微积分笔记（25）——一阶线性方程和可降阶的高阶方程

wzf2000
2019年12月18日

微积分笔记（25）——一阶线性方程和可降阶的高阶方程

一阶常微分方程的初等解法（续）

一阶线性方程

$$
\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P(x) y = Q(x)
$$

其中 $P(x),Q(x) \in C(x)$ 已知。

求解方法：

1. 齐次方程（$Q \equiv 0$）：

   通解为 $y = C e^{-\int P(x) \mathrm{d} x}$。

2. 非齐次方程（$Q \not \equiv 0$）：

   方法 1：积分因子法

   方程两端同乘 $e^{\int P(x) \mathrm{d} x}$。
   $$
   e^{\int P(x) \mathrm{d} x} \left(\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P(x) y\right) = e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \\
   \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left(e^{\int P(x) \mathrm{d} x} y\right) = e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \\
   e^{\int P(x) \mathrm{d} x} y = \int e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \mathrm{d} x + C \\
   y = e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \left(\int e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \mathrm{d} x + C\right)
   $$
   注：
   $$
   y = y_1 + y_2 \\
   y_1 = C e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \\
   y_2 = e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \int e^{\int P(x) \mathrm{d} x} Q(x) \mathrm{d} x
   $$
   其中 $y_1$ 为齐次方程的通解，$y_2$ 为非齐次方程的一个特解。

   这个分解是线性方程通解的一般规律（后面证）。

   方法 2：常数变异法

   已知齐次方程的通解为 $y_1 = C y_0$，其中 $y_0 = e^{-\int P(x) \mathrm{d} x}$ 满足齐次方程。

   令 $y_2 = C(x) y_0$ 是非齐次方程的解，$C(x)$ 待定。

   代入方程：
   $$
   y_2^{\prime} + Py_2 = C^{\prime}y_0 + Cy_0^{\prime} + PCy_0 \\
   = C^{\prime}y_0 + C(y_0^{\prime} + Py_0) = C^{\prime}y_0 = Q \\
   \therefore C^{\prime}(x) = y_0^{-1}(x) Q(x) \\
   C(x) = \int y_0^{-1}(x) Q(x) \mathrm{d} x + \alpha
   $$
   $\alpha$ 为任意常数。
   $$
   y_2 = y_0(x)\left(C + \int y_0^{-1}(x) Q(x) \mathrm{d} x\right)
   $$

可降阶的高阶方程

以 $2$ 阶方程为例。

二阶方程

一般形式：
$$
\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = F\left(x,y,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)
$$
其中 $x$——自变量，$y$——未知函数。

可降阶的二阶方程类型

1. $$
   \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = F\left(x,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)
   $$

   即未知函数 $y$ 不直接出现。

   方法：令 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = z(x)$，则 $\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = \dfrac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}$，方程化为：
   $$
   \dfrac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = F(x,z)
   $$
   得到关于 $z(x)$ 的一阶方程。

   解出 $z(x)$ 后，可得：
   $$
   y = \int z(x) \mathrm{d} x + C
   $$
   为原方程的解。

2. $$
   \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = F\left(y,\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right)
   $$

   即自变量 $x$ 不直接出现。

   观察：$\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x},\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}$ 只依赖于 $y$ 本身。

   方法：令 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u(y)$，则 $\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} = \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y}$。

   方程化为：
   $$
   u \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y} = F(y,u)
   $$
   解出 $u(y)$ 后，由 $\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u(y)$，解出：
   $$
   \int \dfrac{\mathrm{d} y}{u(y)} = \int \mathrm{d} x
   $$
   得到原方程解 $y(x)$。

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