wzf2000 微积分笔记（11）——L’Hospital 法则和函数作图
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L'Hospital 法则
问题
已知 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A,\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$，则：
- 若 $B \not = 0(B \not = \infty)$，则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$。
- 若 $B = 0,A \not = 0$，则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$（不存在）。
- 若 $B = 0,A = 0$，则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 未定，称为 $\frac{0}{0}$ 型。
- 若 $B = \infty,A \not = \infty$，则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$。
- 若 $B = \infty,A = \infty$，则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 未定，称为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。
L'Hospital 法则
设 $f,g$ 在 $(a,b)$ 内可导，且 $g^{\prime} \not = 0$，满足：
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$
- $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = L$（包括 $L = \infty$）
则 $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$。（$\frac{0}{0}$ 型）
注 1：极限过程 $x \to a^+$ 也可换为其他极限过程，比如 $x \to b^-,x \to +\infty,x \to \infty$，只需要可导区间对应变化即可。
注 2：在法则中，如果 2 不成立，不能导出 $\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)}$ 不存在。
如果 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty$，则为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，上述过程也正确。
证明：这里证明 $\frac{0}{0}$ 型。
不妨令 $f(a) = g(a) = 0$，则 $f,g \in C[a,b)$。
$\forall x \in (a,b)$，则 $f,g \in C[a,x]$ 且在 $(a,x)$ 内可导，$g^{\prime} \not = 0$。
有 Cauchy 中值定理，$\exists \xi \in (a,x)$ 使得：
$$
\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}
$$
令 $x \to a^+$，则 $\xi \to a^+$，从而 $\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} \to L$。
$\therefore \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$。$\square$
$\frac{\infty}{\infty}$ 型法则及证明
设函数 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 点的某一去心邻域 $U_0(a,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 上可导，且满足：
- $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty$
- $g^{\prime}(x) \not = 0,\forall x \in U_0(a,\delta_0)$
- $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = l$
则有
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = l
$$
证明：只对 $l \in \mathbb{R}$ 和 $x \to a^-$ 的情形证明。
$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta_1 > 0,0 < \delta_1 < \delta_0$，当 $a - \delta_1 < \zeta < a$ 时，有：$$
\Bigg | \dfrac{f^{\prime}(\zeta)}{g^{\prime}(\zeta)} - l \Bigg | < \dfrac{\varepsilon}{3}
$$对已经取定的 $\delta_1$ 及 $x \in (a - \delta_1,a)$，在 $[a - \delta_1,x]$ 上应用 Cauchy 中值定理，存在 $\xi \in [a - \delta_1,x]$，使：
$$
\dfrac{f(x) - f(x_1)}{g(x) - g(x_1)} - l = \dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l
$$
这里的 $x_1 = a - \delta_1,\xi \in (a - \delta_1,a)$。上式可化为：
$$
f(x) - f(x_1) - l[g(x) - g(x_1)] = [\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l][g(x) - g(x_1)]
$$
整理得：
$$
f(x) - lg(x) = [f(x_1) - lg(x_1)] + [\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l][g(x) - g(x_1)]
$$
在上式两边同除以 $g(x)$，可得：
$$
\dfrac{f(x)}{g(x)} - l = [\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l][1 - \dfrac{g(x_1)}{g(x)}] + \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)}
$$
又由于 $\lim\limits_{x \to a^-} g(x) = \infty$，故对固定的 $x_1$，有：
$$
\lim_{x \to a^-} \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)} = 0,\lim_{x \to a^-} \dfrac{g(x_1)}{g(x)} = 0
$$
所以 $\exists \delta_2(0 < \delta_2 < \delta_1)$，使得当 $a - \delta_2 < x < a$ 时，有：
$$
\Bigg | \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)} \Bigg | < \dfrac{\varepsilon}{2},\Bigg | \dfrac{g(x_1)}{g(x)} \Bigg | < \dfrac{1}{2}
$$
令 $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$，则当 $a - \delta < x < a$ 时，有：
$$
\Bigg | \dfrac{f(x)}{g(x)} - l \Bigg| \le \Bigg | \dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} - l \Bigg | \Bigg | 1 - \dfrac{g(x_1)}{g(x)} \Bigg | + \Bigg | \dfrac{f(x_1) - lg(x_1)}{g(x)} \Bigg | \\
< \frac{3}{2} \cdot \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
$$
因此 $\lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)}{g(x)} = l$。$\square$注：若 $f,g$ 在 $(b,+\infty)$ 可导，且 $g^{\prime} \not = 0$，$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$，则：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
$$
（只要极限存在）
证明：取 $t = \frac{1}{x}$，则 $x \to +\infty$ 相当于 $t \to 0^+$。
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})} \\
(f(\frac{1}{t}))^{\prime} = f^{\prime}(\frac{1}{t})(- \frac{1}{t^2}) \\
(g(\frac{1}{t}))^{\prime} = g^{\prime}(\frac{1}{t})(- \frac{1}{t^2}) \\
\therefore \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(\frac{1}{t})}{g(\frac{1}{t})} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f^{\prime}(\frac{1}{t})}{g^{\prime}(\frac{1}{t})} = \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = L \ \square
$$
应用
下面列举了一些应用（应用了 $0 \cdot \infty$ 和 $\infty - \infty$ 和 $0^0$ 和 $1^{\infty}$ 的变形）：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2} \\
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \ (a > 0) \\
\lim_{x \to 0} x^a \ln |x| = 0 \ (a > 0) \\
\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x-1}) = \frac{1}{2} \\
\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (1 - \cos x)}{\ln x}} = e^2 \\
\lim_{x \to -0} (\cos \sqrt{x^3})^{\frac{1}{x - \tan x}} = e^{\large \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln (\cos \sqrt{x^3})}{x - \tan x}} = e^{\frac{3}{2}}
$$
函数作图
曲线作图步骤（$y = f(x)$ 的图像）
- 函数的定义域
- 检查函数的对称性：奇函数、偶函数、周期函数
- 检查曲线的渐近线：垂直，水平，斜渐近线
- 函数的增减区间——研究 $f^{\prime}$ 的符号
- 函数的上下凸区间——研究 $f^{\prime\prime}$ 的符号
- 计算函数的关键点的值
- 根据上述信息作图（整理成表格后画图）
渐近线
以下极限中的正负都表示或。
垂直：若 $\lim\limits_{x \to a^{\pm}} f(x) = \infty$，则 $x = a$ 是 $y = f(x)$ 的垂直渐近线。
水平：若 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = b$，则 $y = b$ 是 $y = f(x)$ 的水平渐近线。
斜：若 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$，则 $y = ax + b$ 是 $y = f(x)$ 的斜渐近线。（$a \not = 0$）
反之，假设 $y = ax + b$ 为斜渐近线，$a,b$ 待定，则 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x) - ax - b}{x} = 0$，即 $\lim\limits_{x \to \pm \infty} (\dfrac{f(x)}{x} - a -\dfrac{b}{x}) = 0$，$\therefore a = \lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x},b = \lim\limits_{x \to \pm \infty}[f(x) - ax]$。
拐点
上下凸发生改变的点（$x = x_0,f^{\prime\prime}(x_0) = 0$）。
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