wzf2000 微积分笔记（35）——多变量函数的连续性（1）
Contents
多变量函数的连续性
$n$ 维欧氏空间的基本结构
问题来源
研究多元函数：$f(x, y, z), \varphi(u, v)$ 等。
引入 $n$ 维欧氏空间
- $n$ 元点集（$n$ 维向量）：$\mathbb{R}^n$。
集合 $\mathbb{R}^n := \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_k \in \mathbb{R}, k = 1, 2, \cdots, n\}$
线性结构：关于加法，数乘（不是乘法）封闭。
$\mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n), \mathbf{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_n) \in \mathbb{R}^n$：
加法 $\mathbf{x} + \mathbf{y} := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_n + y_n) \in \mathbb{R}^n$
数乘 $\lambda \mathbf{x} := (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n) \in \mathbb{R}^n, \lambda \in \mathbb{R}$
注：符合前两点的集合结构就被称为一个线性空间（向量空间）。
内积（数量积）——产生长度、角度、距离。
$\left <\mathbf{x}, \mathbf{y} \right > := x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n \in \mathbb{R}$
运算的性质
比较显然，略。
范数（长度，模）
$$
\| \mathbf{x} \| := \sqrt{\left < \mathbf{x}, \mathbf{x} \right >} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}, \mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}^n
$$
$n = 1$ 时，范数就是绝对值。
性质：
- 正定性：$\| \mathbf{x} \| \ge 0$ 等号成立仅当 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$；
- 齐次性：$\| \lambda \mathbf{x} \| = |\lambda| \| \mathbf{x} \| \ \ (\lambda \in \mathbb{R})$；
- 内积不等式：$|\left < \mathbf{x}, \mathbf{y} \right >| \le \| \mathbf{x} \| \cdot \| \mathbf{y} \|$（Cauchy-Schwarz）；
- 三角不等式：$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \le \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \|$。
向量间的夹角
对于两个非零向量 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \not = 0$：
$$
\cos \theta := \frac{\left < \mathbf{x}, \mathbf{y} \right >}{\| \mathbf{x} \| \| \mathbf{y} \|}, 0 \le \theta \le \pi
$$
$\theta$ 称为两向量间的夹角。
向量正交
对于 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \not = 0$：
$$
\mathbf{x} \perp \mathbf{y} \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \left < \mathbf{x}, \mathbf{y} \right> = 0
$$
规定：零向量与任意向量正交。
距离
对于空间中两点 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$：
$$
\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|
$$
称为两点之间的距离。
性质：
- 正定性：$\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| \ge 0$ 等号成立仅当 $\mathbf{x} = \mathbf{y}$；
- 对称性：$\|\mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \|\mathbf{y} - \mathbf{x}\|$；
- 三角不等式：$\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| \le \|\mathbf{x} - \mathbf{z} \| + \|\mathbf{z} - \mathbf{y} \|$。
$n$ 维欧氏空间中点列的极限
点列
$\{\mathbf{x}_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中点列，即 $\mathbf{x}_k \in \mathbb{R}^n, k = 1, 2, \cdots$
点列的极限
$$
\lim_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n
$$
称为 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛于 $\mathbf{a}$，若 $\{\| \mathbf{x}_k - \mathbf{a} \|\}$ 收敛于 $0$。
推论：记 $\mathbf{x}_k = \left(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)}\right), k = 1, 2, \cdots, \mathbf{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，则 $\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a}$ 的充分必要条件是 $\lim\limits_{k \to \infty} x_j^{(k)} = a_j, j = 1, 2, \cdots, n$，即 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收当且仅当其每个分量数列 $\{x_j^{(k)}\}$ 收敛，$j = 1, 2, \cdots, n$。
收敛点列的性质
- 唯一性：若 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛，则 $\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a}$ 唯一。
有界性：若 $\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛，则 $\exists M > 0, \| \mathbf{x}_k \| \le M, k = 1, 2, \cdots$。
线性性：设 $\lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{a}, \lim\limits_{k \to \infty} \mathbf{y}_k = \mathbf{b}, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$，则 $\lim\limits_{k \to \infty} (\alpha \mathbf{x}_k + \beta \mathbf{y}_k) = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}$。
Cauchy 准则：$\{\mathbf{x}_k\}$ 收敛当且仅当 $\{\mathbf{x}_k\}$ 是基本列：
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists k_0 \in \mathbb{N}, \forall k, k' > k_0, \| \mathbf{x}_k - \mathbf{x}_{k'} \| < \varepsilon $$
点列收敛原理（Bolzano-Weierstrass）
若 $\{\mathbf{x}_k\}$ 有界，则必有收敛子列。
欧氏空间中的开集和闭集
邻域（球）
令 $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n, r > 0$：
$$
B_r(\mathbf{a}) := \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| < r\}
$$
也就是 $\mathbf{a}$ 点的开邻域。
$$
\overline{B_r}(\mathbf{a}) := \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| \le r\}
$$
也就是 $\mathbf{a}$ 点的闭邻域。
$$
B_r(\mathbf{\hat{a}}) := \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : 0 <\| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| < r\}
$$
也就是 $\mathbf{a}$ 点的空心邻域。
内点/内部与开集
$$
E \subseteq \mathbb{R}^n, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n
$$
$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的内点：
$$
\exists r > 0, B_r(\mathbf{a}) \subseteq E
$$
注：若 $\mathbf{a}$ 是 $E$ 的内点，显然 $\mathbf{a}$ 在 $E$ 中。
$E$ 的内部：
$$
E^{\circ} := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \ 是 \ E \ 的内点 \}
$$
$E$ 称为开集：如果 $E$ 中所有点都是内点 $E = E^\circ$。
注：空集也被认为是开集，其它实例如：$\mathbb{R}^n, B_r(\mathbf{a}), B_r(\hat{\mathbf{a}})$。
$\overline{B_r}(\mathbf{a})^\circ = B_r(\mathbf{a})$。
闭集（开集的补集）
$E \subseteq \mathbb{R}^n$，即 $E^c = \mathbb{R}^n \backslash E = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \not \in E \}$——$E$ 的补集。
$E$ 称为闭集，如果 $E$ 的补集是开集。
注：显然如果 $E$ 是开集，则 $E$ 的补集是闭集。
实例有 $\mathbb{R}^n. \varnothing, \overline{B_r}(\mathbf{a})$。
还有 $S_r(\mathbf{a}) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n | \| \mathbf{x} - \mathbf{a} \| = r\}$ 也是闭集。
开集/闭集性质
- 任意多个开集的并集是开集；
- 有限多个开集的交集是开集；
- 任意多个闭集的交集是闭集；
- 有限多个闭集的并集是闭集。
注：后两个性质可利用 de Mogan 律和前两个性质直接证明。
凝聚点/导集（凝聚点也称聚点或极限点）
令 $E \subseteq \mathbb{R}^n, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$。
$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的凝聚点：
$$
\forall r > 0, B_r(\hat{\mathbf{a}}) \cap E \not = \varnothing
$$
推论：设 $\mathbf{a}$ 是 $E$ 的凝聚点，则存在 $E$ 中点列收敛于 $\mathbf{a}$。
$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的孤立点：
$$
\exists r > 0, B_r(\mathbf{a}) \cap E = \{\mathbf{a}\}
$$
$E$ 的导集：
$$
E' := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \ 是 \ E \ 的凝聚点 \}
$$
也就是凝聚点全体。
$E$ 的闭包：
$$
\overline{E} = E \cup E'
$$
闭集的刻画：$E$ 是闭集 $\Leftrightarrow \overline{E} = E$（$E$ 的凝聚点都在 $E$ 中）。
证明直接用闭集和凝聚点定义验证即可。
开集/闭集性质（续）
- $E$ 的内部是包含在 $E$ 中的最大开集；
- $E$ 的闭包是包含 $E$ 的最小闭集。
外部/边界点/边界
$E$ 的外部：
$$
(E^c)^\circ = \{ \mathbf{x} \in E^c : \exists r > 0, B_r(\mathbf{x}) \subseteq E^c \}
$$
（补集的内部）
$\mathbf{a}$ 是 $E$ 的边界点：
$$
\mathbf{a} \not \in E^\circ \cup (E^c)^\circ
$$
$E$ 的边界：
$$
\partial E := \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \not \in E^\circ \cup (E^c)^\circ \}
$$
（边界点全体）
推论：$\overline{E} = E \cup \partial E$。
欧氏空间中点集的紧性和连通性
列紧性（收敛子列存在性）
$E$ 是列紧集，若 $E$ 中任意点列都有子列收敛于 $E$ 中一点。
列紧集的刻画
$E$ 是列紧集的充分必要条件是 $E$ 为有界闭集。
充分性分为有界和闭集分别反证，必要性利用 Bolzano-Weierstrass 点列收敛原理。
紧致集（有限覆盖存在性）
如果 $E$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖则称 $E$ 是紧致集。
紧致集的刻画
$E$ 是紧致集的充分必要条件是 $E$ 是有界闭集（证明略）。
推论：列紧集与紧致集等价（$\mathbb{R}^n$ 中），都是有界闭集。
注：今后我们尽量避免紧致概念只用列紧。
道路连通集
$E \subseteq \mathbb{R}^n$ 称为道路连通集，如果：
$\forall \mathbf{a}, \mathbf{b} \in E$，存在连续曲线 $L \subseteq E$，使得 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in L$。
区域
道路连通的开集称为开区域。
开区域的闭包称为闭区域。
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