复变函数引论笔记（1）——复数及复变函数

复变函数引论笔记（1）——复数及复变函数

Chapter 1. 复数及复变函数

1. 复数

1.1. 定义

$$\mathbb{C} = \{z = x + \mathrm{i} y, x, y \in \mathbb{R}\} \stackrel{\sim}{=} \mathbb{R}^2 \\ z \sim (x, y) \in \mathbb{R}^2$$

（复化）

又有：

$$z = r e^{\mathrm{i} \theta}, r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

1. $z = 0, r = 0, \theta \in \mathbb{R}$，辐角不确定。
2. $z \not = 0, r \not = 0, \theta \stackrel{\triangle}{=} \mathrm{Arg} \, z = \mathrm{arg} \, z + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}, \mathrm{arg} \, z \in (-\pi, \pi]([0, 2\pi))$，$\mathrm{arg} \, z$ 称为主辐角，$\mathrm{Arg} \, z$ 为集合。

有性质：

$$\mathrm{Arg}(z_1 z_2) = \mathrm{Arg} \, z_1 + \mathrm{Arg} \, z_2 \\ \mathrm{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \mathrm{Arg} \, z_1 – \mathrm{Arg} \, z_2$$
De Moivre（棣莫弗）公式：
$$(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)^n = \cos n \theta + \mathrm{i} \sin n \theta$$
共轭运算：
$$\overline{z} = \overline{x + \mathrm{i} y} = x – \mathrm{i} y$$
其与四则运算完全可交换，如：
$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

1.2. 区域与曲线

1. 区域：连通的开集，Domain，$D \subseteq \mathbb{C}$。

   闭区域，$D$ 有界，$D \cup \partial D$。

2. 曲线：
   

   $$C \subseteq \mathbb{R}^2: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}, t \in [a, b] \\ C \subseteq \mathbb{C}: z = z(t) = x(t) + \mathrm{i} y(t), t \in [a, b]$$
   分类：
   1. 连续曲线：$x(t), y(t) \in C[a, b]$。

   2. 光滑曲线：$x(t), y(t) \in C^1[a, b]$ 且 $z^\prime(t) = x^\prime(t) + \mathrm{i} y^\prime(t) \not = 0, \forall t \in [a, b]$（只需有一种参数表示满足即可）。

      导曲线：

   $$C^\prime: z^\prime(t) \stackrel{\triangle}{=} x^\prime(t) + \mathrm{i} y^\prime(t), t \in [a, b]$$
   3. 分逐段光滑曲线。

   4. 简单曲线（无重点），封闭曲线。

1.3. 扩充复平面

$\{\infty\}$ 表示唯一一个无穷远点。

$$\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\} \\ S^2 : x^2 + y^2 + u^2 = 1 \\ P : S^2 \to \overline{\mathbb{C}} \\ \quad \quad \quad \ \ Z \mapsto z \in \mathbb{C} \\ \quad \quad \, N \mapsto \infty$$
其中 $z$ 通过球面的北极 $N$ 与 $Z$ 相连跟 $x, y$ 坐标平面相交得到。

这种一一对应方法得到的球面称为复球面。

注：$\infty$ 无方向，$|\infty| = +\infty$。

$z \to \infty \Leftrightarrow |z| \to +\infty, z \to 0 \Leftrightarrow |z| \to 0$。

2. 复变函数

2.1. 意义

定义：设 $G \subseteq \mathbb{C}$ 为一集合，给定从 $G$ 到 $\mathbb{C}$ 上一个对应规则 $f$，$s.t.$ 对 $\forall z = x + \mathrm{i} y \in G$，都有一个或多个 $w = u + \mathrm{i} v \in \mathbb{C}$ 与之对应，则称 $w$ 是复变数 $z$ 的函数（简称复变函数），记作 $w = f(z)$。（泛意义下）

$k \equiv 0$，$w = \mathrm{arg} \, z$ 称之为 $w = \mathrm{Arg} \, z$ 的主值分支。

$$\begin{align*} w &= \sqrt[n]{z}(n \ge 2) \\ & = \begin{cases} 0 & z = 0 \\ |z|^{\frac{1}{n}} e^{\displaystyle \mathrm{i} \frac{\mathrm{Arg} \, z}{n}} & otherwise \\ = |z|^{\frac{1}{n}} e^{\displaystyle \mathrm{i} \frac{\mathrm{arg} \, z + 2k \pi}{n}} & k = 0, 1, 2. \cdots, n – 1 \end{cases} \end{align*}$$
单值函数：映射。

多值函数：存在一对多。

$$G^* = \{w \in \mathbb{C} | w = f(z), z \in G\}$$
称之为像域（像集合），$f^{-1} : G^* \to \mathbb{C}$ 为反函数。

$e.g.$ $w = f(z) = \sqrt[n]{z}$ 与 $z = f^{-1}(w) = w^n$ 互为反函数。

2.2. 函数极限

定义：设 $w = f(z)$ 意义与 $0 < |z - z_0| < \rho$ 上，假设存在 $A \in \mathbb{C}$，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，都 $\exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 \ s.t.$ 当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时有：

$$|f(z) - A| < \varepsilon$$ 则称当 $z \to z_0$ 时，$f(z)$ 以 $A$ 为极限，记作： $$\lim_{z \to z_0} f(z) = A \quad or \quad f(z) \to A, z \to z_0$$ 容易证明，此极限可以等价于实部、虚部两部分分别极限，并且满足四则运算法则，这本质上是因为复变函数可以被看作是两个二元实变函数的组合。

2.3. 连续性

定义：若：

$$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$$
则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点处连续。

若 $f(z)$ 在 $D$ 上任意一点连续，则称 $f(z)$ 是 $D$ 上连续函数。

定理：函数连续点上进行四则运算（除法分母不为零）或者复合，则得到的新函数在指定点仍连续。

若 $f(z)$ 在闭区域 $\overline{D}$ 上连续，则 $|f(z)|$ 在 $\overline{D}$ 上能取到最大、小值。

 复变 笔记