wzf2000 离散数学笔记（9）——代数系统（续）
Contents
代数结构（代数系统）
陪集与 Lagrange 定理
子群的陪集
设 $\langle G,\cdot \rangle$ 是群，$H \le G$，在 $G$ 的元素之间确定一个二元关系 $R$：
对 $\forall a,b \in G$，$\langle a,b \rangle \in R \Leftrightarrow a^{-1}b \in H$。
则 $R$ 是 $G$ 的二元关系，且是等价关系，因此 $R$ 可以唯一确定 $G$ 的一个划分，其划分就是子群 $H$ 的陪集。
左（右）陪集
设 $H \le G$，对任意 $a \in G$，定义集合：
$$
aH = \{a \cdot h | h \in H\} \\
Ha = \{h \cdot a | h \in H\}
$$
称为由 $a$ 确定的 $H$ 在 $G$ 中的左（右）陪集。
结论：一般 $aH \not = Ha$，但若运算 $\cdot$ 满足交换律，则 $aH = Ha$。
陪集的性质
设 $H \le G$，则：
- $H = eH,a \in aH$
$|aH| = |H|$
$a \in H \Leftrightarrow aH = H$
对 $\forall x \in aH$，有 $aH = xH$。
$aH = bH \Leftrightarrow a \in bH \lor b \in aH \Leftrightarrow b^{-1}a \in H \lor a^{-1}b \in H$
对任何 $a,b \in G$，有 $aH = bH$ 或者 $aH \cap bH = \varnothing$
子群的指数
设 $G$ 是群，$H \le G$，$S_L = \{aH | a \in G\}$，$S_R = \{Ha | a \in G\}$，则存在 $S_L$ 到 $S_R$ 的双射。
定义：设 $G$ 是群，$H \le G$，群 $G$ 关于 $H$ 的左（右）陪集个数，称为 $H$ 在 $G$ 中的指数，记为 $[G:H]$。
子群的阶数——Lagrange 定理
设 $G$ 是有限群，$H \le G$，则：
$$
|G| = |H| [G:H]
$$
推论 1：设 $G$ 是有限群，$H \le G$，则 $|H| | |G|$。
推论 2：设 $G$ 是有限群，且 $|G| = n$，则对任意的 $a \in G$，有 $O(a) | n$ 且 $a^n = e$；若 $n$ 为素数，则 $G$ 为循环群。
代数系统的同态与同构
定义
设 $\langle X,\star \rangle$ 和 $\langle Y,\circ \rangle$ 是两个代数系统，$\star$ 和 $\circ$ 都是二元运算，如果存在映射 $f : X \to Y$，使得对 $\forall x_1,x_2 \in X$，有 $f(x_1 \star x_2) = f(x_1) \circ f(x_2)$——同态（同构）关系式，则称 $f$ 是从 $\langle X,\star \rangle$ 到 $\langle Y,\circ \rangle$ 的同态映射， 简称这两个代数系统同态。记作 $X \backsim Y$，并称 $\langle f(x),\circ \rangle$ 为 $\langle X,\star \rangle$ 的同态像。
如果 $f$ 是满射的，称此同态 $f$ 是满同态。
如果 $f$ 是入射的，则称此同态 $f$ 是单一同态。
如果 $f$ 是双射的，称 $\langle X,\star \rangle$ 与 $\langle Y,\circ \rangle$ 同构，记作 $X \stackrel{\backsim}{=} Y$。
如果 $f$ 是 $\langle X,\star \rangle$ 到 $\langle X,\star \rangle$ 的同态（同构），称之为自同态（同构）。
代数系统的同构关系 $\stackrel{\backsim}{=}$ 是等价关系
代数系统同构的性质
任何代数系统 $\langle X,\star \rangle$，$\langle Y,\oplus \rangle$，$X \stackrel{\backsim}{=} Y$，$f : X \to Y$ 是同构映射，任取 $x_1,x_2 \in X$，有 $f(x_1 \star x_2) = f(x_1) \oplus f(x_2)$。
- （保持结合律）如果运算 $\star$ 可结合，则运算 $\oplus$ 也可结合。
（保持交换律）如果运算 $\star$ 可交换，则运算 $\oplus$ 也可交换。
（保持单位元存在性）如果运算 $\star$ 有单位元 $e_\star$，则运算 $\oplus$ 也有单位元 $e_\oplus$，且 $f(e_\star) = e_\oplus$。
（保持零元存在性）如果运算 $\star$ 有单位元 $\theta_\star$，则运算 $\oplus$ 也有单位元 $\theta_\oplus$，且 $f(\theta_\star) = \theta_\oplus$。
（保持逆元存在性）如果 $\langle X,\star \rangle$ 中每个 $x \in X$ 都可逆，即 $X^{-1} \in X$，则 $\langle Y,\oplus \rangle$ 中每个 $y \in Y$ 也可逆，即 $y^{-1} \in Y$。且如果 $y = f(x)$，则 $y^{-1} = (f(x))^{-1} = f(x^{-1})$。
定理 1：设 $f$ 是代数系统 $\langle X,\star \rangle$ 到代数系统 $\langle Y,\oplus \rangle$ 的同构映射，则：
- 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是半群，那么在 $f$ 的作用下，$\langle Y,\oplus \rangle$ 也是半群。
- 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是独异点，那么在 $f$ 的作用下，$\langle Y,\oplus \rangle$ 也是独异点。
- 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是群，那么在 $f$ 的作用下，$\langle Y,\oplus \rangle$ 也是群。
定理 2：设 $f$ 是代数系统 $\langle X,\star \rangle$ 到代数系统 $\langle Y,\oplus \rangle$ 的同态映射，则：
- 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是半群，那么在 $f$ 的作用下，$\langle f(X),\oplus \rangle$ 也是半群。
- 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是独异点，那么在 $f$ 的作用下，$\langle f(X),\oplus \rangle$ 也是独异点。
- 如果 $\langle X,\star \rangle$ 是群，那么在 $f$ 的作用下，$\langle f(X),\oplus \rangle$ 也是群。
定义：令 $\langle X,+,\times \rangle$ 和 $\langle Y,\oplus,\blacklozenge \rangle$ 是含有两个运算的代数系统，其中 $+,\times,\oplus,\blacklozenge$ 都是二元运算，如果存在双射 $f : X \to Y$，使得对任何 $x_1,x_2 \in X$，满足：
$$
f(x_1 + x_2) = f(x_1) \oplus f(x_2) \\
f(x_1 \times x_2) = f(x_1) \blacklozenge f(x_2)
$$
则称这两个代数系统同构。（保持分配律）如果运算 $+$ 对 $\times$ 可分配，则运算 $\oplus$ 对 $\blacklozenge$ 也可分配。
（保持吸收律）如果运算 $+$ 和 $\times$ 满足吸收律，则运算 $\oplus$ 和 $\blacklozenge$ 也满足吸收律。
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