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复变函数引论笔记(2)——解析函数

复变函数引论笔记(2)——解析函数

Chapter 2. 解析函数

1. 导数及微分

1.1. 导数

定义z0D,若下列极限:
limΔz0f(z0+Δz)f(z0)Δz=AC,Δz=Δx+iΔy
则称 f(z)z0 处可导,A 称作 f(z)z0 处的导数,记作 f(z0) 或者:
dfdz|z=z0

1.2. 微分

定义z0D,若在 z0 一个邻域内有表达式:
f(z0+Δz)f(z0)=AΔz+ρ(Δz)Δz
其中 AC 且:
limΔz0ρ(Δz)=0
则称 f(z)z0 处可微,AΔz 称作它在 z0 处的微分,表示为:
dw=df=AΔz
A=f(z0)dw=f(z0)Δz=f(z0)dz

具体求导法则与实变函数类似,此处不再赘述。

1.3. 解析函数

定义:任意给定 z0C,若 w=f(z)z0 某个邻域内处处可导,则称 fz0 解析,z0 称为 f(z) 的解析点;否则,称 z0f(z) 的奇点(等价于 f(z)z0 不解析)。

容易发现,不存在一个函数只在一点解析(解析具有开性质)。

奇点分类

  1. 无定义。
  2. 不连续。
  3. 不可导。
  4. 可导但不解析,如 f(z)=|z|2,f(z)=¯z2z0=0

定义:若 f(z)D 上处处解析,则称 f(z)D 上解析函数。

定理

  1. D 上两个解析函数之和差积商(分母不为 0)仍在 D 上解析。
  2. g=g(z)D 上解析,w=f(g)G 上解析,若 g(D)G,则 w=f[g(z)]D 上解析。

定义在整个 C 上解析的函数称作整函数

e.g. Pn(z)=anzn+an1zn1++a1z+a0(an0)

有理函数 Pn(z)Qn(z) 在其分母不为 0 处解析。

2. 函数解析的充要条件

2.1. Cauchy-Riemann 方程

函数在一点 z=x+iy 可导,设:
Δz=Δx+iΔyf(z)=α+iβρ(Δz)=ρ1(Δz)+iρ2(Δz)=ρ1+iρ2
则:
f(z+Δz)f(z)=f(z)Δz+ρ(Δz)Δz=Δu+iΔv=u(x+Δx,y+Δy)u(x,y)+i[v(x+Δx,y+Δy)v(x,y)]=(α+iβ)(Δx+iΔy)+(ρ1+iρ2)(Δx+iΔy)=αΔxβΔy+ρ1Δxρ2Δy+i[βΔx+αΔy+ρ2Δx+ρ1Δy]{Δu=αΔxβΔy+ρ1Δxρ2ΔyΔv=βΔx+αΔy+ρ2Δx+ρ1Δy
u=u(x,y)(x,y) 可微:(x,y) 某个邻域内,Δu=AΔx+BΔy+o(Δx2+Δy2),其中 A=ux,B=uy

于是可得 u,v(x,y) 处可微且 ux=α,uy=β,vx=β,vy=α,即得:
{ux=vyuy=vx
称之为 Cauchy-Riemann 方程(CR)

而:
f(z)=α+iβ=uxiuy=vy+ivx=uxiuy=vy+ivx

2.2. 可导的充要条件

定理:函数 w=f(z)z=x+iy 可导的充要条件是 u,v(x,y) 处可微且满足 CR 条件。


{Δu=uxΔx+uyΔy+o(|Δz|)Δv=vxΔx+vyΔy+o(|Δz|)f(z+Δz)f(z)=Δu+iΔv=uxΔx+uyΔy+o(Δz)+i[vxΔx+vyΔy+o(Δz)]=(ux+ivx)Δx+(uy+ivy)Δy+o(|Δz|)+io(|Δz|)=(ux+ivx)Δx+1i(uy+ivy)(iΔy)+ρ(Δz)Δz=(ux+ivx)(Δx+iΔy)+ρ(Δz)Δ(z)
于是 f(z)x+iy 可微。

2.3. 解析的充要条件

定理:函数 w=f(z)=u+ivD 上解析的充要条件是 u,vD 上处处可微且满足 CR 条件。

推论:若 u,vC1(D)u,vD 上满足 CR 条件,则 f(z)=u+ivD 上解析。

e.g.

  1. f(z)Cf(z)=0
  2. f(z)=¯z=xiy,f(z)=|z|2
  3. f(z)=u+iv=ex(cosx+isiny)=ez 是整函数。

2.4. 形式导数

形式导数u=u(x,y)
{z=x+iy¯z=xiy{x=z+¯z2y=z¯z2i
于是得到形式导数:
{uz=ux2+uy2i=12(uxiuy)u¯z=ux2uy2i=12(ux+iuy)uz=¯u¯z¯uz=u¯z
这个相等是由于 u 为实变函数。

而:
f(z)=u+iv=˜f(z,¯z){fz=uz+ivz=12(uxiuy)+i12(vxivy)=12(ux+vy)+i2(vxuy)f¯z=u¯z+iv¯z=12(ux+iuy)+i12(vx+ivy)=12(uxvy)+i2(vx+uy)
f¯z=0 CR 条件,并且在此条件下 fz=ux+ivx=f(z)

e.g.

  1. f(z)=¯z,fz=0,f¯z=1,因此处处不可导。
  2. f(z)=|z|2=z¯z,fz=¯z,f¯z=z,因此只有 z=0 可导。
  3. f(z)=¯z2,fz=0,f¯z=2¯z,因此只有 z=0 可导。

3. 初等函数

3.1. 指数函数

(ex)=ex,exC(R)

希望找到函数 w=f(z) 使得:

  1. f(z)C 上解析。
  2. f(z)=f(z)
  3. f(z) 限制在 R 上,就是 exi.e.z=y=0 时,f(z)=ex

可期待:取 f(z)=ex(cosy+isiny)

可验证下述条件确定函数的唯一性:
f(z)=u+iv=f(z)=ux+ivx{ux=vy=uuy=vx=vu(x,0)=ex,v(x,0)=0
定义:指数函数:
expz=ex(cosy+isiny)
性质

  1. expz 是整函数且 (expz)=expz
  2. exp(z1+z2)=expz1expz2
  3. exp(z)=1expz
  4. expz0,zC
  5. exp(z+T)=expz,T=2kπi,kZ

引入符号:
ez=expz

3.2. 对数函数

定义为指数函数的反函数,i.e. 把满足方程 ew=z 的函数 w=f(z) 称为对数函数。
w=u+iv=f(z)eu+iv=z=|z|eArgz0{eu=|z|u=ln|z|v=Argz=argz+2kπkZw=f(z)=u+iv=ln|z|+iArgz(z0)
定义:对数函数:
Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(argz+2kπ)wk=ln|z|+i(argz+2kπ),k 固定w0=ln|z|+iargz=lnz
w0 称之为主值分支。

性质

  1. lnzC(,0] 上解析且 dlnzdz=dwkdz=1z。(利用反函数导数性质)
  2. Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2,但 Lnzn=Lnz++LnznnLnzLnnz=1nLnz

3.3. 幂函数

定义
w=zb=exp(bLnz)(bC)=ebLnz=eb(lnz+i2kπ)=eblnzei2bkπ
故:

  1. bZ 时,zb 单值。
  2. bQZ,b=mn 时,zb=eblnzexpi2kmπnn 值。
  3. bRQ 时,zb 为无穷多值。
  4. bCR,b=α+iβ 时,可知模长 e2βkπ 无穷多,故存在无穷多值。

性质

  1. zbC(,0] 上解析。
  2. (zb)=bzb1,za+b=zazb,zb=1zb。(两边同取第 k 分支)

3.4. 三角函数

根据指数函数,取 z=±iy 可得:
{cosy=eiy+eiy2siny=eiyeiy2i
定义
{cosz=eiz+eiz2sinz=eizeiz2i
tanz=sinzcosz

性质

  1. sinz,cosz 为整函数且 (sinz)=cosz,(cosz)=sinz
  2. cos(z)=cosz,sin(z)=sinz
  3. T=2kπ(k0,kZ)sinz,cosz 的周期。
  4. sinz,cosz 无界。
  5. sin(z1±z2)=sinz1cosz2±cosz1sinz2,cos(z1±z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2
  6. Euler 公式eiz=cosz+isinz

3.5. 双曲函数

定义:对于 zC
{sinhz=ezez2coshz=ez+ez2
tanhz=sinhzcoshz

性质

  1. sinhz,coshz 为整函数且 (sinhz)=coshz,(coshz)=sinhz
  2. cosh(z)=coshz,sinh(z)=sinhz
  3. T=2kπi(k0,kZ)sinhz,coshz 的周期。
  4. sinhz,coshz 无界。
  5. sinh(z1±z2)=sinhz1coshz2±coshz1sinhz2,cosh(z1±z2)=coshz1coshz2±sinhz1sinhz2
  6. ez=coshz+sinhz

 

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