微积分笔记（10）——微分中值定理（续）与函数性质研究

微积分笔记（10）——微分中值定理（续）与函数性质研究

微分中值定理（续）

Cauchy 中值定理

设 $f,g \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导，且 $g^{\prime}(x) \not = 0$，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使得：

$$\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} = \dfrac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}$$
证明：构造函数：
$$F(x) = f(x) – \dfrac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}[g(x) – g(a)]$$
用 Rolle 定理即可证明。

函数的性质研究

单调性判别

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导，则：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上单调增 $\Leftrightarrow f^{\prime} \ge 0$ 在 $(a,b)$ 内。
2. $f$ 在 $[a,b]$ 上单调减 $\Leftrightarrow f^{\prime} \le 0$ 在 $(a,b)$ 内。

通过极限保号性和 Lagrange 中值定理即可证明。

严格单调判别

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导，则：

1. 若 $f^{\prime} > 0$ 在 $(a,b)$ 内，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格增。
2. 若 $f^{\prime} < 0$ 在 $(a,b)$ 内，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格减。

注：令 $f(x) = x^3 \in C(-\infty,+\infty)$ 且在 $(-\infty,+\infty)$ 可导，$f^{\prime}(x) = 3x^2 \ge 0,f^{\prime}(0) = 0$，但 $f(x) = x^3$ 严格单调。

严格单调判别法——改进

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导，则：

1. 若 $f^{\prime} > 0$ 只在 $(a,b)$ 内有限个点不成立，则 $f$ 严格增。
2. 若 $f^{\prime} < 0$ 只在 $(a,b)$ 内有限个点不成立，则 $f$ 严格减。

严格单调判别准则

设 $f \in C[a,b]$ 且在 $(a,b)$ 内可导，则：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增 $\Leftrightarrow f^{\prime} \ge 0$ 在 $(a,b)$ 内成立，且在 $(a,b)$ 的任何开子区间内，$f^{\prime} \not \equiv 0$。
2. $f$ 在 $[a,b]$ 上严格单调减 $\Leftrightarrow f^{\prime} \le 0$ 在 $(a,b)$ 内成立，且在 $(a,b)$ 的任何开子区间内，$f^{\prime} \not \equiv 0$。

注意，在 $C[a,b)$ 时，也是 $[a,b)$ 上单调，有时需要补齐定义域。

极值问题（对于给定函数求极值（最值））

必要条件（Fermat 引理）：设 $f$ 在 $x_0$ 点达到极值，则 $f^{\prime}(x_0) = 0$ 或者 $f^{\prime}(x_0)$ 不存在。

临界点（Critical point）：$f^{\prime} = 0$ 或者 $f^{\prime}$ 不存在的点。

充分条件 1：设 $f$ 在 $x_0$ 点连续：

1. 若在 $x_0$ 左侧某邻域内 $f^{\prime} \ge 0$，在 $x_0$ 右侧某邻域内 $f^{\prime} \le 0$，则 $x_0$ 为 $f$ 的极大值点。
2. 若在 $x_0$ 左侧某邻域内 $f^{\prime} \le 0$，在 $x_0$ 右侧某邻域内 $f^{\prime} \ge 0$，则 $x_0$ 为 $f$ 的极小值点。

$\exists \delta > 0$ 使得 $x_0 – \delta < x < x_0$ 时 $f^{\prime}(x) \ge 0$，$x_0 < x < x_0 + \delta$ 时 $f^{\prime}(x) \le 0$，则 $f(x_0) \ge f(x)$，$\forall 0 < |x - x_0| < \delta$。

充分条件 2：设 $f$ 在 $x_0$ 点 $2$ 阶可导且 $f^{\prime}(x_0) = 0$：

1. 若 $f^{\prime\prime}(x_0) < 0$，则 $x_0$ 为 $f$ 的极大值点（严格）。
2. 若 $f^{\prime\prime}(x_0) > 0$，则 $x_0$ 为 $f$ 的极小值点（严格）。

注：$f^{\prime\prime}(x_0) = 0$——这时方法失效。

凸性问题

设$f : I \to \mathbb{R}$，$I$ 为区间，若 $\forall x_1,x_2 \in I,\lambda \in (0,1)$，有 $f(\lambda x_1 + (1 – \lambda) x_2) \le \lambda f(x_1) + (1 – \lambda) f(x_2)$，则称 $f$ 是 $I$ 中的凸函数（下凸函数）。

（加上负号就是上凸函数，去掉等号就是严格凸函数）

等价定义 1：设 $f : I \to \mathbb{R}$，$\forall x_1,\cdots,x_n \in I,\forall \lambda_1,\cdots,\lambda_n \in (0,1),\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i = 1$ 成立，且 $f(\lambda_1x_1 + \lambda_2x_2 + \cdots + \lambda_nx_n)$。（归纳法可证明等价）

等价定义 2：设 $f : I \to \mathbb{R}$，$\forall x_1,x_2,x \in I,x_1 < x < x$ 成立，有：

$$\dfrac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \le \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le \dfrac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}$$ 凸性判别条件 1：设 $f : I \to \mathbb{R}$ 可导，则 $f$ 在 $I$ 中是凸函数 $\Leftrightarrow f^{\prime}$ 在 $I$ 中单调增。

凸性判别条件 2：设 $f : I \to \mathbb{R}$ $2$ 阶可导，则 $f$ 在 $I$ 中是凸函数 $\Leftrightarrow f^{\prime\prime} \ge 0$ 在 $I$ 内成立。

推论：

$$f\left(\dfrac{x_1 + \cdots +x_n}{n}\right) \le \dfrac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n} \\ \Rightarrow \left(\dfrac{x_1 + \cdots +x_n}{n}\right)^p \le \dfrac{x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p}{n} \\ \dfrac{x_1 + \cdots +x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}$$
Jesen 不等式：
$$f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i) \cdot \left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 1\right)$$

 微积分 笔记