微积分笔记（21）——Lebesgue 定理与无穷积分

wzf2000
2019年12月2日

微积分笔记（21）——Lebesgue 定理与无穷积分

Lebesgue 定理——Riemann 可积的刻画

分析

根据上节内容，$f \in R[a,b]$ 的一个充分必要条件是 $\lim\limits_{\| \pi \| \to 0} (\overline{S} (f,\pi) - \underline{S} (f,\pi)) = 0$。

即 $\sum_\limits{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \to 0$。

而 $\sum\limits_{i = 1}^n \Delta x_i = b - a > 0$，当 $f \in C[a,b]$ 时，$\omega_i \to 0,\forall i$。

仅当 $f$ 间断点”很多“时，$\sum_\limits{i=1}^n \omega_i \Delta x_i$ 可以不趋向于 $0$。

记号

间断点集：$\mathrm{Dis} (f) = \{x_0 \in [a,b] | f \text{ 在 } x_0 \text{ 点间断}\}$ 或记为 $\mathrm{Dis} (f;[a,b])$。

零测集（零测度集——在 $\mathbb{R}$ 中）

令 $A \subseteq \mathbb{R}$，若 $\forall \varepsilon > 0$，存在至多可数个开区间 $\{I_n\}_{n = 1,2,3,\cdots}$，使得：

1. $A \subseteq \bigcup\limits_{n = 1}^\infty I_n$（$\forall x \in A,\exists I_n$ 使得 $x \in I_n$）
2. $\sum\limits_{n = 1}^m |I_n| < \varepsilon,m = 1,2,3,\cdots(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} |I_n| < \varepsilon)$

则称 $A$ 为（$1$ 维）零测集。

注：相当于 $A$ 中点排列起来“长度为 $0$”。

零测集的性质

1. 有限数集是零测集（包括空集）。

2. 零测集的子集是零测集。

3. 有限个零测集的并集是零测集。

4. 可数集是零测集。

   证明：令 $A = \{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}$，$\forall \varepsilon > 0$，令 $I_n = (a_n - \dfrac{\varepsilon}{2^{n + 1}},a_n + \dfrac{\varepsilon}{2^{n + 1}})$。

   则 $a_n \in I_n$，且 $|I_n| = \dfrac{\varepsilon}{2^n}$。

   $$
   \therefore A \subseteq \bigcup_{n = 1}^\infty I_n \\
   \sum_{n = 1}^m |I_n| = (\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}) \varepsilon < \varepsilon \ \square $$ 推论：$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 是零测集。

Lebesgue 定理

设 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 有界，$f \in R[a,b] \Leftrightarrow \mathrm{Dis} (f)$ 是零测集，换言之，$f$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处连续。

证明太过复杂，略去。

推论：$C[a,b] \subseteq R[a,b]$。

可积函数

1. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且 $\mathrm{Dis} (f)$ 至多可数，则 $f \in R[a,b]$。
2. 设 $f \in R[a,b]$，则 $|f| \in R[a,b]$。
3. 若 $f,g \in R[a,b]$，则 $fg \in R[a,b]$。
4. 若 $f \in R[a,b]$，且 $\dfrac{1}{f}$ 有界，则 $\dfrac{1}{f} \in R[a,b]$。
5. 令 $a < c < b$，$f \in R[a,b] \Leftrightarrow f \in R[a,c] \land f \in R[c,b]$。

反常积分（广义积分）

回忆

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

要求：$[a,b]$ 是有限区间，$f$ 是有界函数。

本节希望突破这两条限制：

1. 无穷区间上的积分——无穷积分；
2. 无界函数的积分——瑕积分（奇异积分）。

无穷积分

设 $f : [a,+\infty) \to \mathbb{R}$，且 $\forall A > a,f \in R[a,A]$。

则定义：
$$
\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d} x
$$
若极限存在（收敛），则称此积分收敛；

若极限不存在（发散），则称此积分发散。

类似地，若 $f : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$，且 $\forall B < b,f \in R[B,b]$。则定义：$$ \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{B \to -\infty} \int_B^b f(x) \mathrm{d} x $$ 最后，若 $f : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{R}$，且 $\forall a < b,f \in R[a,b]$。定义： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d} x + \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x $$ （其中 $0$ 可以换成任意实数）左边收敛仅当右边两个无穷积分都收敛！

Cauchy 定义的主值积分

$$
P.V.\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^A f(x) \mathrm{d} x
$$

广义 Newton-Leibniz 公式

设 $f \in C[a,+\infty)$ 有原函数 $F(x)$，则：
$$
\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \lim_{x \to +\infty} F(x) - F(a) = F(x) \Big |_a^{+\infty}
$$
可见积分收敛仅当 $\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)$ 收敛。

同样可以得出另外两个无穷积分的公式。

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