
Pfaffians
Pfaffians
参考文献 Linear Algebra via Exterior Products, SergeiWinitzki, Ph.D.
线性空间上的反对称算子
定义 1.1 设 V 为 N 维的 K-线性空间, {e1,…,eN} 是一组基, 定义 V 上的对称双线性型
⟨⋅,⋅⟩:V⊗V→Kei⊗ej↦δij.
定义 1.2 称算子 ˆA∈End(V) 是反对称的, 若其满足
⟨u,ˆAu⟩=0,∀u∈V.
全体反对称算子构成 End(V) 的子空间, 记为 Asym(V).
命题 1.3 以下线性映射为同构,
φ:∧2V→Asym(V)a∧b↦[x↦a⟨b,x⟩−b⟨a,x⟩].
提示 注意到 φ 为满射, 且 dim∧2V=dimAsym(V)=n(n−1)2 即可.
命题 1.4 任意 α∈∧2V 均可写成 ∑nj=1ak∧bk 的形式, 其中 n≤12N, 且 {a1,b1,…an,bn} 线性无关.
提示 考虑 α 的所有表达式中项数最少的即可.
定义 1.5 设 ˆA 是 V 上的一个反对称算子, 且 N=dimV 为偶数, 则将 ˆA 的Pfaffian定义为下列等式中的常数 Pf(ˆA),
Pf(ˆA)e1∧⋯∧eN=1(N/2)!N/2⋀k=1α,
其中 α=φ−1(ˆA)∈∧2V.
以下均假设 N=dimV 为偶数.
命题 1.6 设 ˆA 是 V 上的一个反对称算子, ˆB 是 V 上的一个任意算子, 则 Pf(ˆBˆAˆBT)=det(ˆB)Pf(ˆA).
提示 考虑由 φ−1(ˆA) 的表示得到 φ−1(ˆBˆAˆBT) 的表示.
定理 1.7 设 ˆA 是 V 上的一个反对称算子, 则有
det(ˆA)=Pf(ˆA)2.
证明 由命题1.4, 设 α=φ−1(ˆA)∈∧2V 可以表示成
α=v1∧v2+⋯+vk−1∧vk,
其中 k≤N 为偶数, 且 {v1,…,vk} 线性无关,
当 k<N 时. 易得 det(ˆA)=0=Pf(ˆA)2.
当 k=N 时. 则 {v1,…,vN} 是一组基, 有
v1∧⋯∧vN=Pf(ˆA)e1∧⋯∧eN.
设 {u1,…,uN} 是 {v1,…,vN} 的对偶基, 有
u1∧⋯∧uN=Pf(ˆA)−1e1∧⋯∧eN,
以及
det(ˆA)u1∧⋯∧uN=ˆAu1∧⋯∧ˆAuN=v1∧⋯∧vN.
从而综合上述各式可得
det(ˆA)=Pf(ˆA)2.
域上的反对称矩阵
定义 2.1 设 A=(aij) 是域 K 上的 N 阶矩阵, 称 A 是反对称的, 若其满足
aii=0,aij+aji=0,∀i,j∈{1,…,N}.
全体反对称矩阵构成 MatN(K) 的子空间, 记为 AsymN(K).
设 V 为 N 维的 K-线性空间, e1,…,eN 是一组基, 则
MatN(K)→End(V)A=(aij)↦ˆA=[ej↦∑iaijei]
为环同构, 事实上 A 为 ˆA 在基 {e1,…,eN} 下的矩阵表示.
以下均假设 N 为偶数. 注意到上述映射限制在 AsymN(K) 上是到 Asym(V) 的线性同构. 我们可以定义 Pf(A)=Pf(ˆA).
注意到
α=φ−1(ˆA)=∑i<jaijei∧ej,
定理 2.2 设 A∈AsymN(K), 则 Pf(A) 是对角线以上元素 aij(i<j) 的整系数多项式, 且有 det(A)=Pf(A)2.
命题 2.3 设 A 是反对称 N 阶矩阵, B 是任意 N 阶矩阵 则 Pf(BABT)=det(B)Pf(A).
推论 2.4 辛矩阵的行列式为 1.
交换幺环上的反对称矩阵
定义 3.1 设 A=(aij) 是交换幺环 R 上的 N 阶矩阵, 称 A 是反对称的, 若其满足
aii=0,aij+aji=0,∀i,j∈{1,…,N}.
全体反对称矩阵构成 MatN(R) 的子空间, 记为 AsymN(R).
由定理2.1, 可以将 Pf(A) 看成 A 的元素的整系数多项式, 从而当 N 是偶数时, 也可定义 AsymN(R) 中矩阵的Pfaffian.
以下均假设 N 为偶数.
定理 3.2 设 A∈AsymN(R), 则有
det(A)=Pf(A)2.
证明 当 R 是整环时, 考虑 K=Frac(R), 将 A 看成 AsymN(K) 中的元素即可.
对于一般的情况, 考虑 S=Z[xij] 为 N2 元整系数多项式环, B=(xij), 对于 A=(aij)∈AsymN(R), 存在环同态
φ:S→Rxij↦aij,
使得其诱导的环同态 MatN(S)→MatN(R), 将 B=(xij) 映到 A=(aij).
由于 S 是整环, 故 det(B)=Pf(B)2.
从而
det(A)=ψ(det(B))=ψ(Pf(B)2)=Pf(A)2.
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