微积分笔记(24)——常微分方程初步

微积分笔记(24)——常微分方程初步

常微分方程

常微分方程中的概念

例子 1:人口模型(Malthus, 1798)

令 $P(t)$ 表示 $t$ 时刻的人口总数(连续函数)。

Malthus 假设人口增长率与人口总数成正比,得到:
$$
\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} = k P
$$
其中 $k = k_1 – k_2$,$k_1$——人口出生率,$k_2$——死亡率,$k$——自然增长率。

为求解此方程,乘以 $e^{-kt}$,得到:
$$
e^{-kt} (\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} – k P) = 0 \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(e^{-kt} P) = e^{-kt} \dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} + (-k e^{-kt}) P = e^{-kt} (\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} – k P) = 0 \\
\therefore e^{-kt} P = C,P(t) = C e^{kt}
$$
令 $t = 0,P(0) = C$,$\therefore P(t) = P(0) e^{kt}$。

结论

若 $k_1 > k_2,k > 0$,则 $P(t) \to + \infty(t \to +\infty)$。

若 $k_1 < k_2,k < 0$,则 $P(t) \to 0(t \to +\infty)$。若 $k_1 = k_2,k = 0$,$P(t) \equiv P(0)$。

修正人口模型(1840s)

$$
\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} = k(1 – \dfrac{P}{K}) P
$$

其中 $K > 0$——环境容量,令 $k > 0$。

  1. 当 $P > 0$ 很小,$\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} \thickapprox kP$;
  2. 当 $0 < P < K$,$\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} > 0$,$P(t)$ 增长;
  3. 当 $P > K$,则 $\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} < 0$,$P(t)$ 减少。
  4. 当 $P = K$,$\dfrac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t} = 0$,$P(t) \equiv K$。

例子 2:弹簧运动(振动)

质量为 $m$ 的物体悬挂在弹簧上,求物体运动的规律:

方法:向下建立 $x$ 轴,令 $x(t)$ 表示 $t$ 时刻物体的位置,$x = 0$ 为物体平衡位置。

有 Hooke 定律:
$$
f = -kx
$$
$f$ 即弹簧恢复力。由 Newton 定律:
$$
m \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2} = f \\
\therefore m \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2} + kx = 0
$$
观察:$\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2}$ 与 $x$ 差一个负号。
$$
x_1 = \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}} t,x_2 = \cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t
$$
为上述方程的两个解。由微分方程理论:
$$
x = C_1 x_1 + C_2 x_2
$$
为方程的所有解(通解)。

其中 $C_1,C_2$ 为任意常数。

基本概念/术语

微分方程:包含未知函数及其导数的方程。

常微分方程:包含一元未知函数及其导数的方程。

偏微分方程:包含多元未知函数及其导数的方程。

阶数:未知函数出现在方程中最高倒数的阶数。

:令 $I$ 是一个区间,$y(x)$ 是 $I$ 上定义的函数,在 $I$ 中每一点 $y(x)$ 都满足方程,则称 $y(x)$ 为方程在 $I$ 中的一个解。

通解(general solution):$n$ 阶方程包含 $n$ 个独立的任意常数的解。

特解(special solution):不包含任意常数的解。

定解问题:包含了两部分。

  1. 微分方程
  2. 定解条件(初值条件)

这样得出的解就是特解。

一阶常微分方程的初等解法

初等解法——不定积分法。

变量分离型方程

$$
\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x) g(y),x \in I
$$

其中 $f,g$ 都是已知函数。

方法:若 $g(y) \not = 0$,记 $h(y) = \dfrac{1}{g(y)}$,则:
$$
\mathrm{d} y = f(x)g(y) \mathrm{d} x \\
h(y) \mathrm{d} y = f(x) \mathrm{d} x \\
\int h(y) \mathrm{d} y = \int f(x) \mathrm{d} x \\
$$
此为隐函数解。

验证:两端关于 $x$ 求导:
$$
(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int h(y) \mathrm{d} y) \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = h(y) \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x) \\
\therefore \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x) g(y)
$$
:若 $\exists y_0$ 使得 $g(y_0) = 0$,则 $y \equiv y_0$ 也是一个解。

例题

$$
\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = p(x) y,x \in I
$$

此方程的通解为:
$$
y = Ce^{\int p(x) \mathrm{d} x}
$$
其中 $\int p(x) \mathrm{d} x$ 表示 $p(x)$ 的一个原函数。

后面会解释不存在部分点为 $0$ 的解。

积分曲线(解的几何表示)

“解”=形式解。

满足方程的区间 $I$。

初等变换法(将方程转化为变量分离型)

  1. 齐次方程 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(\dfrac{y}{x})$

    方法:$u = \dfrac{y}{x}$,则 $y = xu,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u + x \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$。

    $\therefore u + x \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = f(u)$——变量分离型方程。

    $\dfrac{\mathrm{d} u}{f(u) – u} = \dfrac{\mathrm{d} x}{x}$,当 $f(u) \not = u$ 时,可得通解。

    若 $\exists u_0$ 使 $f(u_0) = u_0$,则 $y = x u_0$ 也是方程一个解。

  2. 方程 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(ax + by),ab \not = 0$

    方法:令 $u = ax + by$,则 $\dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = a + b \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = a + bf(u)$。

    当 $a + bf(u) \not = 0$ 时,可得通解。

    若 $\exists u_0$ 使得 $a +bf(u_0) = 0$,则 $ax + by = u_0$ 也是一个解。

  3. 方程 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(\dfrac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2})$

    方法:若 $c_1 = c_2 = 0$,方程变为齐次方程。

    令 $X = x – x_0,Y = y – y_0$,$a_1 X + b_1 Y = a_1 x + b_1 y + c_1 – a_1 x_0 – b_1 y_0 – c_1,a_2 X + b_2 Y = a_2 x + b_2 y + c_2 – a_2 x_0 – b_2 y_0 – c_2$。

    取定 $x_0,y_0$ 使得 $a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 = a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2 = 0$。($\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix} \not = 0$)

    则 $\dfrac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X} = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(\dfrac{a_1 X + b_1 Y}{a_2 X + b_1 Y})$。

    当 $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix} = 0$ 时,方程可转为第 2 种。

常用变换提示

$$
x \mathrm{d} x + y \mathrm{d} y = \mathrm{d} (\dfrac{x^2 + y^2}{2}) \\
x \mathrm{d} y + y \mathrm{d} x = \mathrm{d} (xy) \\
\dfrac{x \mathrm{d} y – y \mathrm{d} x}{x^2} = \mathrm{d} (\dfrac{y}{x})
$$

 

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