wzf2000 微积分笔记（1）——数列与收敛
Contents
约定记号
数集
$\mathbb{N}$：自然数集合（正整数集合）
加法、乘法运算封闭
$\mathbb{Z}$：全体整数集合
加法及其逆运算、乘法运算封闭
$\mathbb{Q}$：全体有理数集合
加法、乘法及两者逆运算封闭
$\mathbb{R}$：全体实数集合
关于极限运算封闭
区间
$[a,b],(a,b),[a,b),(a,+\infty),(-\infty,b]$
集合运算
包含于：$\subset$
包含：$\supset$
属于：$\in$
集合并：$\cup\ \ \bigcup_{i=1}^{n}\lbrace i\rbrace$
集合交：$\cap\ \ \bigcap_{i=1}^n\left(0,\frac{1}{i}\right)$
逻辑记号
$A \Rightarrow B$：$A$ 是 $B$ 的充分条件，$B$ 是 $A$ 的必要条件
任意与存在记号：$\forall,\exists$
$\square$：证明完毕符号
数列和收敛数列
定义
数列：记为 $\lbrace a_n\rbrace$，表示 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 的无限数列（一般）。
收敛：设 $\lbrace a_n\rbrace$ 为一数列，$a \in \mathbb{R}$，若 $\forall \varepsilon > 0,\exists n_0 \in \mathbb{N}$ 使得 $\forall n > n_0,|a_n-a| < \varepsilon$，则称 $\lbrace a_n\rbrace$ 收敛于 $a$，记为 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a$ 或 $a_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$。
含义：$\varepsilon > 0$ 任意小是本质，只要 $n$ 充分大。
不收敛（发散）：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n \not = a,\forall a \in \mathbb{R}$。
例题
例 $1$：验证：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^n = 0,|a| < 1$。
证：不妨令 $0 < a < 1$，考察 $|a^n - 0| = a^n$。
设 $\lambda = \frac{1}{a} - 1 > 0$，则 $\frac{1}{a} = 1 + \lambda$。
$$
|a^n - 0| = a^n = \frac{1}{(1 + \lambda)^n} < \frac{1}{n \lambda}
$$取 $n_0 = \left[\dfrac{1}{\varepsilon \lambda}\right]$，即可证明。 $\square$
例 $2$：求证 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
证：注意 $1 < \sqrt[n]{n}(n \ge 2)$，记 $a_n = \sqrt[n]{n} - 1 > 0, n=2, 3, \cdots$。
则：
$$
n = (1 + a_n)^n = 1 + na_n + \frac{n(n-1)}{2}a_n^2 + \cdots + a_n^n > \frac{n(n-1)}{2} a_n^2 \\
0 < a_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}} < \varepsilon, n > \frac{2}{\varepsilon^2}+1
$$
对于 $\forall \varepsilon > 0$，取 $n_0 = \left[\dfrac{2}{\varepsilon^2}\right] + 1$。
当 $n > n_0$ 时，$n \ge n_0+1 > \dfrac{2}{\varepsilon^2} + 1$。
从而 $\left|\sqrt[n]{n}-1\right| = a_n < \sqrt{\dfrac{2}{n-1}} < \varepsilon$。$\square$
收敛数列的性质
唯一性
证明：反证法，设两个极限为 $a$ 和 $b$，取 $\varepsilon \le \frac{|a-b|}{2},n_0 = \max\lbrace n_1,n_2\rbrace$ 即可证明 $a \not = b$ 不成立。
有界性
设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a$，则 $\lbrace a_n\rbrace$ 有界：$\exists A > 0$ 使得 $\forall n \in \mathbb{N}, |a_n| \le A$。
证明：任取 $\varepsilon$，利用定义得到 $\varepsilon + |a|$ 以及 $\max_{i=1}^{n_0}a_i$ 取 $\max$ 即可。$\square$
保序性
设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a$，则：
- 若 $a_n \ge 0$（$n$ 充分大后），则 $a \ge 0$。
- 若 $a > 0$，则 $n$ 充分大后 $a_n > 0$。
推论：设 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a，\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n=b$，则：
- 若 $a_n \le b_n$（$n$ 充分大后），则 $a \le b$。
- 若 $a < b$， 则 $n$ 充分大后 $a_n < b_n$。
四则运算
加减乘除及整体证明略。
乘法思路：$|a_nb_n - ab|=|a_n(b_n-b)+(a_n-a)b|$。
除法思路：$\dfrac{a_n}{b_n}=a_n \cdot \dfrac{1}{b_n}$，后利用保序性使得 $n$ 充分大，$b_n > \dfrac{b}{2}$（假设 $b>0$）。
夹逼定理
设 $a_n \le b_n \le c_n$（$n$ 充分大后，$n>n_0$），且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} c_n = a$，则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} b_n = a$
证明取 $n > \max\lbrace n_0,n_1,n_2\rbrace$ 即可证明 $a - \varepsilon < a_n \le b_n \le c_n \le a + \varepsilon$
应用：设 $a>0$，证明 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^{\frac{1}{n}} = 1$。
思路：$a \ge 1,n > a$ 时，$1 \le a^{\frac{1}{n}} \le n^{\frac{1}{n}}$ 运用夹逼定理。
$a < 1$ 时运用四则运算即可
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