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线性代数笔记(1)——向量点积

线性代数笔记(1)——向量点积

(推广的)向量空间的八条性质

  1. x+y=y+x
  2. (x+y)+z=x+(y+z)
  3. x+0=x
  4. x+(x)=0
  5. x1=x
  6. (c1c2)x=c1(c2x)
  7. (c1+c2)x=c1x+c2x
  8. c(x+y)=cx+cy

向量的点积、长度、夹角

向量的点积

x=(x1,x2,,xn),y=(y1,y2,,yn),xy=x1y1+x2y2++xnyn

向量的长度

x=xx

x=0x=0

单位向量

v=1,则称 v单位向量

单位化:任给一非零向量vvv 是沿 v 方向的单位向量

向量点积性质

  1. vw=wv(对称性)
  2. u(v+w)=uv+uw
  3. kR,(ku)v=u(kv)
  4. 2、3 可合写为 c,dR,u(cv+dw)=cuv+duw(线性)
  5. vv=v20vv=0v=0(正定性)

向量的夹角

非零向量 v,w 的夹角 θcosθ=vwvw(0θπ)

vw=0,则称向量 vw 垂直正交,记作 vw 或者 wv

规定:零向量和任意向量垂直

两个不等式

Cauchy-Schwarz 不等式|vw|vw,等号取到当且仅当一个向量是另一个的倍数(共线)

三角不等式v+wv+w,等号取到当且仅当一个向量是另一个的非负倍数(同向)

 

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