dx=F(b)F(a)=F(x)|ba
推论
baF(x)dx=F(x)|babaf(x)dx=f(x)dx|ba
证明:取分割 T:Δx=ban,xi=a+iΔx
F(b)F(a)=F(xn)F(x0)=ni=1[F(xi)F(xi1)]
已知 FC[xi1,xi] 且在 (xi1,xi) 可导,应用 Lagrange 中值定理,ξi(xi1,xi) 使 F(xi)F(xi1)=F(ξi)Δx=f(ξi)Δx
F(b)F(a)=ni=1f(ξi)Δx
已知 fR[a,b],令 nT0,从而:

ni=1f(ξi)Δxbaf(x)dx
F(b)F(a)=baf(x)dx 

问题:什么样的 f 才是 Riemann 可积?

部分回答C[a,b]R[a,b]——后面证明。

可积函数的性质

必要条件

fR[a,b],则 f[a,b] 上有界。

证明:对于 ε=1 分段 T:Δx=ban<δ,xi=a+iΔx,则: |ni=1f(ξi)ΔxI|<1|ni=1f(ξi)Δx||ni=1f(ξi)ΔxI|+|I|1+|I| 从而: |f(ξ1)Δx||ni=2f(ξi)Δx|+|ni=1f(ξi)Δx||ni=2f(ξi)Δx|+|I|+1|f(ξ1)|1Δx(|ni=2f(ξi)Δx|+|I|+1)=M1|f(x)|M1,x[x0,x1]。依次递推,可得 |f(x)|Mi,x[xi1,xi],i=1,2,,n |f(x)|M=max{M1,,Mn}  :逆命题不成立(有界未必可积),比如 Dirichlet 函数。

积分中值(平均值)定理

f,gC[a,b]g 不变号,则 ξ[a,b] 使:
baf(x)g(x)dx=f(ξ)bag(x)dx
证明:不妨令 g(x)0,从而:
bag(x)dx0
m=minx[a,b]f(x),M=maxx[a,b]f(x),则:
mf(x)M,x[a,b]mg(x)f(x)g(x)Mg(x)bamg(x)dxbaf(x)g(x)dxbaMg(x)dx
不妨令:
bag(x)dx>0
则:

mbaf(x)g(x)dxbag(x)dxM

由介值性质即得 ξ 使得结论成立。

 

点赞 0

No Comments

Add your comment