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微积分笔记(24)——常微分方程初步

微积分笔记(24)——常微分方程初步

常微分方程

常微分方程中的概念

例子 1:人口模型(Malthus, 1798)

P(t) 表示 t 时刻的人口总数(连续函数)。

Malthus 假设人口增长率与人口总数成正比,得到:
dPdt=kP


其中 k=k1k2k1——人口出生率,k2——死亡率,k——自然增长率。

为求解此方程,乘以 ekt,得到:
ekt(dPdtkP)=0ddt(ektP)=ektdPdt+(kekt)P=ekt(dPdtkP)=0ektP=C,P(t)=Cekt


t=0,P(0)=CP(t)=P(0)ekt

结论

k1>k2,k>0,则 P(t)+(t+)

k1<k2,k<0,则 P(t)0(t+)。若 k1=k2,k=0P(t)P(0)

修正人口模型(1840s)

dPdt=k(1PK)P

其中 K>0——环境容量,令 k>0

  1. P>0 很小,dPdtkP
  2. 0<P<KdPdt>0P(t) 增长;
  3. P>K,则 dPdt<0P(t) 减少。
  4. P=KdPdt=0P(t)K

例子 2:弹簧运动(振动)

质量为 m 的物体悬挂在弹簧上,求物体运动的规律:

方法:向下建立 x 轴,令 x(t) 表示 t 时刻物体的位置,x=0 为物体平衡位置。

有 Hooke 定律:
f=kx


f 即弹簧恢复力。由 Newton 定律:
md2xdt2=fmd2xdt2+kx=0

观察d2xdt2x 差一个负号。
x1=sinkmt,x2=coskmt

为上述方程的两个解。由微分方程理论:
x=C1x1+C2x2

为方程的所有解(通解)。

其中 C1,C2 为任意常数。

基本概念/术语

微分方程:包含未知函数及其导数的方程。

常微分方程:包含一元未知函数及其导数的方程。

偏微分方程:包含多元未知函数及其导数的方程。

阶数:未知函数出现在方程中最高阶导数的阶数。

:令 I 是一个区间,y(x)I 上定义的函数,在 I 中每一点 y(x) 都满足方程,则称 y(x) 为方程在 I 中的一个解。

通解(general solution)n 阶方程包含 n 个独立的任意常数的解。

特解(special solution):不包含任意常数的解。

定解问题:包含了两部分。

  1. 微分方程
  2. 定解条件(初值条件)

这样得出的解就是特解。

一阶常微分方程的初等解法

初等解法——不定积分法。

变量分离型方程

dydx=f(x)g(y),xI

其中 f,g 都是已知函数。

方法:若 g(y)0,记 h(y)=1g(y),则:
dy=f(x)g(y)dxh(y)dy=f(x)dxh(y)dy=f(x)dx


此为隐函数解。

验证:两端关于 x 求导:
(ddxh(y)dy)dydx=h(y)dydx=ddxf(x)dx=f(x)dydx=f(x)g(y)


:若 y0 使得 g(y0)=0,则 yy0 也是一个解。

例题

dydx=p(x)y,xI

此方程的通解为:
y=Cep(x)dx


其中 p(x)dx 表示 p(x) 的一个原函数。

后面会解释不存在部分点为 0 的解。

积分曲线(解的几何表示)

“解”=形式解。

满足方程的区间 I

初等变换法(将方程转化为变量分离型)

  1. 齐次方程 dydx=f(yx)

    方法u=yx,则 y=xu,dydx=u+xdudx

    u+xdudx=f(u)——变量分离型方程。

    duf(u)u=dxx,当 f(u)u 时,可得通解。

    u0 使 f(u0)=u0,则 y=xu0 也是方程一个解。

  2. 方程 dydx=f(ax+by),ab0

    方法:令 u=ax+by,则 dudx=a+bdydx=a+bf(u)

    a+bf(u)0 时,可得通解。

    u0 使得 a+bf(u0)=0,则 ax+by=u0 也是一个解。

  3. 方程 dydx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)

    方法:若 c1=c2=0,方程变为齐次方程。

    X=xx0,Y=yy0a1X+b1Y=a1x+b1y+c1a1x0b1y0c1,a2X+b2Y=a2x+b2y+c2a2x0b2y0c2

    取定 x0,y0 使得 a1x0+b1y0+c1=a2x0+b2y0+c2=0。(|a1b1a2b2|0

    dYdX=dydx=f(a1X+b1Ya2X+b1Y)

    |a1b1a2b2|=0 时,方程可转为第 2 种。

常用变换提示

xdx+ydy=d(x2+y22)xdy+ydx=d(xy)xdyydxx2=d(yx)

 

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