
线性代数笔记(1)——向量点积
(推广的)向量空间的八条性质
- x+y=y+x
- (x+y)+z=x+(y+z)
- x+0=x
- x+(−x)=0
- x⋅1=x
- (c1c2)x=c1(c2x)
- (c1+c2)x=c1x+c2x
- c(x+y)=cx+cy
向量的点积、长度、夹角
向量的点积
x=(x1,x2,⋯,xn),y=(y1,y2,⋯,yn),x⋅y=x1y1+x2y2+⋯+xnyn
向量的长度
‖x‖=√x⋅x
x=0⇔‖x‖=0
单位向量
若 ‖v‖=1,则称 v 为单位向量
单位化:任给一非零向量v,v‖v‖ 是沿 v 方向的单位向量
向量点积性质
- v⋅w=w⋅v(对称性)
- u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w
- k∈R,(ku)⋅v=u⋅(kv)
- 2、3 可合写为 c,d∈R,u⋅(cv+dw)=cu⋅v+du⋅w(线性)
- v⋅v=‖v‖2≥0 且 v⋅v=0⇔v=0(正定性)
向量的夹角
非零向量 v,w 的夹角 θ:cosθ=v⋅w‖v‖⋅‖w‖(0≤θ≤π)
若 v⋅w=0,则称向量 v 和 w 垂直或正交,记作 v⊥w 或者 w⊥v
规定:零向量和任意向量垂直
两个不等式
Cauchy-Schwarz 不等式:|v⋅w|≤‖v‖‖w‖,等号取到当且仅当一个向量是另一个的倍数(共线)
三角不等式:‖v+w‖≤‖v‖+‖w‖,等号取到当且仅当一个向量是另一个的非负倍数(同向)
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