复变函数引论笔记（2）——解析函数

wzf2000
2020年10月13日

复变函数引论笔记（2）——解析函数

Chapter 2. 解析函数

1. 导数及微分

1.1. 导数

定义：$z_0 \in D$，若下列极限：
$$
\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} = A \in \mathbb{C}, \Delta z = \Delta x + \mathrm{i} \Delta y
$$
则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，$A$ 称作 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数，记作 $f^\prime(z_0)$ 或者：
$$
\frac{df}{dz}\Bigg|_{z = z_0}
$$

1.2. 微分

定义：$z_0 \in D$，若在 $z_0$ 一个邻域内有表达式：
$$
f(z_0 + \Delta z) - f(z_0) = A \Delta z + \rho(\Delta z) \Delta z
$$
其中 $A \in \mathbb{C}$ 且：
$$
\lim_{\Delta z \to 0} \rho(\Delta z) = 0
$$
则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可微，$A \Delta z$ 称作它在 $z_0$ 处的微分，表示为：
$$
dw = df = A \Delta z
$$
（$A = f^\prime(z_0) \Rightarrow dw = f^\prime(z_0) \Delta z = f^\prime(z_0) dz$）

具体求导法则与实变函数类似，此处不再赘述。

1.3. 解析函数

定义：任意给定 $z_0 \in \mathbb{C}$，若 $w = f(z)$ 在 $z_0$ 某个邻域内处处可导，则称 $f$ 在 $z_0$ 解析，$z_0$ 称为 $f(z)$ 的解析点；否则，称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点（等价于 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析）。

容易发现，不存在一个函数只在一点解析（解析具有开性质）。

奇点分类：

1. 无定义。
2. 不连续。
3. 不可导。
4. 可导但不解析，如 $f(z) = |z|^2, f(z) = \overline{z}^2$ 在 $z_0 = 0$。

定义：若 $f(z)$ 在 $D$ 上处处解析，则称 $f(z)$ 是 $D$ 上解析函数。

定理：

1. $D$ 上两个解析函数之和差积商（分母不为 $0$）仍在 $D$ 上解析。
2. 设 $g = g(z)$ 在 $D$ 上解析，$w = f(g)$ 在 $G$ 上解析，若 $g(D) \subseteq G$，则 $w = f[g(z)]$ 在 $D$ 上解析。

定义：在整个 $\mathbb{C}$ 上解析的函数称作整函数。

$e.g.$ $P_n(z) = a_n z^n + a_{n - 1} z^{n - 1} + \cdots + a_1 z + a_0 \quad (a_n \not = 0)$。

有理函数 $\dfrac{P_n(z)}{Q_n(z)}$ 在其分母不为 $0$ 处解析。

2. 函数解析的充要条件

2.1. Cauchy-Riemann 方程

函数在一点 $z = x + \mathrm{i} y$ 可导，设：
$$
\Delta z = \Delta x + \mathrm{i} \Delta y \\
f^\prime(z) = \alpha + \mathrm{i} \beta \\
\rho(\Delta z) = \rho_1(\Delta z) + \mathrm{i} \rho_2(\Delta z) = \rho_1 + \mathrm{i} \rho_2
$$
则：
$$
\begin{align*}
f(z + \Delta z) - f(z) & = f^\prime(z) \Delta z + \rho(\Delta z) \Delta z \\
& = \Delta u + \mathrm{i} \Delta v \\
& = u(x + \Delta x, y + \Delta y) - u(x, y) + \mathrm{i} [v(x + \Delta x, y + \Delta y) - v(x, y)] \\
& = (\alpha + \mathrm{i} \beta)(\Delta x + \mathrm{i} \Delta y) + (\rho_1 + \mathrm{i} \rho_2)(\Delta x + \mathrm{i} \Delta y) \\
& = \alpha \Delta x - \beta \Delta y + \rho_1 \Delta x - \rho_2 \Delta y + \mathrm{i} [\beta \Delta x + \alpha \Delta y + \rho_2 \Delta x + \rho_1 \Delta y]
\end{align*} \\
\Rightarrow
\begin{cases}
\Delta u = \alpha \Delta x - \beta \Delta y + \rho_1 \Delta x - \rho_2 \Delta y \\
\Delta v = \beta \Delta x + \alpha \Delta y + \rho_2 \Delta x + \rho_1 \Delta y
\end{cases}
$$
$u = u(x, y)$ 在 $(x, y)$ 可微：$(x, y)$ 某个邻域内，$\Delta u = A \Delta x + B \Delta y + o\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)$，其中 $A = \dfrac{\partial u}{\partial x}, B = \dfrac{\partial u}{\partial y}$。

于是可得 $u, v$ 在 $(x, y)$ 处可微且 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \alpha, \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\beta, \dfrac{\partial v}{\partial x} = \beta, \dfrac{\partial v}{\partial y} = \alpha$，即得：
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\
\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}
\end{cases}
$$
称之为 Cauchy-Riemann 方程（CR）。

而：
$$
f^\prime(z) = \alpha + \mathrm{i} \beta = \frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} + \mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial x} = u_x - \mathrm{i} u_y = v_y + \mathrm{i} v_x
$$

2.2. 可导的充要条件

定理：函数 $w = f(z)$ 在 $z = x + \mathrm{i} y$ 可导的充要条件是 $u, v$ 在 $(x, y)$ 处可微且满足 CR 条件。

$\Leftarrow$：
$$
\begin{cases}
\Delta u = u_x \Delta x + u_y \Delta y + o(|\Delta z|) \\
\Delta v = v_x \Delta x + v_y \Delta y + o(|\Delta z|)
\end{cases} \\
\begin{align*}
\Rightarrow f(z + \Delta z) - f(z) & = \Delta u + \mathrm{i} \Delta v \\
& = u_x \Delta x + u_y \Delta y + o(\Delta z) + \mathrm{i}[v_x \Delta x + v_y \Delta y + o(\Delta z)] \\
& = (u_x + \mathrm{i} v_x) \Delta x + (u_y + \mathrm{i} v_y) \Delta y + o(|\Delta z|) + \mathrm{i} o(|\Delta z|) \\
& = (u_x + \mathrm{i} v_x) \Delta x + \frac{1}{\mathrm{i}} (u_y + \mathrm{i} v_y)(\mathrm{i} \Delta y) + \rho(\Delta z) \Delta z \\
& = (u_x + \mathrm{i} v_x) \cdot (\Delta x + \mathrm{i} \Delta y) + \rho(\Delta z) \Delta(z)
\end{align*}
$$
于是 $f(z)$ 在 $x + \mathrm{i} y$ 可微。

2.3. 解析的充要条件

定理：函数 $w = f(z) = u + \mathrm{i} v$ 在 $D$ 上解析的充要条件是 $u, v$ 在 $D$ 上处处可微且满足 CR 条件。

推论：若 $u, v \in C^1(D)$ 且 $u, v$ 在 $D$ 上满足 CR 条件，则 $f(z) = u + \mathrm{i} v$ 在 $D$ 上解析。

$e.g.$：

1. $f(z) \equiv C \Leftrightarrow f^\prime(z) = 0$。
2. $f(z) = \overline{z} = x - \mathrm{i} y, f(z) = |z|^2$。
3. $f(z) = u + \mathrm{i} v = e^x(\cos x + \mathrm{i} \sin y) \stackrel{\triangle}{=} e^z$ 是整函数。

2.4. 形式导数

形式导数：$u = u(x, y)$：
$$
\begin{cases}
z = x + \mathrm{i} y \\
\overline z = x - \mathrm{i} y
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \dfrac{z + \overline z}{2} \\
y = \dfrac{z - \overline z}{2 \mathrm{i}}
\end{cases}
$$
于是得到形式导数：
$$
\begin{cases}
u_z = \dfrac{u_x}{2} + \dfrac{u_y}{2 \mathrm{i}} = \dfrac{1}{2} (u_x - \mathrm{i} u_y) \\
u_{\overline z} = \dfrac{u_x}{2} - \dfrac{u_y}{2 \mathrm{i}} = \dfrac{1}{2} (u_x + \mathrm{i} u_y)
\end{cases}
\Rightarrow u_z = \overline{u_{\overline z}} \Leftrightarrow \overline{u_z} = u_{\overline z}
$$
这个相等是由于 $u$ 为实变函数。

而：
$$
f(z) = u + \mathrm{i} v = \tilde{f}(z, \overline z) \\
\Rightarrow
\begin{cases}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial u}{\partial z} + \mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial z} = \frac{1}{2} (u_x - \mathrm{i} u_y) + \mathrm{i} \frac{1}{2} (v_x - \mathrm{i} v_y) = \frac{1}{2} (u_x + v_y) + \frac{\mathrm{i}}{2} (v_x - u_y) \\
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \overline z} = \frac{\partial u}{\partial \overline z} + \mathrm{i} \frac{\partial v}{\partial \overline z} = \frac{1}{2} (u_x + \mathrm{i} u_y) + \mathrm{i} \frac{1}{2} (v_x + \mathrm{i} v_y) = \frac{1}{2} (u_x - v_y) + \frac{\mathrm{i}}{2} (v_x + u_y)
\end{cases}
$$
则 $\dfrac{\partial f}{\partial \overline z} = 0 \Leftrightarrow$ CR 条件，并且在此条件下 $\dfrac{\partial f}{\partial z} = u_x + \mathrm{i} v_x = f^\prime(z)$。

$e.g.$：

1. $f(z) = \overline z, f_z = 0, f_{\overline z} = 1$，因此处处不可导。
2. $f(z) = |z|^2 = z \overline z, f_z = \overline{z}, f_{\overline z} = z$，因此只有 $z = 0$ 可导。
3. $f(z) = \overline{z}^2, f_z = 0, f_{\overline z} = 2 \overline z$，因此只有 $z = 0$ 可导。

3. 初等函数

3.1. 指数函数

$$
(e^x)^\prime = e^x, e^x \in C^\infty(\mathbb{R})
$$

希望找到函数 $w = f(z)$ 使得：

1. $f(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上解析。
2. $f^\prime(z) = f(z)$。
3. $f(z)$ 限制在 $\mathbb{R}$ 上，就是 $e^x$，$i.e.$ 当 $\Im z = y = 0$ 时，$f(z) = e^x$。

可期待：取 $f(z) = e^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y)$。

可验证下述条件确定函数的唯一性：
$$
f(z) = u + \mathrm{i} v = f^\prime(z) = u_x + \mathrm{i} v_x \\
\Rightarrow
\begin{cases}
u_x = v_y = u \\
u_y = -v_x = -v \\
u(x, 0) = e^x, v(x, 0) = 0
\end{cases}
$$
定义：指数函数：
$$
\exp z \stackrel{\triangle}{=} e^x (\cos y + \mathrm{i} \sin y)
$$
性质：

1. $\exp z$ 是整函数且 $(\exp z)^\prime = \exp z$。
2. $\exp (z_1 + z_2) = \exp z_1 \exp z_2$。
3. $\exp (-z) = \dfrac{1}{\exp z}$。
4. $\exp z \not = 0, \quad \forall z \in \mathbb{C}$。
5. $\exp (z + T) = \exp z, \quad T = 2k \pi \mathrm{i}, k \in \mathbb{Z}$。

引入符号：
$$
e^z \stackrel{\triangle}{=} \exp z
$$

3.2. 对数函数

定义为指数函数的反函数，$i.e.$ 把满足方程 $e^w = z$ 的函数 $w = f(z)$ 称为对数函数。
$$
w = u + \mathrm{i} v = f(z) \Rightarrow e^{u + \mathrm{i} v} = z = |z| e^{\mathrm{Arg} \, z} \not = 0 \\
\Rightarrow
\begin{cases}
e^u = |z| \Rightarrow u = \ln |z| \\
v = \mathrm{Arg} \, z = \mathrm{arg} \, z + 2k \pi & k \in \mathbb{Z}
\end{cases} \\
\Rightarrow w = f(z) = u + \mathrm{i} v = \ln |z| + \mathrm{i} \mathrm{Arg} \, z \quad (z \not = 0)
$$
定义：对数函数：
$$
\mathrm{Ln} \, z \stackrel{\triangle}{=} \ln |z| + \mathrm{i} \mathrm{Arg} \, z = \ln |z| + \mathrm{i} (\mathrm{arg} \, z + 2k \pi) \\
w_k \stackrel{\triangle}{=} \ln |z| + \mathrm{i} (\mathrm{arg} \, z + 2k \pi), k \text{ 固定} \\
w_0 = \ln |z| + \mathrm{i} \mathrm{arg} \, z \stackrel{\triangle}{=} \ln z
$$
$w_0$ 称之为主值分支。

性质：

1. $\ln z$ 在 $\mathbb{C} \backslash (-\infty, 0]$ 上解析且 $\dfrac{d \ln z}{d z} = \dfrac{d w_k}{dz} = \dfrac{1}{z}$。（利用反函数导数性质）
2. $\mathrm{Ln} \, (z_1 z_2) = \mathrm{Ln} \, z_1 + \mathrm{Ln} \, z_2$，但 $\mathrm{Ln} \, z^n = \underbrace{\mathrm{Ln} \, z + \cdots + \mathrm{Ln} \, z}_{n} \not = n \mathrm{Ln} \, z$，$\mathrm{Ln} \, \sqrt[n]{z} = \dfrac{1}{n} \mathrm{Ln} \, z$。

3.3. 幂函数

定义：
$$
\begin{align*}
w & = z^b \stackrel{\triangle}{=} \exp (b \, \mathrm{Ln} \, z) \quad (b \in \mathbb{C}) \\
& = e^{b \, \mathrm{Ln} z} = e^{b (\ln z + \mathrm{i} 2k \pi)} \\
& = e^{b \ln z} \cdot e^{\mathrm{i} 2bk \pi}
\end{align*}
$$
故：

1. 当 $b \in \mathbb{Z}$ 时，$z^b$ 单值。
2. 当 $b \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}, b = \dfrac{m}{n}$ 时，$z^b = e^{b \ln z} \cdot \exp \dfrac{\mathrm{i} 2km \pi}{n}$ 为 $n$ 值。
3. 当 $b \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ 时，$z^b$ 为无穷多值。
4. 当 $b \in \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}, b = \alpha + \mathrm{i} \beta$ 时，可知模长 $e^{-2\beta k \pi}$ 无穷多，故存在无穷多值。

性质：

1. $z^b$ 在 $\mathbb{C} \backslash (-\infty, 0]$ 上解析。
2. $(z^b)^\prime = b z^{b - 1}, z^{a + b} = z^a \cdot z^b, z^{-b} = \dfrac{1}{z^b}$。（两边同取第 $k$ 分支）

3.4. 三角函数

根据指数函数，取 $z = \pm \mathrm{i} y$ 可得：
$$
\begin{cases}
\cos y = \dfrac{e^{\mathrm{i} y} + e^{-\mathrm{i} y}}{2} \\
\sin y = \dfrac{e^{\mathrm{i} y} - e^{-\mathrm{i} y}}{2 \mathrm{i}}
\end{cases}
$$
定义：
$$
\begin{cases}
\cos z = \dfrac{e^{\mathrm{i} z} + e^{-\mathrm{i} z}}{2} \\
\sin z = \dfrac{e^{\mathrm{i} z} - e^{-\mathrm{i} z}}{2 \mathrm{i}}
\end{cases}
$$
而 $\tan z = \dfrac{\sin z}{\cos z}$。

性质：

1. $\sin z, \cos z$ 为整函数且 $(\sin z)^\prime = \cos z, (\cos z)^\prime = -\sin z$。
2. $\cos (-z) = \cos z, \sin (-z) = - \sin z$。
3. $T = 2k \pi(k \not = 0, k \in \mathbb{Z})$ 是 $\sin z, \cos z$ 的周期。
4. $\sin z, \cos z$ 无界。
5. $\sin (z_1 \pm z_2) = \sin z_1 \cos z_2 \pm \cos z_1 \sin z_2, \cos (z_1 \pm z_2) = \cos z_1 \cos z_2 \mp \sin z_1 \sin z_2$。
6. Euler 公式：$e^{\mathrm{i} z} = \cos z + \mathrm{i} \sin z$。

3.5. 双曲函数

定义：对于 $z \in \mathbb{C}$：
$$
\begin{cases}
\sinh z = \dfrac{e^z - e^{-z}}{2} \\
\cosh z = \dfrac{e^z + e^{-z}}{2}
\end{cases}
$$
而 $\tanh z = \dfrac{\sinh z}{\cosh z}$。

性质：

1. $\sinh z, \cosh z$ 为整函数且 $(\sinh z)^\prime = \cosh z, (\cosh z)^\prime = \sinh z$。
2. $\cosh (-z) = \cosh z, \sinh (-z) = - \sinh z$。
3. $T = 2 k \pi \mathrm{i}(k \not = 0, k \in \mathbb{Z})$ 是 $\sinh z, \cosh z$ 的周期。
4. $\sinh z, \cosh z$ 无界。
5. $\sinh(z_1 \pm z_2) = \sinh z_1 \cosh z_2 \pm \cosh z_1 \sinh z_2, \cosh(z_1 \pm z_2) = \cosh z_1 \cosh z_
   2 \pm \sinh z_1 \sinh z_2$。
6. $e^z = \cosh z + \sinh z$。

 复变 笔记