微积分笔记（18）——定积分及计算初步

wzf2000
2019年11月24日

微积分笔记（18）——定积分及计算初步

函数的（定）积分

积分的概念

问题 1：曲边梯形的面积

设 $f \in C[a,b]$，$f \ge 0$，记：
$$
D = \{(x,y) | 0 \le y \le f(x),a \le x \le b \}
$$
称为曲边梯形。求 $D$ 的面积 $A =$？

方法：分割为“长方形”面积叠加。

1. 任取 $[a,b]$ 有限分割，记为 $T : a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$。令 $\Delta x_i = x_i - x_{i - 1},\|T\| = \max_{i=1}^n \Delta x_i$——$T$ 的”宽度“。

2. 相应得到 $D$ 的分割 $\Delta D_i,i = 1,2,\cdots,n$，其面积 $\Delta A_i \thickapprox f(\xi_i) \Delta x_i$，$\xi_i \in [x_{i - 1},x_i]$ 任取。

   从而 $A = \sum\limits_{i = 1}^{n} \Delta A_i \thickapprox \sum\limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$。

3. 分割越细，精度越高，令 $\|T\| \to 0$（无限加细），$A = \lim\limits_{\|T\| \to 0}\sum\limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$。

问题 2：变速直线运动质点的位移

已知某质点沿直线运动的速度 $v(t)$，$t$ 表示时间。

求在 $[\alpha,\beta]$ 时段内质点的位移 $s =$？

方法：用分段匀速近似叠加。

1. 将时段 $[\alpha,\beta]$ 任意有限分割，记为 $T : \alpha = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n=\beta$。记 $\Delta t_i = t_i - t_{i - 1},\|T\| = \max_{i=1}^{n} \Delta t_i$。

2. 在 $[t_{i - 1},t_i]$ 时段质点位移 $\Delta s_i \thickapprox v(\tau_i)\Delta t_i,\tau_i \in [t_{i - 1},t_i]$ 任意。

   从而 $s = \sum\limits_{i = 1}^{n} \Delta s_i \thickapprox \sum\limits_{i = 1}^{n} v(\tau_i) \Delta t_i$。

3. 令 $\|T\| \to 0$，得到 $s = \lim\limits_{\|T\| \to 0} \sum\limits_{i = 1}^{n} v(\tau_i) \Delta t_i$。

Riemann 积分

设 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$，$I \in \mathbb{R}$。

如果 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得 $[a,b]$ 上任意有限分割 $T$，只要 $\|T\| < \delta$，就有： $$ |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i - I| < \varepsilon, \forall \xi_i \in [x_{i - 1},x_i] $$ 则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，记为 $f \in R[a,b]$。

又记：

$$
I = \lim\limits_{\|T\| \to 0}\sum\limits_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i
\\ = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $\int$ 为积分号，$b$ 为积分上限，$a$ 为积分下限，$f(x)$ 为被积函数，$x$ 为积分变量。

注：上述积分表达式表示的是一个数，而类似的不定积分却代表的是一族函数，这里的积分变量改为 $t$ 或者别的不会改变数值。

几何意义

$y = f(x)$ 围成的邮箱面积。

$A = A^+ - A^-$，$A^+$ 代表 $y = f(x)$ 在 $x$ 轴上方围出的面积，$A^-$ 代表 $y = f(x)$ 在 $x$ 轴下方围出的面积。

积分的性质

1. 线性性质：设 $f,g \in R[a,b]$，$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$，则 $\alpha f + \beta g \in R[a,b]$，且：
   $$
   \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \mathrm{d} x = \alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d} x + \beta \int_a^b g(x) \mathrm{d} x
   $$

2. 保序（保号）性质：设 $f \ge 0$，$f \in R[a,b]$，则：
   $$
   \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \ge 0
   $$

   推论：设 $f,g \in R[a,b]$，且 $f \le g$，则：
   $$
   \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \le \int_a^b g(x) \mathrm{d} x
   $$

3. 区间可加性：令 $a < c < b$，则 $f \in R[a,b] \Leftrightarrow f \in R[a,c] \land f \in R[c,b]$，此时： $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x $$ （后面会证明）

规定：
$$
\int_a^a f(x) \mathrm{d} x = 0
$$
并对于 $a < b$，规定： $$ \int_b^a f(x) \mathrm{d} x = - \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $$ 推论 1：
$$
\int_b^a f(x) \mathrm{d} x + \int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^a f(x) \mathrm{d} x = 0
$$
推论 2：令 $a < c < b$，$f \in R[a,b]$，则： $$ \int_a^c f(x) \mathrm{d} x = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x + \int_{b}^c f(x) \mathrm{d} x $$ 故 $a,b,c$ 三者大小可任意，只需 $f$ 在最大的区间上可积。

积分计算初步（已知 $f \in R[a,b]$）

1. 用定义：写出分割-和式，求极限。

   $\Delta x = \dfrac{b - a}{n},x_i = a + i \Delta x,i = 0,1,2,\cdots,n$
   $$
   \sum_{i = 1}^{n} f(\overline{x_i}) \Delta x = \Delta x \sum_{i = 1}^{n} f(\overline{x_i}),\overline{x_i} \in [x_{i - 1},x_i] \\
   \longrightarrow \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
   $$

2. 利用积分的几何意义：
   $$
   A = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \longrightarrow y = f(x),y = 0,x = a,x = b \text{ 围成的面积}
   $$

Newton-Leibniz 公式

设 $f \in R[a,b]$，$F \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导，为 $f$ 在 $(a,b)$ 内的原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = F(b) - F(a) = F(x) \Big |_a^b
$$
推论：
$$
\int_a^b F^{\prime}(x) \mathrm{d} x = F(x) \Big |_a^b \\
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int f(x) \mathrm{d} x \Big |_a^b
$$
证明：取分割 $T : \Delta x = \dfrac{b - a}{n},x_i = a + i \Delta x$。
$$
F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) = \sum_{i = 1}^n [F(x_i) - F(x_{i - 1})]
$$
已知 $F \in C[x_{i - 1},x_i]$ 且在 $(x_{i - 1},x_i)$ 可导，应用 Lagrange 中值定理，$\exists \xi_i \in (x_{i - 1},x_i)$ 使 $F(x_i) - F(x_{i - 1}) = F^{\prime}(\xi_i) \Delta x = f(\xi_i) \Delta x$。
$$
\therefore F(b) - F(a) = \sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x
$$
已知 $f \in R[a,b]$，令 $n \to \infty$，$\|T\| \to 0$，从而：

$$
\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x \to \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
$\therefore F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \ \square$

问题：什么样的 $f$ 才是 Riemann 可积？

部分回答：$C[a,b] \subseteq R[a,b]$——后面证明。

可积函数的性质

必要条件

设 $f \in R[a,b]$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

证明：对于 $\varepsilon = 1$，$\exists$ 分段 $T : \Delta x = \dfrac{b-a}{n} < \delta,x_i = a + i \Delta x$，则： $$ |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x - I| < 1 \\ |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x| \le |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x - I| + |I| \le 1 + |I| $$ 从而： $$ |f(\xi_1) \Delta x| \le |\sum_{i = 2}^{n} f(\xi_i) \Delta x| + |\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i) \Delta x| \le |\sum_{i = 2}^{n} f(\xi_i) \Delta x| + |I| + 1 \\ \therefore |f(\xi_1)| \le \dfrac{1}{\Delta x} (|\sum_{i = 2}^{n} f(\xi_i) \Delta x| + |I| + 1) = M_1 $$ 即 $|f(x)| \le M_1,\forall x \in [x_0,x_1]$。依次递推，可得 $|f(x)| \le M_i,\forall x \in [x_{i - 1},x_i],i = 1,2,\cdots,n$ $$ \therefore |f(x)| \le M = \max \{M_1,\cdots,M_n\} \ \square $$ 注：逆命题不成立（有界未必可积），比如 Dirichlet 函数。

积分中值（平均值）定理

设 $f,g \in C[a,b]$ 且 $g$ 不变号，则 $\exists \xi \in [a,b]$ 使：
$$
\int_a^b f(x)g(x) \mathrm{d} x = f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x
$$
证明：不妨令 $g(x) \ge 0$，从而：
$$
\int_a^b g(x) \mathrm{d} x \ge 0
$$
取 $m = \min\limits_{x \in [a,b]} f(x),M = \max\limits_{x \in [a,b]}f(x)$，则：
$$
m \le f(x) \le M,\forall x \in [a,b] \\
mg(x) \le f(x)g(x) \le Mg(x) \\
\int_a^b mg(x) \mathrm{d} x \le \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x \le \int_a^b Mg(x) \mathrm{d} x
$$
不妨令：
$$
\int_a^b g(x) \mathrm{d} x > 0
$$
则：

$$
m \le \dfrac{\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x}{\int_a^b g(x) \mathrm{d} x} \le M
$$

由介值性质即得 $\exists \xi$ 使得结论成立。$\square$

 微积分 笔记