大学物理（一）——运动学（1）

DylanOuO
2020年4月1日

大学物理（一）——运动学（1）

​ 牛顿力学研究的是物体的机械运动，即物体的位置随时间的变化。运动是相对的，研究某一物体的运动需要事先选取相对的另一物体，作为参照的物体及其延拓空间称为参照系。

​ 为简化研究物体的运动，引入简化的模型质点，质点没有大小但有质量，当运动的尺度远大于物体本身的尺度时，或不考虑物体的转动及内部运动时，可把物体的运动看为质点的运动。当考虑不可看为质点的运动时可以把物体分割为无限个质点再进行处理

位矢

​ 质点在参照系中的位置可以用坐标来定量描述。以坐标原点为起点，质点的位置为终点，得到一个矢量，称为位置矢量，简称位矢，位矢关于时间的函数表示为r=r($t$)​,称为运动方程，用来表示物体的运动状况。

​ 在直角坐标系中设x,y,z方向的单位矢量为i,j,k,则位矢r=x(t)i+y(t)j+z(t)k.

位移

​ 质点的运动即质点位矢的变化，若$t_1$时质点位矢为r($t_1$),$t_1$时质点位矢为r($t_1$),$t_2$时质点位矢为r($t_2$),则$t_1$到$t_2$时的位移为$\Delta$r= r($t_1$)-r($t_2$).位移也是矢量。

注意以下性质：

（1）位移与坐标原点选取无关，位矢与坐标选取有关。

（2）位移与路程不同，位移是一个矢量，路程是标量。但当$\Delta t\rightarrow 0$时，路程等于位移的大小。

（3）位移不反应运动过程的细节，也不反应初状态或末状态，只反映位置的改变。

速度与加速度

​ 速度是为了描述物体运动快慢的物理量。

​ 平均速度定义为v=$\displaystyle\frac{\Delta r}{\Delta t}$,瞬时速度则定义为平均速度当$\Delta t\rightarrow 0$时的极限.
$$\mathbf{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$$
简称速度。即速度是位矢对时间的导数，
$$\mathbf{v}=\frac {\mathsf{d}\mathbf{r}}{\mathsf dt}$$
类似的，加速度是为了描述物体速度变化快慢的物理量，即速度对时间的导数，即位矢对时间的二阶导，
$$\mathbf{a}=\frac {\mathsf{d}\mathbf{v}}{\mathsf dt}=\frac {\mathsf{d}^2\mathbf{r}}{\mathsf dt^2}$$

匀速直线运动

当速度不改变时，运动为一维，
$$x=x_0+\int_{0}^t\frac {\mathsf{d}x}{\mathsf dt}dt=x_0+vt$$

匀加速直线运动

$$v=v_0+\int_{0}^t\frac {\mathsf{d}v}{\mathsf dt}dt=v_0+at\\\overline v=\frac{\int_{0}^{t} v\mathsf{d}t}{t}=\frac{v_0t+\frac{1}{2}at^2}{t}=v_0+\frac{1}{2}at\\x=x_0+\int_{0}^t\frac {\mathsf{d}x}{\mathsf dt}dt=x_0+\int_{0}^t(v_0+at)dt=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\\left\{\begin{array}{rcl}&x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2\\&t=\frac{v-v_0}{a} \end{array}\right.\\\Rightarrow x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$$

斜抛运动

$$v_x=v_0\cos\theta\\v_y=v_0\sin\theta-gt\\x=v_0\cos\theta \cdot t\\y=v_0\sin\theta\cdot t-\frac{1}{2}gt^2\\\Rightarrow y=\tan\theta\cdot x-\frac{g}{2v_0^2}(1+\tan^2\theta)x^2$$

可以发现斜抛运动的轨迹方程为抛物线。以$\tan\theta$为主元,
$$\frac{gx^2}{2v_0^2}\tan^2\theta-x\tan\theta+y+\frac{gx^2}{2v_0^2}=0$$

当y=0,x$\neq$0时，即斜抛的质点着地时,有两个不同的角度$\theta_1,\theta_2$,且$\tan\theta_1\tan\theta_2=1$,即互余的斜抛角度抛射距离相同，同时角度为45°时抛射距离最远。

另外，当$\Delta=0$时，即所能抛射到的最边缘，
$$\Delta=x^2-\frac{2gx^2y}{v_0^2}-\frac{g^2x^4}{v_0^4}=0\\y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g}{2v_0^2}x^2$$
该抛物线即为所能抛射到的范围的边界，即抛射的包络线。