线性代数笔记（12）——行列式

线性代数笔记（12）——行列式

行列式

给定一个 $n$ 阶矩阵 $A$，我们来定义 $A$ 的行列式 $\det A = |A|$，它是一个数。

因此，行列式可以理解为一个函数：

$$M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$$

二阶行列式的几何含义

设 $A = (\alpha,\beta)$，$\det A$ 即为平行四边形 $S$ 的”有向“面积。

从 $\alpha$ 到 $\beta$ 是逆时针取 $+$，否则取 $-$，则 $\det A = |\alpha,\beta|$。

性质：

1. $k \Bigg |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} ka & b \\ kc & d \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} a & kb \\ c & kd \end{matrix} \Bigg |$
2. $\Bigg |\begin{matrix} a & b_1 + b_2 \\ c & d_1 + d_2 \end{matrix} \Bigg | = \Bigg |\begin{matrix} a & b_1 \\ c & d_1 \end{matrix} \Bigg | + \Bigg |\begin{matrix} a & b_2 \\ c & d_2 \end{matrix} \Bigg |$
3. $\Bigg |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \Bigg | = – \Bigg |\begin{matrix} b & a \\ d & c \end{matrix} \Bigg |$

一般行列式的定义

满足：

1. $|I_n| = \det (I_n) = 1$。
2. 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),B = (\alpha_1,\cdots,k\alpha_i,\cdots,\alpha_n)$，则 $k \det(A) = \det(B)$。
3. 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n),A’ = (\alpha_1,\cdots,\alpha_i’,\cdots,\alpha_n),B = (\alpha_1,\cdots,\alpha_i + \alpha_i’,\cdots,\alpha_n)$，则 $\det(B) = \det(A) + \det(A’)$。
4. $\det(A) = \det(A^T)$。
5. 设 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，交换 $A$ 的任意两列得到矩阵 $C$，则 $\det(A) = – \det(C)$。

注：

1. 有第 4 条可知，以上性质对“行”也有类似性质。
2. 通过第 1、2、3 和 5 条就可以定义行列式。

行列式和初等变换

根据上述定义可以有以下推论：

1. 设 $A$ 的两行（列）成比例，则 $\det A = 0$。
2. 将 $A$ 的某一行（列）乘上一倍数加到另一行（列），得到矩阵 $A’$，则 $\det A = \det A’$。（行倍乘变换不改变行列式）

再根据定义，可以得到各种初等行变换对矩阵行列式的影响。

定理：设 $A$ 通过初等行变换 $E$，得到 $A’$，即 $A’ = EA$，则 $|A’| = |E| \cdot |A|$。

注：上（下）三角形的行列式 $|A|$ 等于对角线元素相乘。

推论：

1. 设 $A$ 是一 $n$ 阶方阵，$|A| \not = 0 \Leftrightarrow A$ 可逆。
2. 设 $A,B$ 是两 $n$ 阶方阵，则 $|AB| = |A| \cdot |B|$。
3. 若 $A$ 可逆，则 $\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1}$。

第一条证明考虑设出行变换 $E$ 使得 $EA = U$，根据 $\det U = 0$ 得出 $\det A = 0$。

第二条通过 $B$ 不可逆时 $\dfrac{|AB|}{|B|}$ 满足 $A$ 的行列式的要求，得出 $|A| \cdot |B| = |AB|$。

第三条由第二条立即可知，进一步可知正交阵的行列式只能为 $\pm 1$。

行列式的计算

行列式计算公式和展开定理

方法 1：

$$|A| = \sum_{P} (-1)^{r(P)} \prod_{i = 1}^n a_{iP_i}$$
其中 $P$ 表示枚举 $1 \sim n$ 的所有排列，$r(P)$ 表示排列 $P$ 的逆序（对）数，也就是满足 $i < j,P_i > P_j$ 的 $(i,j)$ 的对数。

定义奇（偶）排列为 $r(P)$ 为奇（偶）数的排列。

注：交换排列中两个数的位置，这种操作称为对换。一次对换会使得奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。

方法 2：

将 $A$ 行列消去，在写成 $n – 1$ 阶行列式的组合，这样可以递归计算。

定义：设 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，$M_{ij}$ 是 $A$ 划去第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的 $n – 1$ 阶矩阵。

$\det M_{ij}$ 称为余子式。

$C_{ij} = (-1)^{i + j} \det M_{ij}$ 称为代数余子式。

定理：

$$|A| = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} \\ = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}$$

范德蒙德行列式

$$D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_1^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n – 1} & x_2^{n – 1} & \cdots & x_n^{n – 1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$$

典型例题

设 $A_{m \times n},B_{n \times m}$，则 $|I_m – AB| = |I_n – BA|$。

证明：

$$\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ -B & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m & A \\ B & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_m & A \\ 0 & I_n – BA \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} I_m & A \\ B & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ -B & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_m – AB & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$$
而（考虑行列式计算公式）：
$$\begin{vmatrix} A & B \\ 0 & C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & 0 \\ B & C \end{vmatrix} = |A| |C|$$
故：
$$\begin{vmatrix} I_m & A \\ B & I_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} I_m & A \\ 0 & I_n – BA \end{vmatrix} = |I_n – BA| = \begin{vmatrix} I_m – AB & A \\ 0 & I_n \end{vmatrix} = |I_m – AB|$$
推广：$|\lambda I_m – AB| = \lambda^{m – n} |\lambda I_n – BA|,\lambda \not = 0$

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