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微积分笔记(21)——Lebesgue 定理与无穷积分

微积分笔记(21)——Lebesgue 定理与无穷积分

Lebesgue 定理——Riemann 可积的刻画

分析

根据上节内容,fR[a,b] 的一个充分必要条件是 limπ0(¯S(f,π)S_(f,π))=0

ni=1ωiΔxi0

ni=1Δxi=ba>0,当 fC[a,b] 时,ωi0,i

仅当 f 间断点”很多“时,ni=1ωiΔxi 可以不趋向于 0

记号

间断点集Dis(f)={x0[a,b]|f 在 x0 点间断} 或记为 Dis(f;[a,b])

零测集(零测度集——在 R 中)

AR,若 ε>0,存在至多可数个开区间 {In}n=1,2,3,,使得:

  1. An=1InxA,In 使得 xIn
  2. mn=1|In|<ε,m=1,2,3,(n=1|In|<ε)

则称 A1 维)零测集

:相当于 A 中点排列起来“长度为 0”。

零测集的性质

  1. 有限数集是零测集(包括空集)。

  2. 零测集的子集是零测集。

  3. 有限个零测集的并集是零测集。

  4. 可数集是零测集。

    证明:令 A={a1,a2,,an,}ε>0,令 In=(anε2n+1,an+ε2n+1)

    anIn,且 |In|=ε2n

    An=1Inmn=1|In|=(12+14++12n)ε<ε 

    推论N,Z,Q 是零测集。

Lebesgue 定理

f:[a,b]R 有界,fR[a,b]Dis(f) 是零测集,换言之,f[a,b] 上几乎处处连续。

证明太过复杂,略去。

推论C[a,b]R[a,b]

可积函数

  1. f[a,b] 上有界,且 Dis(f) 至多可数,则 fR[a,b]
  2. fR[a,b],则 |f|R[a,b]
  3. f,gR[a,b],则 fgR[a,b]
  4. fR[a,b],且 1f 有界,则 1fR[a,b]
  5. a<c<bfR[a,b]fR[a,c]fR[c,b]

反常积分(广义积分)

回忆

baf(x)dx

要求:[a,b] 是有限区间,f 是有界函数。

本节希望突破这两条限制:

  1. 无穷区间上的积分——无穷积分;
  2. 无界函数的积分——瑕积分(奇异积分)。

无穷积分

f:[a,+)R,且 A>a,fR[a,A]

则定义:
+af(x)dx=limA+Aaf(x)dx


若极限存在(收敛),则称此积分收敛;

若极限不存在(发散),则称此积分发散。

类似地,若 f:(,b]R,且 B<b,fR[B,b]。则定义:bf(x)dx=limBbBf(x)dx

最后,若 f:(,+)R,且 a<b,fR[a,b]。定义: +f(x)dx=0f(x)dx++0f(x)dx
(其中 0 可以换成任意实数)左边收敛仅当右边两个无穷积分都收敛!

Cauchy 定义的主值积分

P.V.+f(x)dx=limA+AAf(x)dx

广义 Newton-Leibniz 公式

fC[a,+) 有原函数 F(x),则:
+af(x)dx=limx+F(x)F(a)=F(x)|+a


可见积分收敛仅当 limx+F(x) 收敛。

同样可以得出另外两个无穷积分的公式。

 

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但滥情成了主流,深情便成了罪过。