微积分笔记（36）——多变量函数的连续性（2）
多变量函数的连续性
多元函数概念和极限
多元函数（多变量函数）
f:D→R
称为 n 元函数，也记为：
f(x)=f(x1,x2,⋯,xn),x=(x1,x2,⋯,xn)∈D
其中定义域 D⊆Rn，值域 f(D)⊆R。
多元函数的极限
令 f:D→R,a∈D′,limx→af(x)=p∈R，即：
∀ε>0,∃δ>0,∀x∈Bδ(ˆa)∩D,|f(x)–p|<ε(x∈D∧0<‖x−a‖<δ)
无穷远处的极限
设 f:D→R,∃r>0,Br(0)c⊆D(‖x‖>r⇒x∈D)，定义：
limx→∞f(x)=p∈R
如果满足：
∀ε>0,∃M>0,∀‖x‖>M,|f(x)–p|<ε
多元函数极限的性质
函数极限与点列极限
设 f:D→R,a∈D′，则 limx→af(x)=p 的充分必要条件是，对于满足 limk→∞xk=a 的点列 {xk}⊆D∖{a}，都有 limk→∞f(xk)=p。
证明：必然性比较容易证明，下证明充分性。
若 limx→af(x)≠p，构造 {xk}⊆D∖{a},x→a：
∃ε0>0,∀k∈N,∃xk∈D∩B1k(ˆa),|f(xk)–p|≥ε0
矛盾。◻
注：
1. 该性质常用来判断极限 limx→af(x) 不存在（发散）；
2. 若已知极限存在，可以利用该性质求出极限。
函数四则运算的极限
设 f,g:D→R,a∈D′,limx→af(x)=p,limx→ag(x)=q：
- limx→a[f(x)±g(x)]=p±q
- limx→a[f(x)g(x)]=pq
- limx→a[f(x)g(x)]=pq(q≠0)
利用函数极限与点列极限的关系即可证明。
Cauchy 收敛准则
设 f:D→R,a∈D′，则 limx→af(x) 存在的充分必要条件是：
∀ε>0,∃δ>0,∀x′,x”∈D∩Bδ(ˆa),|f(x′)–f(x”)|<ε[∀x′,x″∈D,0<‖x′−a‖<δ,0<‖x′−a‖<δ]
多元函数的连续性
多元函数的连续性
设函数 f:D→R,a∈D，称 f 在 a 点连续，如果：
limx→af(x)=f(a)∀ε>0,∃δ>0,∀x∈D∩Bδ(a),|f(a)–f(x)|<ε
推论：设 a 是 D 的孤立点，f 定义在 D 上，则 f 在 a 点连续。
记号：
C(D)={f:D→R|f 在 D 中每一点都连续}
其中 D⊆Rn 是一个区域（开或闭）。
推论 1：C(D) 是一个线性空间，即：
∀f,g∈C(D),α,β∈R,αf+βg∈C(D)
推论 2：连续函数经过四则运算（分母不为 0） 仍连续。
结论：多项式函数处处连续，有理函数在分母不为零的点处处连续。
一致连续概念
称函数 f:D→R 在 D 上一致连续：
∀ε>0,∃δ>0,∀x′,x”∈D,‖x′–x”‖<δ,|f(x′)−f(x″)|<ε
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