wzf2000 微积分笔记（37）——多变量函数的连续性（3）
Contents
多变量函数的连续性
向量值函数（数值函数的推广）
定义
$$
\pmb{f} : D \to \mathrm{R}^m
$$
称为向量值函数，也记为 $\mathbf{y} = \pmb{f}(\mathbf{x})$。
其中 $\pmb{f}$ 的定义域 $D \subseteq \mathbb{R}^n$，$\pmb{f}$ 的值域 $\pmb{f}(D) \subseteq \mathbb{R}^m$。
分量表示
令 $\mathbf{x} = (x_1, \cdots, x_n) \in D,\mathbf{y} = (y_1, \cdots, y_m) \in \mathbb{R}^m$。
函数也可写成：
$$
\left \{
\begin{array}{c}
y_1 = f_1(x_1, \cdots, x_n) \\
\vdots \\
y_m = f_m(x_1, \cdots, x_n)
\end{array}
\right.
$$
这里 $\pmb{f} = (f_1, f_2, \cdots, f_m)$，即 $\pmb{f}$ 可以用分量函数组合。
如果 $f_1, \cdots, f_m$ 均为线性函数，则可用矩阵 $\pmb{f} = A \mathbf{x}$ 的方法表示函数。
曲线
给定：
$$
\pmb{f} : [a, b] \to \mathbb{R}^m
$$
则称 $\pmb{f}([a, b])$ 为 $m$ 维欧氏空间中的一条曲线。
也称此函数为 $\mathbb{R}^m$ 中一条曲线。
复合函数
设：
$$
\pmb{g} : D \to \mathbb{R}^m, \pmb{f} : \Omega \to \mathbb{R}^k, \Omega \subseteq \mathbb{R}^m
$$
如果 $\pmb{g} (D) \subseteq \Omega$，则可以定义复合函数 $\pmb{f} \circ \pmb{g} : D \to \mathbb{R}^k$。
也即 $\pmb{f} \circ \pmb{g}(\mathbf{x}) = \pmb{f}(\pmb{g}(\mathbf{x})), \mathbf{x} \in D$。
记：
$$
\mathbf{y} = \pmb{g}(\mathbf{x}), \mathbf{u} = \pmb{f}(\mathbf{y}), \mathbf{y} \in \Omega
$$
则二函数复合得到：
$$
\mathbf{u} = \pmb{f}(\pmb{g}(\mathbf{x})), \mathbf{x} \in D
$$
向量值函数的极限与连续
向量值函数的极限
令：
$$
\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m, \mathbf{a} \in D', \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} \pmb{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{p} \in \mathbb{R}^m : \\
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \mathbf{x} \in B_\delta(\hat{\mathbf{a}}) \cap D, \| \pmb{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{p} \| < \varepsilon
$$
分量表示
记：
$$
\pmb{f} (x) = (f_1(\mathbf{x}), \cdots, f_m(\mathbf{x})), \mathbf{p} = (p_1, \cdots, p_m)
$$
则：
$$
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} \pmb{f} (\mathbf{x}) = \mathbf{p} \Leftrightarrow \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f_k(\mathbf{x}) = p_k, k = 1, \cdots, m
$$
向量值函数极限的性质
- 保持线性。
- 保持内积。
- Cauchy 收敛准则。
- 点收敛准则。
向量值函数的连续
设：
$$
\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m, \mathbf{a} \in D
$$
设 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{a}$ 点连续，如果：
$$
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} \pmb{f} (\mathbf{x}) = \pmb{f}(\mathbf{a}) : \\
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \mathbf{x} \in D \cap B_\delta(\mathbf{a}), \| \pmb{f} (\mathbf{x}) - \pmb{f} (\mathbf{a}) \| < \varepsilon
$$
连续性的特征刻画
设 $D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是开集，$\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m$，则 $\pmb{f}$ 在 $D$ 中处处连续的充分必要条件是，$\forall G \subseteq \mathbb{R}^m$ 中开集：
$$
\pmb{f}^{-1}(G) = \{ \mathbf{x} \in D : \pmb{f} (\mathbf{x}) \in G \}
$$
是 $\mathbb{R}^n$ 中开集。
证明略。
复合函数的极限
设 $\pmb{g} : D \to \mathbb{R}^n, \pmb{f} : \Omega \to \mathbb{R}^k, \pmb{g}(D) \subseteq \Omega$。
又设：
$$
\mathbf{a} \in D', \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} \pmb{g}(\mathbf{x}) = \mathbf{p}, \lim_{\mathbf{y} \to \mathbf{p}} \pmb{f}(\mathbf{y}) = \pmb{f}(\mathbf{p})
$$
则：
$$
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} \pmb{f} \circ \pmb{g} (\mathbf{x}) = \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} \pmb{f}(\pmb{g}(\mathbf{x})) = \pmb{f}(\mathbf{p})
$$
证明略。
注：上面条件要求 $\pmb{f}$ 在 $\mathbf{p}$ 点连续，也可以修改为：
$$
\lim_{\mathbf{y} \to \mathbf{p}} \pmb{f}(\mathbf{y}) = \mathbf{q}
$$
存在，但 $\pmb{g}(\mathbf{x}) \not = \mathbf{p}$。
记号
$$
C(D, \mathbb{R}^m) = \{ \pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m | \pmb{f} \, 在 \, D \, 中每一点都连续 \}
$$
其中 $D \subseteq \mathbb{R}^n$。（可以是区域，也可以不是）
当 $m = 1$ 时，$C(D, \mathbb{R}^1) = C(D)$。
推论：$C(D, \mathbb{R}^m)$ 是一个线性空间。
连续曲线
若：
$$
\pmb{f} \in C([a, b], \mathbb{R}^m)
$$
则称其为一条连续曲线。
连续函数的性质
一致连续概念（推广到向量值函数）
称函数 $\pmb{f} : D \to \mathbb{R}^m$ 在 $D$ 上一致连续：
$$
\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \mathbf{x}', \mathbf{x}'' \in D, \| \mathbf{x}' - \mathbf{x}'' \| < \delta, \| \pmb{f}(\mathbf{x}') - \pmb{f}(\mathbf{x}'') \| < \varepsilon
$$
紧致集上的连续性
令 $\pmb{f} \in C(D, \mathbb{R}^m)$，$D \subseteq \mathbb{R}^n$ 是紧致集，则 $\pmb{f}$ 在 $D$ 上一致连续。
证明：若不然：
$$
\exists \varepsilon_0 > 0, \forall k \in \mathbb{N}, \exists \mathbf{x}_k, \mathbf{y}_k \in D \\
\| \mathbf{x}_k - \mathbf{y}_k \| < \frac{1}{k}, \| \pmb{f}(\mathbf{x}_k) - \pmb{f}(\mathbf{y}_k) \| \ge \varepsilon_0
$$
$D$ 列紧，则存在子列 $\{\mathbf{x}_{k'}\}, \{\mathbf{y}_{k'}\}$，都收敛于某 $\mathbf{z} \in D$。于是矛盾。$\square$
紧致集上的有界性
设 $\pmb{f} \in C(D, \mathbb{R}^m)$，若 $D$ 紧致，则 $\pmb{f}(D)$ 也紧致（有界闭集）。
证明：只须验证 $\pmb{f}(D)$ 是列紧的。
任取点列 $\{\mathbf{y}_k\} \subseteq \pmb{f}(D)$：
$$
\exists \{\mathbf{x}_k\} \subseteq D, \pmb{f}(\mathbf{x}_k) = \mathbf{y}_k, k = 1, 2, \cdots
$$
已知 $D$ 列紧：存在子列 $\{\mathbf{x}_{k'}\}$ 收敛于某 $\mathbf{z} \in D$，而 $\pmb{f}$ 在 $D$ 上连续。
$$
\therefore \lim_{k' \to \infty} \pmb{f}(\mathbf{x}_{k'}) = \pmb{f}(\mathbf{z}),\lim_{\mathbf{y}_{k'}} \mathbf{y}_{k'} = \pmb{f}(\mathbf{z}) \in \pmb{f}(D)
$$
即 $\pmb{f}(D)$ 列紧。$\square$
推论：若上面 $m = 1$，则 $\pmb{f}$ 在 $D$ 上可以达到最大最小值。
注：
1. 连续函数不必把闭集映射成闭集。
2. 连续函数不必把有界集映射成有界集。
道路连通概念
$E \subseteq \mathbb{R}^n$ 称为道路连通集，如果 $\forall \mathbf{a}, \mathbf{b} \in E$，存在连续曲线 $L \subseteq E$，使得 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in L$。
更具体的表述：
$$
\forall \mathbf{a}, \mathbf{b} \in E, \exists \pmb{f} \in C([\alpha, \beta], \mathbb{R}^n)
$$
满足 $\pmb{f}([\alpha, \beta]) \in E$，且 $\pmb{f}(\alpha) = \mathbf{a}, \pmb{f}(\beta) = \mathbf{b}$。
不失一般性，可令 $\alpha = 0, \beta = 1$。
推论：令 $E \subseteq \mathbb{R}^1$。
若 $E$ 是道路连通的，则 $E$ 必是一个区间。
证明：应用一元连续函数介值定理。$\square$
连续函数的连通性质
设 $\pmb{f} \in C(D, \mathbb{R}^m)$，若 $D$ 道路连通，则 $\pmb{f}(D)$ 也道路连通。
证明：为验证 $\pmb{f}(D)$ 道路连通：任取两点 $\mathbf{y}_0, \mathbf{y}_1 \in \pmb{f}(D)$：
$$
\exists \mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, \pmb{f}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{y}_0, \pmb{f}(\mathbf{x}_1) = \mathbf{y}_1
$$
已知 $D$ 道路连通，存在 $\mathbb{R}^n$ 中连续曲线 $\pmb{h} \in C([0, 1], \mathbb{R}^n)$：
$$
\pmb{h}([0, 1]) \subseteq D, \pmb{h}(0) = \mathbf{x}_0, \pmb{h}(1) = \mathbf{x}_1
$$
即在 $D$ 中连接 $\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1$，由此得到 $\mathbb{R}^m$ 中连续曲线 $\pmb{f} \circ \pmb{h} \in C([0, 1], \mathbb{R}^m)$：
$$
\pmb{f} \circ \pmb{h}([0, 1]) \subseteq \pmb{f}(D), \pmb{f} \circ \pmb{h} (0) = \mathbf{y}_0, \pmb{f} \circ \pmb{h} (1) = \mathbf{y}_1
$$
即在 $\pmb{f}(D)$ 中连接 $\mathbf{y}_0, \mathbf{y}_1$，这说明 $\pmb{f}(D)$ 道路连通。$\square$
推论：设 $f \in C(D)$，若 $D$ 道路连通，则 $f$ 在 $D$ 上有介值性质：
令 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in D, f(\mathbf{a}) < f(\mathbf{b})$，则 $\forall f(\mathbf{a}) < r < f(\mathbf{b}), \exists \mathbf{c} \in D, f(\mathbf{c}) = r$证明考虑 $f(D)$ 是一个区间即可得知。
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