离散数学笔记（9）——代数系统（续）
代数结构（代数系统）
陪集与 Lagrange 定理
子群的陪集
设 ⟨G,⋅⟩ 是群，H≤G，在 G 的元素之间确定一个二元关系 R：
对 ∀a,b∈G，⟨a,b⟩∈R⇔a−1b∈H。
则 R 是 G 的二元关系，且是等价关系，因此 R 可以唯一确定 G 的一个划分，其划分就是子群 H 的陪集。
左（右）陪集
设 H≤G，对任意 a∈G，定义集合：
aH={a⋅h|h∈H}Ha={h⋅a|h∈H}
称为由 a 确定的 H 在 G 中的左（右）陪集。
结论：一般 aH≠Ha，但若运算 ⋅ 满足交换律，则 aH=Ha。
陪集的性质
设 H≤G，则：
- H=eH,a∈aH
|aH|=|H|
a∈H⇔aH=H
对 ∀x∈aH，有 aH=xH。
aH=bH⇔a∈bH∨b∈aH⇔b−1a∈H∨a−1b∈H
对任何 a,b∈G，有 aH=bH 或者 aH∩bH=∅
子群的指数
设 G 是群，H≤G，SL={aH|a∈G}，SR={Ha|a∈G}，则存在 SL 到 SR 的双射。
定义：设 G 是群，H≤G，群 G 关于 H 的左（右）陪集个数，称为 H 在 G 中的指数，记为 [G:H]。
子群的阶数——Lagrange 定理
设 G 是有限群，H≤G，则：
|G|=|H|[G:H]
推论 1：设 G 是有限群，H≤G，则 |H|||G|。
推论 2：设 G 是有限群，且 |G|=n，则对任意的 a∈G，有 O(a)|n 且 an=e；若 n 为素数，则 G 为循环群。
代数系统的同态与同构
定义
设 ⟨X,⋆⟩ 和 ⟨Y,∘⟩ 是两个代数系统，⋆ 和 ∘ 都是二元运算，如果存在映射 f:X→Y，使得对 ∀x1,x2∈X，有 f(x1⋆x2)=f(x1)∘f(x2)——同态（同构）关系式，则称 f 是从 ⟨X,⋆⟩ 到 ⟨Y,∘⟩ 的同态映射， 简称这两个代数系统同态。记作 X∽Y，并称 ⟨f(x),∘⟩ 为 ⟨X,⋆⟩ 的同态像。
如果 f 是满射的，称此同态 f 是满同态。
如果 f 是入射的，则称此同态 f 是单一同态。
如果 f 是双射的，称 ⟨X,⋆⟩ 与 ⟨Y,∘⟩ 同构，记作 X∽=Y。
如果 f 是 ⟨X,⋆⟩ 到 ⟨X,⋆⟩ 的同态（同构），称之为自同态（同构）。
代数系统的同构关系 ∽= 是等价关系
代数系统同构的性质
任何代数系统 ⟨X,⋆⟩，⟨Y,⊕⟩，X∽=Y，f:X→Y 是同构映射，任取 x1,x2∈X，有 f(x1⋆x2)=f(x1)⊕f(x2)。
- （保持结合律）如果运算 ⋆ 可结合，则运算 ⊕ 也可结合。
（保持交换律）如果运算 ⋆ 可交换，则运算 ⊕ 也可交换。
（保持单位元存在性）如果运算 ⋆ 有单位元 e⋆，则运算 ⊕ 也有单位元 e⊕，且 f(e⋆)=e⊕。
（保持零元存在性）如果运算 ⋆ 有单位元 θ⋆，则运算 ⊕ 也有单位元 θ⊕，且 f(θ⋆)=θ⊕。
（保持逆元存在性）如果 ⟨X,⋆⟩ 中每个 x∈X 都可逆，即 X−1∈X，则 ⟨Y,⊕⟩ 中每个 y∈Y 也可逆，即 y−1∈Y。且如果 y=f(x)，则 y−1=(f(x))−1=f(x−1)。
定理 1：设 f 是代数系统 ⟨X,⋆⟩ 到代数系统 ⟨Y,⊕⟩ 的同构映射，则：
- 如果 ⟨X,⋆⟩ 是半群，那么在 f 的作用下，⟨Y,⊕⟩ 也是半群。
- 如果 ⟨X,⋆⟩ 是独异点，那么在 f 的作用下，⟨Y,⊕⟩ 也是独异点。
- 如果 ⟨X,⋆⟩ 是群，那么在 f 的作用下，⟨Y,⊕⟩ 也是群。
定理 2：设 f 是代数系统 ⟨X,⋆⟩ 到代数系统 ⟨Y,⊕⟩ 的同态映射，则：
- 如果 ⟨X,⋆⟩ 是半群，那么在 f 的作用下，⟨f(X),⊕⟩ 也是半群。
- 如果 ⟨X,⋆⟩ 是独异点，那么在 f 的作用下，⟨f(X),⊕⟩ 也是独异点。
- 如果 ⟨X,⋆⟩ 是群，那么在 f 的作用下，⟨f(X),⊕⟩ 也是群。
定义：令 ⟨X,+,×⟩ 和 ⟨Y,⊕,⧫⟩ 是含有两个运算的代数系统，其中 +,×,⊕,⧫ 都是二元运算，如果存在双射 f:X→Y，使得对任何 x1,x2∈X，满足：
f(x1+x2)=f(x1)⊕f(x2)f(x1×x2)=f(x1)⧫f(x2)
则称这两个代数系统同构。（保持分配律）如果运算 + 对 × 可分配，则运算 ⊕ 对 ⧫ 也可分配。
（保持吸收律）如果运算 + 和 × 满足吸收律，则运算 ⊕ 和 ⧫ 也满足吸收律。
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