Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

微积分笔记(11)——L’Hospital 法则和函数作图

微积分笔记(11)——L’Hospital 法则和函数作图

L’Hospital 法则

问题

已知 limxaf(x)=A,limxag(x)=B,则:

  1. B0(B),则 limxaf(x)g(x)=AB
  2. B=0,A0,则 limxaf(x)g(x)=(不存在)。
  3. B=0,A=0,则 limxaf(x)g(x) 未定,称为 00 型。
  4. B=,A,则 limxaf(x)g(x)=0
  5. B=,A=,则 limxaf(x)g(x) 未定,称为 型。

L’Hospital 法则

f,g(a,b) 内可导,且 g0,满足:

  1. limxaf(x)=limxag(x)=0
  2. limxa+f(x)g(x)=L(包括 L=

limxa+f(x)g(x)=L。(00 型)

注 1:极限过程 xa+ 也可换为其他极限过程,比如 xb,x+,x,只需要可导区间对应变化即可。

注 2:在法则中,如果 2 不成立,不能导出 limxa+f(x)g(x) 不存在。

如果 limxaf(x)=limxag(x)=,则为 型,上述过程也正确。

证明:这里证明 00 型。

不妨令 f(a)=g(a)=0,则 f,gC[a,b)

x(a,b),则 f,gC[a,x] 且在 (a,x) 内可导,g0

有 Cauchy 中值定理,ξ(a,x) 使得:
f(x)g(x)=f(x)f(a)g(x)g(a)=f(ξ)g(ξ)
xa+,则 ξa+,从而 f(ξ)g(ξ)L

limxa+f(x)g(x)=L

型法则及证明

设函数 f(x),g(x)a 点的某一去心邻域 U0(a,δ0)(δ0>0) 上可导,且满足:

  1. limxag(x)=
  2. g(x)0,xU0(a,δ0)
  3. limx0f(x)g(x)=l

则有
limxaf(x)g(x)=l
证明:只对 lRxa 的情形证明。

ε>0δ1>0,0<δ1<δ0,当 aδ1<ζ<a 时,有:|f(ζ)g(ζ)l|<ε3对已经取定的 δ1x(aδ1,a),在 [aδ1,x] 上应用 Cauchy 中值定理,存在 ξ[aδ1,x],使: f(x)f(x1)g(x)g(x1)l=f(ξ)g(ξ)l 这里的 x1=aδ1,ξ(aδ1,a)。上式可化为: f(x)f(x1)l[g(x)g(x1)]=[f(ξ)g(ξ)l][g(x)g(x1)] 整理得: f(x)lg(x)=[f(x1)lg(x1)]+[f(ξ)g(ξ)l][g(x)g(x1)] 在上式两边同除以 g(x),可得: f(x)g(x)l=[f(ξ)g(ξ)l][1g(x1)g(x)]+f(x1)lg(x1)g(x) 又由于 limxag(x)=,故对固定的 x1,有: limxaf(x1)lg(x1)g(x)=0,limxag(x1)g(x)=0 所以 δ2(0<δ2<δ1),使得当 aδ2<x<a 时,有: |f(x1)lg(x1)g(x)|<ε2,|g(x1)g(x)|<12δ=min{δ1,δ2},则当 aδ<x<a 时,有: |f(x)g(x)l||f(ξ)g(ξ)l||1g(x1)g(x)|+|f(x1)lg(x1)g(x)|<32ε3+ε2=ε 因此 limxaf(x)g(x)=l:若 f,g(b,+) 可导,且 g0limx+f(x)=limx+g(x)=0,则:
limxf(x)g(x)=limx+f(x)g(x)
(只要极限存在)

证明:取 t=1x,则 x+ 相当于 t0+
limx+f(x)g(x)=limt0+f(1t)g(1t)(f(1t))=f(1t)(1t2)(g(1t))=g(1t)(1t2)limt0+f(1t)g(1t)=limt0+f(1t)g(1t)=limx+f(x)g(x)=L 

应用

下面列举了一些应用(应用了 0001 的变形):
limx0tanxsinxx3=12limx+lnxxa=0 (a>0)limx0xaln|x|=0 (a>0)limx0(1x1ex1)=12limx0(1cosx)1lnx=elimx0ln(1cosx)lnx=e2limx0(cosx3)1xtanx=elimx0ln(cosx3)xtanx=e32

函数作图

曲线作图步骤(y=f(x) 的图像)

  1. 函数的定义域
  2. 检查函数的对称性:奇函数、偶函数、周期函数
  3. 检查曲线的渐近线:垂直,水平,斜渐近线
  4. 函数的增减区间——研究 f 的符号
  5. 函数的上下凸区间——研究 f 的符号
  6. 计算函数的关键点的值
  7. 根据上述信息作图(整理成表格后画图)

渐近线

以下极限中的正负都表示或。

垂直:若 limxa±f(x)=,则 x=ay=f(x) 的垂直渐近线。

水平:若 limx±f(x)=b,则 y=by=f(x) 的水平渐近线。

:若 limx±[f(x)(ax+b)]=0,则 y=ax+by=f(x) 的斜渐近线。(a0

反之,假设 y=ax+b 为斜渐近线,a,b 待定,则 limx±f(x)axbx=0,即 limx±(f(x)xabx)=0a=limx±f(x)x,b=limx±[f(x)ax]

拐点

上下凸发生改变的点(x=x0,f(x0)=0)。

 

点赞 0

No Comments

Add your comment