微积分笔记（37）——多变量函数的连续性（3）
多变量函数的连续性
向量值函数（数值函数的推广）
定义
ff:D→Rm
称为向量值函数，也记为 y=ff(x)。
其中 ff 的定义域 D⊆Rn，ff 的值域 ff(D)⊆Rm。
分量表示
令 x=(x1,⋯,xn)∈D,y=(y1,⋯,ym)∈Rm。
函数也可写成：
{y1=f1(x1,⋯,xn)⋮ym=fm(x1,⋯,xn)
这里 ff=(f1,f2,⋯,fm)，即 ff 可以用分量函数组合。
如果 f1,⋯,fm 均为线性函数，则可用矩阵 ff=Ax 的方法表示函数。
曲线
给定：
ff:[a,b]→Rm
则称 ff([a,b]) 为 m 维欧氏空间中的一条曲线。
也称此函数为 Rm 中一条曲线。
复合函数
设：
gg:D→Rm,ff:Ω→Rk,Ω⊆Rm
如果 gg(D)⊆Ω，则可以定义复合函数 ff∘gg:D→Rk。
也即 ff∘gg(x)=ff(gg(x)),x∈D。
记：
y=gg(x),u=ff(y),y∈Ω
则二函数复合得到：
u=ff(gg(x)),x∈D
向量值函数的极限与连续
向量值函数的极限
令：
ff:D→Rm,a∈D′,limx→aff(x)=p∈Rm:∀ε>0,∃δ>0,∀x∈Bδ(ˆa)∩D,‖ff(x)–p‖<ε
分量表示
记：
ff(x)=(f1(x),⋯,fm(x)),p=(p1,⋯,pm)
则：
limx→aff(x)=p⇔limx→afk(x)=pk,k=1,⋯,m
向量值函数极限的性质
- 保持线性。
- 保持内积。
- Cauchy 收敛准则。
- 点收敛准则。
向量值函数的连续
设：
ff:D→Rm,a∈D
设 ff 在 a 点连续，如果：
limx→aff(x)=ff(a):∀ε>0,∃δ>0,∀x∈D∩Bδ(a),‖ff(x)–ff(a)‖<ε
连续性的特征刻画
设 D⊆Rn 是开集，ff:D→Rm，则 ff 在 D 中处处连续的充分必要条件是，∀G⊆Rm 中开集：
ff−1(G)={x∈D:ff(x)∈G}
是 Rn 中开集。
证明略。
复合函数的极限
设 gg:D→Rn,ff:Ω→Rk,gg(D)⊆Ω。
又设：
a∈D′,limx→agg(x)=p,limy→pff(y)=ff(p)
则：
limx→aff∘gg(x)=limx→aff(gg(x))=ff(p)
证明略。
注：上面条件要求 ff 在 p 点连续，也可以修改为：
limy→pff(y)=q
存在，但 gg(x)≠p。
记号
C(D,Rm)={ff:D→Rm|ff在D中每一点都连续}
其中 D⊆Rn。（可以是区域，也可以不是）
当 m=1 时，C(D,R1)=C(D)。
推论：C(D,Rm) 是一个线性空间。
连续曲线
若：
ff∈C([a,b],Rm)
则称其为一条连续曲线。
连续函数的性质
一致连续概念（推广到向量值函数）
称函数 ff:D→Rm 在 D 上一致连续：
∀ε>0,∃δ>0,∀x′,x”∈D,‖x′–x”‖<δ,‖ff(x′)−ff(x″)‖<ε
紧致集上的连续性
令 ff∈C(D,Rm)，D⊆Rn 是紧致集，则 ff 在 D 上一致连续。
证明：若不然：
∃ε0>0,∀k∈N,∃xk,yk∈D‖xk–yk‖<1k,‖ff(xk)−ff(yk)‖≥ε0
紧致集上的有界性
设 ff∈C(D,Rm)，若 D 紧致，则 ff(D) 也紧致（有界闭集）。
证明：只须验证 ff(D) 是列紧的。
任取点列 {yk}⊆ff(D)：
∃{xk}⊆D,ff(xk)=yk,k=1,2,⋯
已知 D 列紧：存在子列 {xk′} 收敛于某 z∈D，而 ff 在 D 上连续。
∴limk′→∞ff(xk′)=ff(z),limyk′yk′=ff(z)∈ff(D)
即 ff(D) 列紧。◻
推论：若上面 m=1，则 ff 在 D 上可以达到最大最小值。
注：
1. 连续函数不必把闭集映射成闭集。
2. 连续函数不必把有界集映射成有界集。
道路连通概念
E⊆Rn 称为道路连通集，如果 ∀a,b∈E，存在连续曲线 L⊆E，使得 a,b∈L。
更具体的表述：
∀a,b∈E,∃ff∈C([α,β],Rn)
满足 ff([α,β])∈E，且 ff(α)=a,ff(β)=b。
不失一般性，可令 α=0,β=1。
推论：令 E⊆R1。
若 E 是道路连通的，则 E 必是一个区间。
证明：应用一元连续函数介值定理。◻
连续函数的连通性质
设 ff∈C(D,Rm)，若 D 道路连通，则 ff(D) 也道路连通。
证明：为验证 ff(D) 道路连通：任取两点 y0,y1∈ff(D)：
∃x0,x1,ff(x0)=y0,ff(x1)=y1
已知 D 道路连通，存在 Rn 中连续曲线 hh∈C([0,1],Rn)：
hh([0,1])⊆D,hh(0)=x0,hh(1)=x1
即在 D 中连接 x0,x1，由此得到 Rm 中连续曲线 ff∘hh∈C([0,1],Rm)：
ff∘hh([0,1])⊆ff(D),ff∘hh(0)=y0,ff∘hh(1)=y1
即在 ff(D) 中连接 y0,y1，这说明 ff(D) 道路连通。◻
推论：设 f∈C(D)，若 D 道路连通，则 f 在 D 上有介值性质：
令 a,b∈D,f(a)<f(b)，则 ∀f(a)<r<f(b),∃c∈D,f(c)=r证明考虑 f(D) 是一个区间即可得知。
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