微积分笔记（8）——导数计算与高阶导数

微积分笔记（8）——导数计算与高阶导数

导数

定义

$$f(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta x}$$

Leibniz 记号

$$y = f(x),\Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)$$

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x},f^{\prime}(x_0) = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\Big|_{x = x_0}$$

定理

若 $f$ 在 $x_0$ 点可导，则 $f$ 在 $x_0$ 点连续。（反之不成立）

证明：利用 $f(x) = f(x_0) + \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}(x – x_0)$ 求极限即可。

导数计算

基本初等函数的导数

1. $f_1(x) \equiv C$：$f^{\prime}_1(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{C – C}{\Delta x} = 0$

2. $f_2(x) = x^n(n = 1,2,\cdots)$：$f^{\prime}_2(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{n x^{n-1} \Delta x +o(\Delta x)}{\Delta x} = n x^{n-1}$

   注：当 $a \in \mathbb{R}$，$(x^a)^{\prime} = a x^{a-1}$，后面证，$x > 0$

3. $f_3(x) = \sin x$：$f^{\prime}_3(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin (x + \Delta x) – \sin x}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos (x + \frac{\Delta x}{2}) \sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} = \cos x$

   同理可得 $(\cos x)^{\prime} = -\sin x$

4. $f_4(x) = \ln x,x > 0$：$f^{\prime}_4(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{\Delta x} \ln (1 + \dfrac{\Delta x}{x}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \ln [(1 + \dfrac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x} \cdot \frac{1}{x}}] = \dfrac{1}{x}$

四则运算的导数

1. $(f \pm g)^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)$
2. $(fg)^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x)$
3. $(\frac{f}{g})^{\prime}(x) = \dfrac{f^{\prime}(x)g(x) – f(x)g^{\prime}(x)}{g^2(x)},g(x) \not = 0$

证明略。

推论：$(\tan x)^{\prime} = \dfrac{1}{\cos^2 x},(\cot x)^{\prime} = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$

复合运算的导数（链式法则）

设 $x = \varphi(t)$ 在 $t$ 点可导，$y = f(x)$ 在 $x = \varphi(t)$ 点可导，则 $f \circ \varphi$ 在 $t$ 点可导，且 $(f \circ \varphi)^{\prime}(t) = (f^{\prime} \circ \varphi)(t) \varphi^{\prime}(t) = f^{\prime}(\varphi (t))\varphi^{\prime}(t)$。

Leibniz 记号：记 $y = f(x),x = \varphi(t)$，则 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$，或者 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f^{\prime}(x) \varphi^{\prime}(t)$。

证明：考虑若 $\Delta t \to 0,\Delta x \not = 0$ 时，可利用 $\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ 取极限。

严格化：取 $\Delta x \not = 0$，则 $\Delta y = f(x + \Delta x) – f(x)$。

由 $f^{\prime}(x)$ 存在，可知 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} – f^{\prime}(x) = \alpha (\Delta x) \to 0(\Delta x \to 0)$。

定义 $\alpha (0) = 0$，则 $\Delta y = [f^{\prime}(x) + \alpha (\Delta x)] \cdot \Delta x$，该式对 $\Delta x = 0$ 也成立。

取 $\Delta t \not = 0$，$\Delta x = \varphi(t + \Delta t) – \varphi(t),\delta y = f(x + \Delta x) – f(x)$，则 $\dfrac{\Delta y}{\Delta t} = [f^{\prime}(x) + \alpha (\Delta x)] \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$。

令 $\Delta t \to 0$，则 $\Delta x = \varphi(t + \Delta t) – \varphi(t) \to 0$，从而 $\alpha (\Delta x) \to 0,\dfrac{\Delta x}{\Delta t} \to \varphi^{\prime}(t)$。

$\therefore \dfrac{\Delta y}{\Delta t} \to f^{\prime}(x) \varphi^{\prime}(t)$。

由此法则可知 $(\log_a|x|)^{\prime} = \dfrac{1}{x \ln a}$。

反函数的求导

设 $I$ 为一区间，$f : I \to R$ 严格单调且连续，$x_0 \in I$，$f$ 在 $x_0$ 可导且 $f^{\prime}(x_0) \not = 0$，则 $f^{-1}$ 在 $y_0 = f(x_0)$ 点可导，且 $(f^{-1})^{\prime}(y_0) = \dfrac{1}{f^{\prime}(x_0)}$。

证明略。

Leibniz 记号：$y = f(x),x = f^{-1}(y)$，$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \dfrac{1}{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$。

或者说：

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = 1$$

由此可知 $(e^x)^{\prime} = e^x$，$(a^x)^{\prime} = (e^{x \ln a})^{\prime} = a^x\ln a$，$(\arcsin x)^{\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$，$(\arccos x)^{\prime} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$， $(\arctan x)^{\prime} = \dfrac{1}{1 + x^2}$

补充证明：

$y = x^a = e^{a \ln x} = e^u,u = a \ln x$

可得 $(x^a)^{\prime} = x^a \times \dfrac{a}{x} = a x^{a-1}$

同理可知 $(x^x)^{\prime} = x^x (\ln x + 1)$

推广：

已知 $u(x) > 0$ 且 $u(x),v(x)$ 均可导。

$$\left(u(x)^{v(x)}\right)^{\prime} = u(x)^{v(x)}\left(v^{\prime}(x) \ln u(x) + \dfrac{v(x)u^{\prime}(x)}{u(x)}\right)$$

对数求导法

适用于幂函数，指数函数，乘方，开方。

原理：

$$y = f(x) \not = 0,\ln |y| = \ln |f(x)|$$

两端关于 $x$ 求导，得：

$$\dfrac{1}{y}y^{\prime} = (\ln|f(x)|)^{\prime}$$

$$y^{\prime} = f(x)(\ln|f(x)|)^{\prime}$$

高阶导数

导函数

令 $I$ 为一区间，$f$ 在 $I$ 上每一点都可导，则得到 $f^{\prime} : I \to \mathbb{R}$ 称为 $f$ 的导函数。

高阶导数

令 $f^{\prime} : I \to \mathbb{R}$，同上，$x_0 \in I$，定义 $f^{\prime\prime}(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f^{\prime}(x) – f^{\prime}(x_0)}{x – x_0}$（若极限存在），称为 $f$ 在 $x_0$ 点的 $2$ 阶导数，也即 $f^{\prime\prime} = (f^{\prime})^{\prime}$，同理定义 $f^{\prime\prime\prime} = (f^{\prime\prime})^{\prime},f^{(n)} = (f^{(n-1)})^{\prime}$。

Leibniz 记号：$y = f(x)$，$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ 表示求导运算。

$$\dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\dfrac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d} x^{n-1}}\right)$$

结论：$(\sin x)^{(n)} = \sin (x+\frac{n \pi}{2}),(\cos x)^{(n)} = \cos (x+\frac{n \pi}{2}),(\ln |x|)^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}$

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