
微积分笔记(21)——Lebesgue 定理与无穷积分
Lebesgue 定理——Riemann 可积的刻画
分析
根据上节内容,f∈R[a,b] 的一个充分必要条件是 lim‖π‖→0(¯S(f,π)–S_(f,π))=0。
即 n∑i=1ωiΔxi→0。
而 n∑i=1Δxi=b–a>0,当 f∈C[a,b] 时,ωi→0,∀i。
仅当 f 间断点”很多“时,n∑i=1ωiΔxi 可以不趋向于 0。
记号
间断点集:Dis(f)={x0∈[a,b]|f 在 x0 点间断} 或记为 Dis(f;[a,b])。
零测集(零测度集——在 R 中)
令 A⊆R,若 ∀ε>0,存在至多可数个开区间 {In}n=1,2,3,⋯,使得:
- A⊆∞⋃n=1In(∀x∈A,∃In 使得 x∈In)
- m∑n=1|In|<ε,m=1,2,3,⋯(∞∑n=1|In|<ε)
则称 A 为(1 维)零测集。
注:相当于 A 中点排列起来“长度为 0”。
零测集的性质
- 有限数集是零测集(包括空集)。
零测集的子集是零测集。
有限个零测集的并集是零测集。
可数集是零测集。
证明:令 A={a1,a2,⋯,an,⋯},∀ε>0,令 In=(an–ε2n+1,an+ε2n+1)。
则 an∈In,且 |In|=ε2n。
∴A⊆∞⋃n=1Inm∑n=1|In|=(12+14+⋯+12n)ε<ε ◻
推论:N,Z,Q 是零测集。
Lebesgue 定理
设 f:[a,b]→R 有界,f∈R[a,b]⇔Dis(f) 是零测集,换言之,f 在 [a,b] 上几乎处处连续。
证明太过复杂,略去。
推论:C[a,b]⊆R[a,b]。
可积函数
- 若 f 在 [a,b] 上有界,且 Dis(f) 至多可数,则 f∈R[a,b]。
- 设 f∈R[a,b],则 |f|∈R[a,b]。
- 若 f,g∈R[a,b],则 fg∈R[a,b]。
- 若 f∈R[a,b],且 1f 有界,则 1f∈R[a,b]。
- 令 a<c<b,f∈R[a,b]⇔f∈R[a,c]∧f∈R[c,b]。
反常积分(广义积分)
回忆
∫baf(x)dx
要求:[a,b] 是有限区间,f 是有界函数。
本节希望突破这两条限制:
- 无穷区间上的积分——无穷积分;
- 无界函数的积分——瑕积分(奇异积分)。
无穷积分
设 f:[a,+∞)→R,且 ∀A>a,f∈R[a,A]。
则定义:
∫+∞af(x)dx=limA→+∞∫Aaf(x)dx
若极限存在(收敛),则称此积分收敛;
若极限不存在(发散),则称此积分发散。
类似地,若 f:(−∞,b]→R,且 ∀B<b,f∈R[B,b]。则定义:∫b−∞f(x)dx=limB→−∞∫bBf(x)dx
Cauchy 定义的主值积分
P.V.∫+∞−∞f(x)dx=limA→+∞∫A−Af(x)dx
广义 Newton-Leibniz 公式
设 f∈C[a,+∞) 有原函数 F(x),则:
∫+∞af(x)dx=limx→+∞F(x)–F(a)=F(x)|+∞a
可见积分收敛仅当 limx→+∞F(x) 收敛。
同样可以得出另外两个无穷积分的公式。
No Comments