微积分笔记（35）——多变量函数的连续性（1）
多变量函数的连续性
n 维欧氏空间的基本结构
问题来源
研究多元函数：f(x,y,z),φ(u,v) 等。
引入 n 维欧氏空间
- n 元点集（n 维向量）：Rn。
集合 Rn:={(x1,x2,⋯,xn)|xk∈R,k=1,2,⋯,n}
线性结构：关于加法，数乘（不是乘法）封闭。
x=(x1,x2,⋯,xn),y=(y1,y2,⋯,yn)∈Rn：
加法 x+y:=(x1+y1,x2+y2,⋯,xn+yn)∈Rn
数乘 λx:=(λx1,λx2,⋯,λxn)∈Rn,λ∈R
注：符合前两点的集合结构就被称为一个线性空间（向量空间）。
内积（数量积）——产生长度、角度、距离。
⟨x,y⟩:=x1y1+x2y2+⋯+xnyn∈R
运算的性质
比较显然，略。
范数（长度，模）
‖x‖:=√⟨x,x⟩=√x21+x22+⋯+x2n,x=(x1,x2,⋯,xn)∈Rn
n=1 时，范数就是绝对值。
性质：
- 正定性：‖x‖≥0 等号成立仅当 x=0；
- 齐次性：‖λx‖=|λ|‖x‖ (λ∈R)；
- 内积不等式：|⟨x,y⟩|≤‖x‖⋅‖y‖（Cauchy-Schwarz）；
- 三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。
向量间的夹角
对于两个非零向量 x,y≠0：
cosθ:=⟨x,y⟩‖x‖‖y‖,0≤θ≤π
θ 称为两向量间的夹角。
向量正交
对于 x,y≠0：
x⊥y⇔θ=π2⇔⟨x,y⟩=0
规定：零向量与任意向量正交。
距离
对于空间中两点 x,y∈Rn：
‖x–y‖
称为两点之间的距离。
性质：
- 正定性：‖x–y‖≥0 等号成立仅当 x=y；
- 对称性：‖x–y‖=‖y–x‖；
- 三角不等式：‖x–y‖≤‖x–z‖+‖z–y‖。
n 维欧氏空间中点列的极限
点列
{xk} 是 Rn 中点列，即 xk∈Rn,k=1,2,⋯
点列的极限
limk→∞xk=a∈Rn
称为 {xk} 收敛于 a，若 {‖xk–a‖} 收敛于 0。
推论：记 xk=(x(k)1,x(k)2,⋯,x(k)n),k=1,2,⋯,a=(a1,a2,⋯,an)，则 limk→∞xk=a 的充分必要条件是 limk→∞x(k)j=aj,j=1,2,⋯,n，即 {xk} 收当且仅当其每个分量数列 {x(k)j} 收敛，j=1,2,⋯,n。
收敛点列的性质
- 唯一性：若 {xk} 收敛，则 limk→∞xk=a 唯一。
有界性：若 {xk} 收敛，则 ∃M>0,‖xk‖≤M,k=1,2,⋯。
线性性：设 limk→∞xk=a,limk→∞yk=b,α,β∈R，则 limk→∞(αxk+βyk)=αa+βb。
Cauchy 准则：{xk} 收敛当且仅当 {xk} 是基本列：
∀ε>0,∃k0∈N,∀k,k′>k0,‖xk–xk′‖<ε
点列收敛原理（Bolzano-Weierstrass）
若 {xk} 有界，则必有收敛子列。
欧氏空间中的开集和闭集
邻域（球）
令 a∈Rn,r>0：
Br(a):={x∈Rn:‖x–a‖<r}
¯Br(a):={x∈Rn:‖x–a‖≤r}
也就是 a 点的闭邻域。
Br(ˆa):={x∈Rn:0<‖x−a‖<r}
内点/内部与开集
E⊆Rn,a∈Rn
a 是 E 的内点：
∃r>0,Br(a)⊆E
注：若 a 是 E 的内点，显然 a 在 E 中。
E 的内部：
E∘:={x∈Rn:x 是 E 的内点}
E 称为开集：如果 E 中所有点都是内点 E=E∘。
注：空集也被认为是开集，其它实例如：Rn,Br(a),Br(ˆa)。
¯Br(a)∘=Br(a)。
闭集（开集的补集）
E⊆Rn，即 Ec=Rn∖E={x∈Rn:x∉E}——E 的补集。
E 称为闭集，如果 E 的补集是开集。
注：显然如果 E 是开集，则 E 的补集是闭集。
实例有 Rn.∅,¯Br(a)。
还有 Sr(a)={x∈Rn|‖x–a‖=r} 也是闭集。
开集/闭集性质
- 任意多个开集的并集是开集；
- 有限多个开集的交集是开集；
- 任意多个闭集的交集是闭集；
- 有限多个闭集的并集是闭集。
注：后两个性质可利用 de Mogan 律和前两个性质直接证明。
凝聚点/导集（凝聚点也称聚点或极限点）
令 E⊆Rn,a∈Rn。
a 是 E 的凝聚点：
∀r>0,Br(ˆa)∩E≠∅
推论：设 a 是 E 的凝聚点，则存在 E 中点列收敛于 a。
a 是 E 的孤立点：
∃r>0,Br(a)∩E={a}
E 的导集：
E′:={x∈Rn:x 是 E 的凝聚点}
也就是凝聚点全体。
E 的闭包：
¯E=E∪E′
闭集的刻画：E 是闭集 ⇔¯E=E（E 的凝聚点都在 E 中）。
证明直接用闭集和凝聚点定义验证即可。
开集/闭集性质（续）
- E 的内部是包含在 E 中的最大开集；
- E 的闭包是包含 E 的最小闭集。
外部/边界点/边界
E 的外部：
(Ec)∘={x∈Ec:∃r>0,Br(x)⊆Ec}
（补集的内部）
a 是 E 的边界点：
a∉E∘∪(Ec)∘
E 的边界：
∂E:={x∈Rn:x∉E∘∪(Ec)∘}
（边界点全体）
推论：¯E=E∪∂E。
欧氏空间中点集的紧性和连通性
列紧性（收敛子列存在性）
E 是列紧集，若 E 中任意点列都有子列收敛于 E 中一点。
列紧集的刻画
E 是列紧集的充分必要条件是 E 为有界闭集。
充分性分为有界和闭集分别反证，必要性利用 Bolzano-Weierstrass 点列收敛原理。
紧致集（有限覆盖存在性）
如果 E 的任意开覆盖都存在有限子覆盖则称 E 是紧致集。
紧致集的刻画
E 是紧致集的充分必要条件是 E 是有界闭集（证明略）。
推论：列紧集与紧致集等价（Rn 中），都是有界闭集。
注：今后我们尽量避免紧致概念只用列紧。
道路连通集
E⊆Rn 称为道路连通集，如果：
∀a,b∈E，存在连续曲线 L⊆E，使得 a,b∈L。
区域
道路连通的开集称为开区域。
开区域的闭包称为闭区域。
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