微积分笔记(25)——一阶线性方程和可降阶的高阶方程

微积分笔记(25)——一阶线性方程和可降阶的高阶方程

一阶常微分方程的初等解法(续)

一阶线性方程

$$
\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P(x) y = Q(x)
$$

其中 $P(x),Q(x) \in C(x)$ 已知。

求解方法

  1. 齐次方程($Q \equiv 0$):

    通解为 $y = C e^{-\int P(x) \mathrm{d} x}$。

  2. 非齐次方程($Q \not \equiv 0$):

    方法 1:积分因子法

    方程两端同乘 $e^{\int P(x) \mathrm{d} x}$。
    $$
    e^{\int P(x) \mathrm{d} x} (\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P(x) y) = e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \\
    \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (e^{\int P(x) \mathrm{d} x} y) = e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \\
    e^{\int P(x) \mathrm{d} x} y = \int e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \mathrm{d} x + C \\
    y = e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} (\int e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \mathrm{d} x + C)
    $$

    $$
    y = y_1 + y_2 \\
    y_1 = C e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \\
    y_2 = e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \int e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \mathrm{d} x
    $$
    其中 $y_1$ 为齐次方程的通解,$y_2$ 为非齐次方程的一个特解。

    这个分解是线性方程通解的一般规律(后面证)。

    方法 2:常数变异法

    已知齐次方程的通解为 $y_1 = C y_0$,其中 $y_0 = e^{-\int P(x) \mathrm{d} x}$ 满足齐次方程。

    令 $y_2 = C(x) y_0$ 是非齐次方程的解,$C(x)$ 待定。

    代入方程:
    $$
    y_2^{\prime} + Py_2 = C^{\prime}y_0 + Cy_0^{\prime} + PCy_0 \\
    = C^{\prime}y_0 + C(y_0^{\prime} + Py_0) = C^{\prime}y_0 = Q \\
    \therefore C^{\prime}(x) = y_0^{-1}(x) Q(x) \\
    C(x) = \int y_0^{-1}(x) Q(x) \mathrm{d} x + \alpha
    $$
    $\alpha$ 为任意常数。
    $$
    y_2 = y_0(x)(C + \int y_0^{-1}(x) Q(x) \mathrm{d} x)
    $$

可降阶的高阶方程

以 $2$ 阶方程为例。

二阶方程

一般形式:
$$
\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = F(x,y,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})
$$
其中 $x$——自变量,$y$——未知函数。

可降阶的二阶方程类型

  1. $$
    \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = F(x,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})
    $$

    即未知函数 $y$ 不直接出现。

    方法:令 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = z(x)$,则 $\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = \dfrac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}$,方程化为:
    $$
    \dfrac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = F(x,z)
    $$
    得到关于 $z(x)$ 的一阶方程。

    解出 $z(x)$ 后,可得:
    $$
    y = \int z(x) \mathrm{d} x + C
    $$
    为原方程的解。

  2. $$
    \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = F(y,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})
    $$

    即自变量 $x$ 不直接出现。

    观察:$\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x},\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}$ 只依赖于 $y$ 本身。

    方法:令 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u(y)$,则 $\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y}$。

    方程化为:
    $$
    u \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y} = F(y,u)
    $$
    解出 $u(y)$ 后,由 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u(y)$,解出:
    $$
    \int \dfrac{\mathrm{d} y}{u(y)} = \int \mathrm{d} x
    $$
    得到原方程解 $y(x)$。

 

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