复变函数引论笔记(1)——复数及复变函数

复变函数引论笔记(1)——复数及复变函数

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Chapter 1. 复数及复变函数

1. 复数

1.1. 定义

$$
\mathbb{C} = \{z = x + \mathrm{i} y, x, y \in \mathbb{R}\} \stackrel{\sim}{=} \mathbb{R}^2 \\
z \sim (x, y) \in \mathbb{R}^2
$$

(复化)

又有:
$$
z = r e^{\mathrm{i} \theta}, r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$

  1. $z = 0, r = 0, \theta \in \mathbb{R}$,辐角不确定。
  2. $z \not = 0, r \not = 0, \theta \stackrel{\triangle}{=} \mathrm{Arg} \, z = \mathrm{arg} \, z + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}, \mathrm{arg} \, z \in (-\pi, \pi]([0, 2\pi))$,$\mathrm{arg} \, z$ 称为主辐角,$\mathrm{Arg} \, z$ 为集合。

有性质:
$$
\mathrm{Arg}(z_1 z_2) = \mathrm{Arg} \, z_1 + \mathrm{Arg} \, z_2 \\
\mathrm{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \mathrm{Arg} \, z_1 - \mathrm{Arg} \, z_2
$$
De Moivre(棣莫弗)公式
$$
(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)^n = \cos n \theta + \mathrm{i} \sin n \theta
$$
共轭运算:
$$
\overline{z} = \overline{x + \mathrm{i} y} = x - \mathrm{i} y
$$
其与四则运算完全可交换,如:
$$
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}
$$

1.2. 区域与曲线

  1. 区域:连通的开集,Domain,$D \subseteq \mathbb{C}$。

    闭区域,$D$ 有界,$D \cup \partial D$。

  2. 曲线
    $$
    C \subseteq \mathbb{R}^2:
    \begin{cases}
    x = x(t) \\
    y = y(t)
    \end{cases}, t \in [a, b] \\
    C \subseteq \mathbb{C}: z = z(t) = x(t) + \mathrm{i} y(t), t \in [a, b]
    $$
    分类:

    1. 连续曲线:$x(t), y(t) \in C[a, b]$。

    2. 光滑曲线:$x(t), y(t) \in C^1[a, b]$ 且 $z^\prime(t) = x^\prime(t) + \mathrm{i} y^\prime(t) \not = 0, \forall t \in [a, b]$(只需有一种参数表示满足即可)。

      导曲线:

    $$
    C^\prime: z^\prime(t) \stackrel{\triangle}{=} x^\prime(t) + \mathrm{i} y^\prime(t), t \in [a, b]
    $$

    1. 分逐段光滑曲线。

    2. 简单曲线(无重点),封闭曲线。

1.3. 扩充复平面

$\{\infty\}$ 表示唯一一个无穷远点。
$$
\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\} \\
S^2 : x^2 + y^2 + u^2 = 1 \\
P : S^2 \to \overline{\mathbb{C}} \\
\quad \quad \quad \ \ Z \mapsto z \in \mathbb{C} \\
\quad \quad \, N \mapsto \infty
$$
其中 $z$ 通过球面的北极 $N$ 与 $Z$ 相连跟 $x, y$ 坐标平面相交得到。

这种一一对应方法得到的球面称为复球面。

:$\infty$ 无方向,$|\infty| = +\infty$。

$z \to \infty \Leftrightarrow |z| \to +\infty, z \to 0 \Leftrightarrow |z| \to 0$。

2. 复变函数

2.1. 意义

定义:设 $G \subseteq \mathbb{C}$ 为一集合,给定从 $G$ 到 $\mathbb{C}$ 上一个对应规则 $f$,$s.t.$ 对 $\forall z = x + \mathrm{i} y \in G$,都有一个或多个 $w = u + \mathrm{i} v \in \mathbb{C}$ 与之对应,则称 $w$ 是复变数 $z$ 的函数(简称复变函数),记作 $w = f(z)$。(泛意义下)

$k \equiv 0$,$w = \mathrm{arg} \, z$ 称之为 $w = \mathrm{Arg} \, z$ 的主值分支。
$$
\begin{align*}
w &= \sqrt[n]{z}(n \ge 2) \\
& =
\begin{cases}
0 & z = 0 \\
|z|^{\frac{1}{n}} e^{\displaystyle \mathrm{i} \frac{\mathrm{Arg} \, z}{n}} & otherwise \\
= |z|^{\frac{1}{n}} e^{\displaystyle \mathrm{i} \frac{\mathrm{arg} \, z + 2k \pi}{n}} & k = 0, 1, 2. \cdots, n - 1
\end{cases}
\end{align*}
$$
单值函数:映射。

多值函数:存在一对多。
$$
G^* = \{w \in \mathbb{C} | w = f(z), z \in G\}
$$
称之为像域(像集合),$f^{-1} : G^* \to \mathbb{C}$ 为反函数。

$e.g.$ $w = f(z) = \sqrt[n]{z}$ 与 $z = f^{-1}(w) = w^n$ 互为反函数。

2.2. 函数极限

定义:设 $w = f(z)$ 意义与 $0 < |z - z_0| < \rho$ 上,假设存在 $A \in \mathbb{C}$,对于任意给定的 $\varepsilon > 0$,都 $\exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 \ s.t.$ 当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时有: $$ |f(z) - A| < \varepsilon $$ 则称当 $z \to z_0$ 时,$f(z)$ 以 $A$ 为极限,记作: $$ \lim_{z \to z_0} f(z) = A \quad or \quad f(z) \to A, z \to z_0 $$ 容易证明,此极限可以等价于实部、虚部两部分分别极限,并且满足四则运算法则,这本质上是因为复变函数可以被看作是两个二元实变函数的组合。

2.3. 连续性

定义:若:
$$
\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)
$$
则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点处连续。

若 $f(z)$ 在 $D$ 上任意一点连续,则称 $f(z)$ 是 $D$ 上连续函数。

定理:函数连续点上进行四则运算(除法分母不为零)或者复合,则得到的新函数在指定点仍连续。

若 $f(z)$ 在闭区域 $\overline{D}$ 上连续,则 $|f(z)|$ 在 $\overline{D}$ 上能取到最大、小值。

 

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