wzf2000 微积分笔记（24）——常微分方程初步
Contents
常微分方程
常微分方程中的概念
例子 1：人口模型（Malthus, 1798）
令 $P(t)$ 表示 $t$ 时刻的人口总数（连续函数）。
Malthus 假设人口增长率与人口总数成正比，得到：
$$
\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} = k P
$$
其中 $k = k_1 – k_2$，$k_1$——人口出生率，$k_2$——死亡率，$k$——自然增长率。
为求解此方程，乘以 $e^{-kt}$，得到：
$$
e^{-kt} \left(\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} – k P\right) = 0 \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(e^{-kt} P\right) = e^{-kt} \dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} + \left(-k e^{-kt}\right) P = e^{-kt} \left(\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} – k P\right) = 0 \\
\therefore e^{-kt} P = C,P(t) = C e^{kt}
$$
令 $t = 0,P(0) = C$，$\therefore P(t) = P(0) e^{kt}$。
结论：
若 $k_1 > k_2,k > 0$，则 $P(t) \to + \infty(t \to +\infty)$。
若 $k_1 < k_2,k < 0$，则 $P(t) \to 0(t \to +\infty)$。若 $k_1 = k_2,k = 0$，$P(t) \equiv P(0)$。
修正人口模型（1840s）
$$
\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} = k\left(1 – \dfrac{P}{K}\right) P
$$
其中 $K > 0$——环境容量，令 $k > 0$。
- 当 $P > 0$ 很小，$\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} \thickapprox kP$；
- 当 $0 < P < K$，$\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} > 0$，$P(t)$ 增长；
- 当 $P > K$，则 $\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} < 0$，$P(t)$ 减少。
- 当 $P = K$，$\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} = 0$，$P(t) \equiv K$。
例子 2：弹簧运动（振动）
质量为 $m$ 的物体悬挂在弹簧上，求物体运动的规律：
方法：向下建立 $x$ 轴，令 $x(t)$ 表示 $t$ 时刻物体的位置，$x = 0$ 为物体平衡位置。
有 Hooke 定律：
$$
f = -kx
$$
$f$ 即弹簧恢复力。由 Newton 定律：
$$
m \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2} = f \\
\therefore m \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2} + kx = 0
$$
观察：$\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2}$ 与 $x$ 差一个负号。
$$
x_1 = \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}} t,x_2 = \cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t
$$
为上述方程的两个解。由微分方程理论：
$$
x = C_1 x_1 + C_2 x_2
$$
为方程的所有解（通解）。
其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。
基本概念/术语
微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程：包含一元未知函数及其导数的方程。
偏微分方程：包含多元未知函数及其导数的方程。
阶数：未知函数出现在方程中最高阶导数的阶数。
解：令 $I$ 是一个区间，$y(x)$ 是 $I$ 上定义的函数，在 $I$ 中每一点 $y(x)$ 都满足方程，则称 $y(x)$ 为方程在 $I$ 中的一个解。
通解（general solution）：$n$ 阶方程包含 $n$ 个独立的任意常数的解。
特解（special solution）：不包含任意常数的解。
定解问题：包含了两部分。
- 微分方程
- 定解条件（初值条件）
这样得出的解就是特解。
一阶常微分方程的初等解法
初等解法——不定积分法。
变量分离型方程
$$
\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x) g(y),x \in I
$$
其中 $f,g$ 都是已知函数。
方法：若 $g(y) \not = 0$，记 $h(y) = \dfrac{1}{g(y)}$，则：
$$
\mathrm{d} y = f(x)g(y) \mathrm{d} x \\
h(y) \mathrm{d} y = f(x) \mathrm{d} x \\
\int h(y) \mathrm{d} y = \int f(x) \mathrm{d} x \\
$$
此为隐函数解。
验证：两端关于 $x$ 求导：
$$
\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int h(y) \mathrm{d} y\right) \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = h(y) \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x) \\
\therefore \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x) g(y)
$$
注：若 $\exists y_0$ 使得 $g(y_0) = 0$，则 $y \equiv y_0$ 也是一个解。
例题
$$
\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = p(x) y,x \in I
$$
此方程的通解为：
$$
y = Ce^{\int p(x) \mathrm{d} x}
$$
其中 $\int p(x) \mathrm{d} x$ 表示 $p(x)$ 的一个原函数。
后面会解释不存在部分点为 $0$ 的解。
积分曲线（解的几何表示）
“解”=形式解。
满足方程的区间 $I$。
初等变换法（将方程转化为变量分离型）
- 齐次方程 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f\left(\dfrac{y}{x}\right)$
方法：$u = \dfrac{y}{x}$，则 $y = xu,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u + x \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$。
$\therefore u + x \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = f(u)$——变量分离型方程。
$\dfrac{\mathrm{d} u}{f(u) – u} = \dfrac{\mathrm{d} x}{x}$，当 $f(u) \not = u$ 时，可得通解。
若 $\exists u_0$ 使 $f(u_0) = u_0$，则 $y = x u_0$ 也是方程一个解。
方程 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(ax + by),ab \not = 0$
方法：令 $u = ax + by$，则 $\dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = a + b \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = a + bf(u)$。
当 $a + bf(u) \not = 0$ 时，可得通解。
若 $\exists u_0$ 使得 $a +bf(u_0) = 0$，则 $ax + by = u_0$ 也是一个解。
方程 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f\left(\dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}\right)$
方法：若 $c_1 = c_2 = 0$，方程变为齐次方程。
令 $X = x – x_0,Y = y – y_0$，$a_1 X + b_1 Y = a_1 x + b_1 y + c_1 – a_1 x_0 – b_1 y_0 – c_1,a_2 X + b_2 Y = a_2 x + b_2 y + c_2 – a_2 x_0 – b_2 y_0 – c_2$。
取定 $x_0,y_0$ 使得 $a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 = a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2 = 0$。（$\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix} \not = 0$）
则 $\dfrac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X} = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f\left(\dfrac{a_1 X + b_1 Y}{a_2 X + b_1 Y}\right)$。
当 $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix} = 0$ 时，方程可转为第 2 种。
常用变换提示
$$
x \mathrm{d} x + y \mathrm{d} y = \mathrm{d} \left(\dfrac{x^2 + y^2}{2}\right) \\
x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x = \mathrm{d} (xy) \\
\dfrac{x \mathrm{d} y – y \mathrm{d} x}{x^2} = \mathrm{d} \left(\dfrac{y}{x}\right)
$$
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