
微积分笔记(11)——L’Hospital 法则和函数作图
L’Hospital 法则
问题
已知 limx→af(x)=A,limx→ag(x)=B,则:
- 若 B≠0(B≠∞),则 limx→af(x)g(x)=AB。
- 若 B=0,A≠0,则 limx→af(x)g(x)=∞(不存在)。
- 若 B=0,A=0,则 limx→af(x)g(x) 未定,称为 00 型。
- 若 B=∞,A≠∞,则 limx→af(x)g(x)=0。
- 若 B=∞,A=∞,则 limx→af(x)g(x) 未定,称为 ∞∞ 型。
L’Hospital 法则
设 f,g 在 (a,b) 内可导,且 g′≠0,满足:
- limx→af(x)=limx→ag(x)=0
- limx→a+f′(x)g′(x)=L(包括 L=∞)
则 limx→a+f(x)g(x)=L。(00 型)
注 1:极限过程 x→a+ 也可换为其他极限过程,比如 x→b−,x→+∞,x→∞,只需要可导区间对应变化即可。
注 2:在法则中,如果 2 不成立,不能导出 limx→a+f(x)g(x) 不存在。
如果 limx→af(x)=limx→ag(x)=∞,则为 ∞∞ 型,上述过程也正确。
证明:这里证明 00 型。
不妨令 f(a)=g(a)=0,则 f,g∈C[a,b)。
∀x∈(a,b),则 f,g∈C[a,x] 且在 (a,x) 内可导,g′≠0。
有 Cauchy 中值定理,∃ξ∈(a,x) 使得:
f(x)g(x)=f(x)–f(a)g(x)–g(a)=f′(ξ)g′(ξ)
令 x→a+,则 ξ→a+,从而 f′(ξ)g′(ξ)→L。
∴limx→a+f(x)g(x)=L。◻
∞∞ 型法则及证明
设函数 f(x),g(x) 在 a 点的某一去心邻域 U0(a,δ0)(δ0>0) 上可导,且满足:
- limx→ag(x)=∞
- g′(x)≠0,∀x∈U0(a,δ0)
- limx→0f′(x)g′(x)=l
则有
limx→af(x)g(x)=l
证明:只对 l∈R 和 x→a− 的情形证明。
∀ε>0,∃δ1>0,0<δ1<δ0,当 a−δ1<ζ<a 时,有:|f′(ζ)g′(ζ)−l|<ε3对已经取定的 δ1 及 x∈(a−δ1,a),在 [a−δ1,x] 上应用 Cauchy 中值定理,存在 ξ∈[a−δ1,x],使:
f(x)−f(x1)g(x)−g(x1)−l=f′(ξ)g′(ξ)−l
这里的 x1=a−δ1,ξ∈(a−δ1,a)。上式可化为:
f(x)−f(x1)−l[g(x)−g(x1)]=[f′(ξ)g′(ξ)−l][g(x)−g(x1)]
整理得:
f(x)−lg(x)=[f(x1)−lg(x1)]+[f′(ξ)g′(ξ)−l][g(x)−g(x1)]
在上式两边同除以 g(x),可得:
f(x)g(x)−l=[f′(ξ)g′(ξ)−l][1−g(x1)g(x)]+f(x1)−lg(x1)g(x)
又由于 limx→a−g(x)=∞,故对固定的 x1,有:
limx→a−f(x1)−lg(x1)g(x)=0,limx→a−g(x1)g(x)=0
所以 ∃δ2(0<δ2<δ1),使得当 a−δ2<x<a 时,有:
|f(x1)−lg(x1)g(x)|<ε2,|g(x1)g(x)|<12
令 δ=min{δ1,δ2},则当 a−δ<x<a 时,有:
|f(x)g(x)−l|≤|f′(ξ)g′(ξ)−l||1−g(x1)g(x)|+|f(x1)−lg(x1)g(x)|<32⋅ε3+ε2=ε
因此 limx→a−f(x)g(x)=l。◻注:若 f,g 在 (b,+∞) 可导,且 g′≠0,limx→+∞f(x)=limx→+∞g(x)=0,则:
limx→∞f(x)g(x)=limx→+∞f′(x)g′(x)
(只要极限存在)
证明:取 t=1x,则 x→+∞ 相当于 t→0+。
limx→+∞f(x)g(x)=limt→0+f(1t)g(1t)(f(1t))′=f′(1t)(−1t2)(g(1t))′=g′(1t)(−1t2)∴limt→0+f(1t)g(1t)=limt→0+f′(1t)g′(1t)=limx→+∞f′(x)g′(x)=L ◻
应用
下面列举了一些应用(应用了 0⋅∞ 和 ∞–∞ 和 00 和 1∞ 的变形):
limx→0tanx–sinxx3=12limx→+∞lnxxa=0 (a>0)limx→0xaln|x|=0 (a>0)limx→0(1x–1ex−1)=12limx→0(1–cosx)1lnx=elimx→0ln(1–cosx)lnx=e2limx→−0(cos√x3)1x–tanx=elimx→0ln(cos√x3)x–tanx=e32
函数作图
曲线作图步骤(y=f(x) 的图像)
- 函数的定义域
- 检查函数的对称性:奇函数、偶函数、周期函数
- 检查曲线的渐近线:垂直,水平,斜渐近线
- 函数的增减区间——研究 f′ 的符号
- 函数的上下凸区间——研究 f′′ 的符号
- 计算函数的关键点的值
- 根据上述信息作图(整理成表格后画图)
渐近线
以下极限中的正负都表示或。
垂直:若 limx→a±f(x)=∞,则 x=a 是 y=f(x) 的垂直渐近线。
水平:若 limx→±∞f(x)=b,则 y=b 是 y=f(x) 的水平渐近线。
斜:若 limx→±∞[f(x)–(ax+b)]=0,则 y=ax+b 是 y=f(x) 的斜渐近线。(a≠0)
反之,假设 y=ax+b 为斜渐近线,a,b 待定,则 limx→±∞f(x)–ax–bx=0,即 limx→±∞(f(x)x–a−bx)=0,∴a=limx→±∞f(x)x,b=limx→±∞[f(x)–ax]。
拐点
上下凸发生改变的点(x=x0,f′′(x0)=0)。
No Comments