
微积分笔记(24)——常微分方程初步
常微分方程
常微分方程中的概念
例子 1:人口模型(Malthus, 1798)
令 P(t) 表示 t 时刻的人口总数(连续函数)。
Malthus 假设人口增长率与人口总数成正比,得到:
dPdt=kP
其中 k=k1–k2,k1——人口出生率,k2——死亡率,k——自然增长率。
为求解此方程,乘以 e−kt,得到:
e−kt(dPdt–kP)=0ddt(e−ktP)=e−ktdPdt+(−ke−kt)P=e−kt(dPdt–kP)=0∴e−ktP=C,P(t)=Cekt
令 t=0,P(0)=C,∴P(t)=P(0)ekt。
结论:
若 k1>k2,k>0,则 P(t)→+∞(t→+∞)。
若 k1<k2,k<0,则 P(t)→0(t→+∞)。若 k1=k2,k=0,P(t)≡P(0)。
修正人口模型(1840s)
dPdt=k(1–PK)P
其中 K>0——环境容量,令 k>0。
- 当 P>0 很小,dPdt≈kP;
- 当 0<P<K,dPdt>0,P(t) 增长;
- 当 P>K,则 dPdt<0,P(t) 减少。
- 当 P=K,dPdt=0,P(t)≡K。
例子 2:弹簧运动(振动)
质量为 m 的物体悬挂在弹簧上,求物体运动的规律:
方法:向下建立 x 轴,令 x(t) 表示 t 时刻物体的位置,x=0 为物体平衡位置。
有 Hooke 定律:
f=−kx
f 即弹簧恢复力。由 Newton 定律:
md2xdt2=f∴md2xdt2+kx=0
观察:d2xdt2 与 x 差一个负号。
x1=sin√kmt,x2=cos√kmt
为上述方程的两个解。由微分方程理论:
x=C1x1+C2x2
为方程的所有解(通解)。
其中 C1,C2 为任意常数。
基本概念/术语
微分方程:包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程:包含一元未知函数及其导数的方程。
偏微分方程:包含多元未知函数及其导数的方程。
阶数:未知函数出现在方程中最高阶导数的阶数。
解:令 I 是一个区间,y(x) 是 I 上定义的函数,在 I 中每一点 y(x) 都满足方程,则称 y(x) 为方程在 I 中的一个解。
通解(general solution):n 阶方程包含 n 个独立的任意常数的解。
特解(special solution):不包含任意常数的解。
定解问题:包含了两部分。
- 微分方程
- 定解条件(初值条件)
这样得出的解就是特解。
一阶常微分方程的初等解法
初等解法——不定积分法。
变量分离型方程
dydx=f(x)g(y),x∈I
其中 f,g 都是已知函数。
方法:若 g(y)≠0,记 h(y)=1g(y),则:
dy=f(x)g(y)dxh(y)dy=f(x)dx∫h(y)dy=∫f(x)dx
此为隐函数解。
验证:两端关于 x 求导:
(ddx∫h(y)dy)dydx=h(y)dydx=ddx∫f(x)dx=f(x)∴dydx=f(x)g(y)
注:若 ∃y0 使得 g(y0)=0,则 y≡y0 也是一个解。
例题
dydx=p(x)y,x∈I
此方程的通解为:
y=Ce∫p(x)dx
其中 ∫p(x)dx 表示 p(x) 的一个原函数。
后面会解释不存在部分点为 0 的解。
积分曲线(解的几何表示)
“解”=形式解。
满足方程的区间 I。
初等变换法(将方程转化为变量分离型)
- 齐次方程 dydx=f(yx)
方法:u=yx,则 y=xu,dydx=u+xdudx。
∴u+xdudx=f(u)——变量分离型方程。
duf(u)–u=dxx,当 f(u)≠u 时,可得通解。
若 ∃u0 使 f(u0)=u0,则 y=xu0 也是方程一个解。
方程 dydx=f(ax+by),ab≠0
方法:令 u=ax+by,则 dudx=a+bdydx=a+bf(u)。
当 a+bf(u)≠0 时,可得通解。
若 ∃u0 使得 a+bf(u0)=0,则 ax+by=u0 也是一个解。
方程 dydx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)
方法:若 c1=c2=0,方程变为齐次方程。
令 X=x–x0,Y=y–y0,a1X+b1Y=a1x+b1y+c1–a1x0–b1y0–c1,a2X+b2Y=a2x+b2y+c2–a2x0–b2y0–c2。
取定 x0,y0 使得 a1x0+b1y0+c1=a2x0+b2y0+c2=0。(|a1b1a2b2|≠0)
则 dYdX=dydx=f(a1X+b1Ya2X+b1Y)。
当 |a1b1a2b2|=0 时,方程可转为第 2 种。
常用变换提示
xdx+ydy=d(x2+y22)xdy+ydx=d(xy)xdy–ydxx2=d(yx)
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