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Pfaffians

Pfaffians

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参考文献 Linear Algebra via Exterior Products, SergeiWinitzki, Ph.D.

线性空间上的反对称算子

定义 1.1VN 维的 K-线性空间, {e1,,eN} 是一组基, 定义 V 上的对称双线性型
,:VVKeiejδij.


定义 1.2 称算子 ˆAEnd(V)反对称的, 若其满足
u,ˆAu=0,uV.

全体反对称算子构成 End(V) 的子空间, 记为 Asym(V).

命题 1.3 以下线性映射为同构,
φ:2VAsym(V)ab[xab,xba,x].


提示 注意到 φ 为满射, 且 dim2V=dimAsym(V)=n(n1)2 即可.

命题 1.4 任意 α2V 均可写成 nj=1akbk 的形式, 其中 n12N, 且 {a1,b1,an,bn} 线性无关.

提示 考虑 α 的所有表达式中项数最少的即可.

定义 1.5ˆAV 上的一个反对称算子, 且 N=dimV 为偶数, 则将 ˆAPfaffian定义为下列等式中的常数 Pf(ˆA),
Pf(ˆA)e1eN=1(N/2)!N/2k=1α,


其中 α=φ1(ˆA)2V.

以下均假设 N=dimV 为偶数.

命题 1.6ˆAV 上的一个反对称算子, ˆBV 上的一个任意算子, 则 Pf(ˆBˆAˆBT)=det(ˆB)Pf(ˆA).

提示 考虑由 φ1(ˆA) 的表示得到 φ1(ˆBˆAˆBT) 的表示.

定理 1.7ˆAV 上的一个反对称算子, 则有
det(ˆA)=Pf(ˆA)2.


证明 由命题1.4, 设 α=φ1(ˆA)2V 可以表示成
α=v1v2++vk1vk,

其中 kN 为偶数, 且 {v1,,vk} 线性无关,

k<N 时. 易得 det(ˆA)=0=Pf(ˆA)2.
 
k=N 时. 则 {v1,,vN} 是一组基, 有
v1vN=Pf(ˆA)e1eN.


{u1,,uN}{v1,,vN} 的对偶基, 有
u1uN=Pf(ˆA)1e1eN,

以及
det(ˆA)u1uN=ˆAu1ˆAuN=v1vN.

从而综合上述各式可得
det(ˆA)=Pf(ˆA)2.

域上的反对称矩阵

定义 2.1A=(aij) 是域 K 上的 N 阶矩阵, 称 A反对称的, 若其满足
aii=0,aij+aji=0,i,j{1,,N}.


全体反对称矩阵构成 MatN(K) 的子空间, 记为 AsymN(K).

VN 维的 K-线性空间, e1,,eN 是一组基, 则
MatN(K)End(V)A=(aij)ˆA=[ejiaijei]


为环同构, 事实上 AˆA 在基 {e1,,eN} 下的矩阵表示.

以下均假设 N 为偶数. 注意到上述映射限制在 AsymN(K) 上是到 Asym(V) 的线性同构. 我们可以定义 Pf(A)=Pf(ˆA).

注意到
α=φ1(ˆA)=i<jaijeiej,

由Pfaffian的定义, 以及定理1.7, 得到
 

定理 2.2AAsymN(K), 则 Pf(A) 是对角线以上元素 aij(i<j) 的整系数多项式, 且有 det(A)=Pf(A)2.


命题 2.3A 是反对称 N 阶矩阵, B 是任意 N 阶矩阵 则 Pf(BABT)=det(B)Pf(A).

推论 2.4 辛矩阵的行列式为 1.

交换幺环上的反对称矩阵

定义 3.1A=(aij) 是交换幺环 R 上的 N 阶矩阵, 称 A反对称的, 若其满足
aii=0,aij+aji=0,i,j{1,,N}.


全体反对称矩阵构成 MatN(R) 的子空间, 记为 AsymN(R).

由定理2.1, 可以将 Pf(A) 看成 A 的元素的整系数多项式, 从而当 N 是偶数时, 也可定义 AsymN(R) 中矩阵的Pfaffian.

以下均假设 N 为偶数.

定理 3.2AAsymN(R), 则有
det(A)=Pf(A)2.

证明R 是整环时, 考虑 K=Frac(R), 将 A 看成 AsymN(K) 中的元素即可.

对于一般的情况, 考虑 S=Z[xij]N2 元整系数多项式环, B=(xij), 对于 A=(aij)AsymN(R), 存在环同态
φ:SRxijaij,


使得其诱导的环同态 MatN(S)MatN(R), 将 B=(xij) 映到 A=(aij).

由于 S 是整环, 故 det(B)=Pf(B)2.

从而
det(A)=ψ(det(B))=ψ(Pf(B)2)=Pf(A)2.

 

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胜固欣然,败亦可喜。