
复变函数引论笔记(2)——解析函数
Chapter 2. 解析函数
1. 导数及微分
1.1. 导数
定义:z0∈D,若下列极限:
limΔz→0f(z0+Δz)–f(z0)Δz=A∈C,Δz=Δx+iΔy
则称 f(z) 在 z0 处可导,A 称作 f(z) 在 z0 处的导数,记作 f′(z0) 或者:
dfdz|z=z0
1.2. 微分
定义:z0∈D,若在 z0 一个邻域内有表达式:
f(z0+Δz)–f(z0)=AΔz+ρ(Δz)Δz
其中 A∈C 且:
limΔz→0ρ(Δz)=0
则称 f(z) 在 z0 处可微,AΔz 称作它在 z0 处的微分,表示为:
dw=df=AΔz
(A=f′(z0)⇒dw=f′(z0)Δz=f′(z0)dz)
具体求导法则与实变函数类似,此处不再赘述。
1.3. 解析函数
定义:任意给定 z0∈C,若 w=f(z) 在 z0 某个邻域内处处可导,则称 f 在 z0 解析,z0 称为 f(z) 的解析点;否则,称 z0 为 f(z) 的奇点(等价于 f(z) 在 z0 不解析)。
容易发现,不存在一个函数只在一点解析(解析具有开性质)。
奇点分类:
- 无定义。
- 不连续。
- 不可导。
- 可导但不解析,如 f(z)=|z|2,f(z)=¯z2 在 z0=0。
定义:若 f(z) 在 D 上处处解析,则称 f(z) 是 D 上解析函数。
定理:
- D 上两个解析函数之和差积商(分母不为 0)仍在 D 上解析。
- 设 g=g(z) 在 D 上解析,w=f(g) 在 G 上解析,若 g(D)⊆G,则 w=f[g(z)] 在 D 上解析。
定义:在整个 C 上解析的函数称作整函数。
e.g. Pn(z)=anzn+an–1zn–1+⋯+a1z+a0(an≠0)。
有理函数 Pn(z)Qn(z) 在其分母不为 0 处解析。
2. 函数解析的充要条件
2.1. Cauchy-Riemann 方程
函数在一点 z=x+iy 可导,设:
Δz=Δx+iΔyf′(z)=α+iβρ(Δz)=ρ1(Δz)+iρ2(Δz)=ρ1+iρ2
则:
f(z+Δz)–f(z)=f′(z)Δz+ρ(Δz)Δz=Δu+iΔv=u(x+Δx,y+Δy)–u(x,y)+i[v(x+Δx,y+Δy)–v(x,y)]=(α+iβ)(Δx+iΔy)+(ρ1+iρ2)(Δx+iΔy)=αΔx–βΔy+ρ1Δx–ρ2Δy+i[βΔx+αΔy+ρ2Δx+ρ1Δy]⇒{Δu=αΔx–βΔy+ρ1Δx–ρ2ΔyΔv=βΔx+αΔy+ρ2Δx+ρ1Δy
u=u(x,y) 在 (x,y) 可微:(x,y) 某个邻域内,Δu=AΔx+BΔy+o(√Δx2+Δy2),其中 A=∂u∂x,B=∂u∂y。
于是可得 u,v 在 (x,y) 处可微且 ∂u∂x=α,∂u∂y=−β,∂v∂x=β,∂v∂y=α,即得:
{∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x
称之为 Cauchy-Riemann 方程(CR)。
而:
f′(z)=α+iβ=∂u∂x–i∂u∂y=∂v∂y+i∂v∂x=ux–iuy=vy+ivx
2.2. 可导的充要条件
定理:函数 w=f(z) 在 z=x+iy 可导的充要条件是 u,v 在 (x,y) 处可微且满足 CR 条件。
⇐:
{Δu=uxΔx+uyΔy+o(|Δz|)Δv=vxΔx+vyΔy+o(|Δz|)⇒f(z+Δz)–f(z)=Δu+iΔv=uxΔx+uyΔy+o(Δz)+i[vxΔx+vyΔy+o(Δz)]=(ux+ivx)Δx+(uy+ivy)Δy+o(|Δz|)+io(|Δz|)=(ux+ivx)Δx+1i(uy+ivy)(iΔy)+ρ(Δz)Δz=(ux+ivx)⋅(Δx+iΔy)+ρ(Δz)Δ(z)
于是 f(z) 在 x+iy 可微。
2.3. 解析的充要条件
定理:函数 w=f(z)=u+iv 在 D 上解析的充要条件是 u,v 在 D 上处处可微且满足 CR 条件。
推论:若 u,v∈C1(D) 且 u,v 在 D 上满足 CR 条件,则 f(z)=u+iv 在 D 上解析。
e.g.:
- f(z)≡C⇔f′(z)=0。
- f(z)=¯z=x–iy,f(z)=|z|2。
- f(z)=u+iv=ex(cosx+isiny)△=ez 是整函数。
2.4. 形式导数
形式导数:u=u(x,y):
{z=x+iy¯z=x–iy⇔{x=z+¯z2y=z–¯z2i
于是得到形式导数:
{uz=ux2+uy2i=12(ux–iuy)u¯z=ux2–uy2i=12(ux+iuy)⇒uz=¯u¯z⇔¯uz=u¯z
这个相等是由于 u 为实变函数。
而:
f(z)=u+iv=˜f(z,¯z)⇒{∂f∂z=∂u∂z+i∂v∂z=12(ux–iuy)+i12(vx–ivy)=12(ux+vy)+i2(vx–uy)∂f∂¯z=∂u∂¯z+i∂v∂¯z=12(ux+iuy)+i12(vx+ivy)=12(ux–vy)+i2(vx+uy)
则 ∂f∂¯z=0⇔ CR 条件,并且在此条件下 ∂f∂z=ux+ivx=f′(z)。
e.g.:
- f(z)=¯z,fz=0,f¯z=1,因此处处不可导。
- f(z)=|z|2=z¯z,fz=¯z,f¯z=z,因此只有 z=0 可导。
- f(z)=¯z2,fz=0,f¯z=2¯z,因此只有 z=0 可导。
3. 初等函数
3.1. 指数函数
(ex)′=ex,ex∈C∞(R)
希望找到函数 w=f(z) 使得:
- f(z) 在 C 上解析。
- f′(z)=f(z)。
- f(z) 限制在 R 上,就是 ex,i.e. 当 ℑz=y=0 时,f(z)=ex。
可期待:取 f(z)=ex(cosy+isiny)。
可验证下述条件确定函数的唯一性:
f(z)=u+iv=f′(z)=ux+ivx⇒{ux=vy=uuy=−vx=−vu(x,0)=ex,v(x,0)=0
定义:指数函数:
expz△=ex(cosy+isiny)
性质:
- expz 是整函数且 (expz)′=expz。
- exp(z1+z2)=expz1expz2。
- exp(−z)=1expz。
- expz≠0,∀z∈C。
- exp(z+T)=expz,T=2kπi,k∈Z。
引入符号:
ez△=expz
3.2. 对数函数
定义为指数函数的反函数,i.e. 把满足方程 ew=z 的函数 w=f(z) 称为对数函数。
w=u+iv=f(z)⇒eu+iv=z=|z|eArgz≠0⇒{eu=|z|⇒u=ln|z|v=Argz=argz+2kπk∈Z⇒w=f(z)=u+iv=ln|z|+iArgz(z≠0)
定义:对数函数:
Lnz△=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(argz+2kπ)wk△=ln|z|+i(argz+2kπ),k 固定w0=ln|z|+iargz△=lnz
w0 称之为主值分支。
性质:
- lnz 在 C∖(−∞,0] 上解析且 dlnzdz=dwkdz=1z。(利用反函数导数性质)
- Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2,但 Lnzn=Lnz+⋯+Lnz⏟n≠nLnz,Lnn√z=1nLnz。
3.3. 幂函数
定义:
w=zb△=exp(bLnz)(b∈C)=ebLnz=eb(lnz+i2kπ)=eblnz⋅ei2bkπ
故:
- 当 b∈Z 时,zb 单值。
- 当 b∈Q∖Z,b=mn 时,zb=eblnz⋅expi2kmπn 为 n 值。
- 当 b∈R∖Q 时,zb 为无穷多值。
- 当 b∈C∖R,b=α+iβ 时,可知模长 e−2βkπ 无穷多,故存在无穷多值。
性质:
- zb 在 C∖(−∞,0] 上解析。
- (zb)′=bzb–1,za+b=za⋅zb,z−b=1zb。(两边同取第 k 分支)
3.4. 三角函数
根据指数函数,取 z=±iy 可得:
{cosy=eiy+e−iy2siny=eiy–e−iy2i
定义:
{cosz=eiz+e−iz2sinz=eiz–e−iz2i
而 tanz=sinzcosz。
性质:
- sinz,cosz 为整函数且 (sinz)′=cosz,(cosz)′=−sinz。
- cos(−z)=cosz,sin(−z)=–sinz。
- T=2kπ(k≠0,k∈Z) 是 sinz,cosz 的周期。
- sinz,cosz 无界。
- sin(z1±z2)=sinz1cosz2±cosz1sinz2,cos(z1±z2)=cosz1cosz2∓sinz1sinz2。
- Euler 公式:eiz=cosz+isinz。
3.5. 双曲函数
定义:对于 z∈C:
{sinhz=ez–e−z2coshz=ez+e−z2
而 tanhz=sinhzcoshz。
性质:
- sinhz,coshz 为整函数且 (sinhz)′=coshz,(coshz)′=sinhz。
- cosh(−z)=coshz,sinh(−z)=–sinhz。
- T=2kπi(k≠0,k∈Z) 是 sinhz,coshz 的周期。
- sinhz,coshz 无界。
- sinh(z1±z2)=sinhz1coshz2±coshz1sinhz2,cosh(z1±z2)=coshz1coshz2±sinhz1sinhz2。
- ez=coshz+sinhz。
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