微积分笔记（17）——可有理化函数的原函数

wzf2000
2019年11月18日

微积分笔记（17）——可有理化函数的原函数

可有理化函数的原函数（续）

简单无理式的积分 1

$$
\int R(x,\sqrt[n]{ax + b}) \mathrm{d} x
$$

其中 $R(x,y)$ 为 $2$ 元有理函数。

方法：令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，$x = \dfrac{t^n - b}{a}$，$\mathrm{d} x = \dfrac{n t^{n - 1}}{a} \mathrm{d} t$。

则化为：
$$
\int R\left(\dfrac{t^n - b}{a},t\right) \dfrac{n t^{n - 1}}{a} \mathrm{d} t
$$
可以看出为有理函数积分，求得积分后代回即可。

简单无理式的积分 2

$$
\int R\left(x,\sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}\right) \mathrm{d} x \ \ \ \ (ad \not = bc)
$$

方法：令 $t = \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}$，$t^n = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b - \frac{ad}{c}}{cx + d}$，$cx + d = \dfrac{b - \frac{ad}{c}}{t^n - \frac{a}{c}}$，$\mathrm{d} x = \dfrac{ad - bc}{(ct^n - a)^2} n t^{n - 1} \mathrm{d} t$。

原式化为：
$$
\int R\left(\dfrac{\dfrac{bc - ad}{ct^n - a} - d}{c},t\right) \dfrac{ad - bc}{(ct^n - a)^2} n t^{n - 1} \mathrm{d} t
$$

简单二次无理式积分

$$
\int R\left(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d} x
$$

1. 将 $\sqrt{ax^2 + bx + c}$ 化为 $\sqrt{q^2 \pm (x + p)^2}$ 或者 $\sqrt{(x+p)^2 - q^2}$。

2. 三角换元：

   1. 对于 $\sqrt{q^2 - (x + p)^2}$，令 $x + p = q \sin t$，则 $|t| < \dfrac{\pi}{2}$，$\sqrt{q^2 - (x + p)^2} = q \cos t$，$\mathrm{d} x = q \cos t \mathrm{d} t$，原式可化为： $$ \int R(q \sin t - p,q \cos t)q \cos t \mathrm{d} t $$ 转化为了三角有理式积分。

   2. 对于 $\sqrt{q^2 + (x + p)^2}$，令 $x + p = q \tan t$，则 $\sqrt{q^2 + (x + p)^2} = q \sec t$，$\mathrm{d} x = q \sec^2 t \mathrm{d} t$，原式可化为：
      $$
      \int R(q \tan t - p,q \sec t) q \sec^2 t \mathrm{d} t
      $$
      转化为了三角有理式积分。

   3. 对于 $\sqrt{(x + p)^2 - q^2}$，令 $x + p = q \sec t$，$\sqrt{(x + p)^2 - q^2} = q \tan t,\mathrm{d} x = q \tan t \sec t \mathrm{d} t$，原式可化为：
      $$
      \int R(q \sec t - p,q \tan t) q \tan t \sec t \mathrm{d} t
      $$
      转化为了三角有理式积分。

小结

不定积分基本步骤

1. 基本公式（$10 \sim 20$ 个）
2. 化简被积函数
3. ”凑微分“——明显的积分换元
4. 被积函数 $f(x)$ 分类处理：
   1. 有理函数
   2. 三角有理式
   3. 简单无理式
5. 尝试分部积分：$f(x)$ 有 $e^x,\cos ax,\sin bx,\cdots$ 因子，或者 $xf^{\prime}(x)$ 容易积分，如$f(x) = \arctan x,\arcsin x,\cdots$。

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